Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Vì ${d\bot {d}'}$ nên ${a.4=-1\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow d:y=-\dfrac{1}{4}x+b}$

Gọi điểm ${M(x;3)}$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường thẳng ${y=x-1}$ . Khi đó ${x-1=3\Leftrightarrow x=4\Rightarrow M(4;3)}$

Thay tọa độ điểm ${M}$ vào phương trình đường thẳng ${d:y=-\dfrac{1}{4}x+b}$ ta được ${-\dfrac{1}{4}.4+b=3\Leftrightarrow b=4}$

Vậy phương trình đường thẳng ${d:y=-\dfrac{1}{4}x+4}$ .

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Vì ${d\bot {d}'}$ nên ${a.\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-1\Leftrightarrow a=2}$ (TM) ${\Rightarrow d:y=2x+b}$

Thay tọa độ điểm ${M}$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${2.2+b=-1\Leftrightarrow b=-5}$

Vậy phương trình đường thẳng ${d:y=2x-5}$ .

+) Ta thấy ${d:y=(m+2)x-m}$ có ${a=m+2}$

${{d}':y=-2x-2m+1}$ có ${{a}'=-2}$

+) Điều kiện để ${d:y=(m+2)x-m}$ là hàm số bậc nhất ${m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2}$

+) Để ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-4 \\ m=1 \end{array} \right.}$ (vô lý)

Vậy không có giá trị nào của ${m}$ để ${d\equiv {d}'}$ .

Ta thấy: $d:y=\left( m+2 \right)x-m$ có $a=m+2$ và ${d}':y=-2x-2m+1$ có ${a}'=-2$

Để $d\equiv {d}'\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne -2 \\ a={a}' \\ b={b}' \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne -2 \\ m+2=-2 \\ -m=-2m+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-4 \\ m=1 \end{array} \right.$

Vậy không có giá trị nào của m để $d\equiv {d}'$

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Vì ${d//{d}'}$ nên ${\left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ b\ne 1 \end{array} \right.\Rightarrow d:y=3x+b}$ Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${3.(-2)+b=2\Leftrightarrow b=8}$ ( thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng ${d:y=3x+8}$ .

Ta thấy ${d:y=(3-2m)x-2}$ có ${a=3-2m}$ và ${{d}':y=4x-m+2}$ có ${{a}'=4}$ Để ${d:y=(3-2m)x-2}$ là hàm số bậc nhất thì ${3-2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne \dfrac{3}{2}}$

Để $d$ cắt ${{d}'}$ ${\Leftrightarrow a\ne {a}'\Leftrightarrow 3-2m\ne 4\Leftrightarrow -2m\ne 1\Leftrightarrow m\ne \dfrac{-1}{2}}$

Vậy ${m\ne \left\{ \dfrac{3}{2};\dfrac{-1}{2} \right\}}$ .

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${3a+b=3}$ ${\Rightarrow b=3-3a}$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${-1.a+b=4}$ ${\Rightarrow b=4+a}$

Suy ra ${2a=2-a\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}3-3a=4+a\Leftrightarrow 4a=-1\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}}$ ${\Rightarrow b=4+a=4+\left( -\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{15}{4}\Rightarrow y=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{15}{4}}$

Vậy ${d:y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{15}{4}}$ .

Thay ${x=1;y=11}$ vào hàm số ${y=7mx-3m+2}$ ta được ${11=7m.1-3m+2\Leftrightarrow 4m=9\Leftrightarrow m=\dfrac{9}{4}.}$

Vậy ${m=\dfrac{9}{4}.}$

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi

$a\ne {a}'\Leftrightarrow 2m+1\ne 5m-3\Leftrightarrow 3m\ne 4\Leftrightarrow m\ne \dfrac{4}{3}$

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ${y=ax+b}$

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${a+b=2}$ ${\Rightarrow b=2-a}$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${-2a+b=0\Rightarrow b=2a}$

Suy ra ${2a=2-a\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}}$ (TM) ${\Rightarrow b=2.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}}$

Vậy ${d:y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}}$ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$

$x=4-3x\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1$ .

Suy ra giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $M(1;1)$

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì $M\in {{d}_{3}}$ nên $1=m.1-3\Leftrightarrow m=4$ .

Vậy $m=4$ .

(d) // (d’) $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} & {{m}^{2}}+2=6 \\ & m\ne 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & m=\pm 2 \\ & m\ne 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-2$

Giả sử ${AH:y=\text{ax}+b}$

Vì ${AH}$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên ${AH}$ vuông góc với ${BC}$ nên: ${a.\dfrac{-1}{3}=-1\Leftrightarrow a=3}$

Mặt khác ${AH}$ đi qua ${A(1;2)}$ nên ta có: ${3.1+b=2\Leftrightarrow b=-1}$

Vậy ${AH:