Hai đường thẳng y=ax+b và y=a′x+b′ song song với nhau khi và chỉ khi a=a′,b≠b′ và trùng nhau khi và chỉ khi a=a′,b=b′.
Hai đường thẳng y=ax+b và y′=a′x+b′ cắt nhau khi và chỉ khi a≠a′.
Hai đường thẳng y=ax+b và y′=a′x+b′ vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa′=−1.
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d⊥d′ nên a.4=−1⇔a=−14⇒d:y=−14x+b
Gọi điểm M(x;3) là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng y=x−1 . Khi đó x−1=3⇔x=4⇒M(4;3)
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d:y=−14x+b ta được −14.4+b=3⇔b=4
Vậy phương trình đường thẳng d:y=−14x+4 .
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d⊥d′ nên a.(−12)=−1⇔a=2 (TM) ⇒d:y=2x+b
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được 2.2+b=−1⇔b=−5
Vậy phương trình đường thẳng d:y=2x−5 .
+) Ta thấy d:y=(m+2)x−m có a=m+2
d′:y=−2x−2m+1 có a′=−2
+) Điều kiện để d:y=(m+2)x−m là hàm số bậc nhất m+2≠0⇔m≠−2
+) Để ⇔{m=−4m=1 (vô lý)
Vậy không có giá trị nào của m để d≡d′ .
Ta thấy: d:y=(m+2)x−m có a=m+2 và d′:y=−2x−2m+1 có a′=−2
Để d≡d′⇔{m≠−2a=a′b=b′⇔{m≠−2m+2=−2−m=−2m+1⇔{m=−4m=1
Vậy không có giá trị nào của m để d≡d′
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d//d′ nên {a=3b≠1⇒d:y=3x+b Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được 3.(−2)+b=2⇔b=8 ( thỏa mãn)
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x+8 .
Ta thấy d:y=(3−2m)x−2 có a=3−2m và d′:y=4x−m+2 có a′=4 Để d:y=(3−2m)x−2 là hàm số bậc nhất thì 3−2m≠0⇔m≠32
Để d cắt d′ ⇔a≠a′⇔3−2m≠4⇔−2m≠1⇔m≠−12
Vậy m≠{32;−12} .
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được 3a+b=3 ⇒b=3−3a
Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d ta được −1.a+b=4 ⇒b=4+a
Suy ra 2a=2−a⇔a=233−3a=4+a⇔4a=−1⇔a=−14 ⇒b=4+a=4+(−14)=154⇒y=−14x+154
Vậy d:y=−14x+154 .
Thay x=1;y=11 vào hàm số y=7mx−3m+2 ta được 11=7m.1−3m+2⇔4m=9⇔m=94.
Vậy m=94.
Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi
a≠a′⇔2m+1≠5m−3⇔3m≠4⇔m≠43
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y=ax+b
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được a+b=2 ⇒b=2−a
Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d ta được −2a+b=0⇒b=2a
Suy ra 2a=2−a⇔a=23 (TM) ⇒b=2.23=43⇒y=23x+43
Vậy d:y=23x+43 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d1 và d2
x=4−3x⇔x=1⇒y=1 .
Suy ra giao điểm của d1 và d2 là M(1;1)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì M∈d3 nên 1=m.1−3⇔m=4 .
Vậy m=4 .
(d) // (d’) ⇔ {m2+2=6m≠2⇔{m=±2m≠2⇔m=−2
Giả sử AH:y=ax+b
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC nên: a.−13=−1⇔a=3
Mặt khác AH đi qua A(1;2) nên ta có: 3.1+b=2⇔b=−1
Vậy AH:y=3x−1 .
Để hai đường thẳng song song thì {m+2=2m−4≠1⇔{m=0m≠5
Vậy m=0 .
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng −2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 nên d đi qua hai điểm A(0;−2);B(1;0)
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được
a.0+b=−2⇒b=−2
Thay tọa độ điểm B và b=−2 vào phương trình đường thẳng d ta được a.1−2=0⇔a=2
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=2x−2 .
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ −4 nên d đi qua hai điểm A(0;3);B(−4;0)
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được a.0+b=3⇒b=3
Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d ta được a.(−4)+3=0⇔a=34.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=34x+3 .
Đường thẳng d y=ax+b vuông góc với đường thẳng d′:y=−12x+3
Ta có: a.a′=−1⇔a.(−12)=−1⇔a=2
Lại có: −1=2.2+b⇔b=−5
Đường thẳng d sẽ có phương trình là y=2x−5
Điểm đối xứng với điểm (x;y) qua đường thẳng y=x là điểm (y;x) Xét y=2x+4 , thay x bởi y và thay y bởi x ta được x=2y+4 hay y=12x−2
Ta thấy: d:y=x+3 có a=1 và d′:y=−2x có a′=−2
⇒a≠a′(1≠−2) nên d cắt d′
Hàm số y=(2m−2)x+m−3 là hàm số bậc nhất khi 2m−2≠0⇔m≠1
Để ⇔m=52(TM)
Vậy m=52 .
Ta thấy d:y=(m+2)x−m có a=m+2≠0⇔m≠−2
Để d//d′⇔{a=a′b=b′⇔{m+2=−2−m≠−2m+1⇔{m=−4m≠1⇔m=−4(TM)
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d⊥d′ nên a.13=−1⇔a=−3⇒d:y=−3x+b
Gọi điểm M(x;5) là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng y=2x+1
Khi đó 2x+1=5⇔2x=4⇔x=2⇒M(2;5)
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được −3.2+b=5⇔b=11
Vậy phương trình đường thẳng d:y=−3x+11 .
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d song song với đường thẳng y=−5x−3 nên a=−5;b≠−3⇒d:y=−5x+b
Giao điểm của đường thẳng d với trục hoành có tọa độ (5;0)
Thay x=5;y=0 vào phương trình đường thẳng d ta được −5.5+b=0⇔b=25(TM)⇒y=−5x+25
Vậy d:y=−5x+25 .
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d song song d′ nên {a=3b≠1⇒d:y=3x+b
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được
3.(−2)+b=2⇔b=8
Vậy phương trình đường thẳng d: y=3x+8
Ta thấy d:y=(1−m)x+m2 có a=1−m;b=m2 và d′:y=−x+1 có a′=−1;b=1
Điều kiện để d:y=(1−m)x+m2 là hàm số bậc nhất 1−m≠0⇔m≠1
Để ⇔{1−m=−1m2=1⇔{m=2m=2⇔m=2(tm)
Vậy m=2 .
Ta thấy d:y=(3−2m)x−2 có a=3−2m≠0⇔m≠32
và d′:y=4x−m+2 có a′=4≠0
Để d//d′ .
+) Ta thấy d:y=(m+2)x−m có a=m+2 và d′:y=−2x−2m+1 có a′=−2
+) Để d:y=(m+2)x−m là hàm số bậc nhất thì m+2≠0⇔m≠−2
+) Để d cắt d′ ⇔a≠a′
⇔m+2≠−2⇔m≠−4
Vậy m≠{−2;−4} .
Cho đường thẳng (d1):y=x+2. Gọi A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x=2. Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A và vuông góc với d1
Vì A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x=2 suy ra tung độ điểm A sẽ là y=2+2=4⇒A(2;4)
Đường thẳng (d1) có hệ số góc là a=1 , đường thẳng (d3) có hệ số góc là a′. Khi đó do (d3)⊥(d1) nên a′.1=−1⇔a′=−1 . Đường thẳng (d3) có dạng y=−x+b mà (d3) đi qua A ta dễ dàng tính được y=−x+6
Thay x=3;y=5 vào hàm số y=(m−5)x−4 ta được (m−5).3−4=5⇔(m−5).3=9⇔m−5=3⇔m=8
Vậy m=8 .
Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y=ax+b(a≠0)
Vì d song song với đường thẳng y=−2x+1 nên a=−2;b≠1⇒y=−2x+b . Giao điểm của đường thẳng d với trục hoành có tọa độ (3;0)
Thay x=3;y=0 vào phương trình đường thẳng d ta được −2.3+b=0⇔b=6(TM)⇒y=−2x+6
Vậy d:y=−2x+6 .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới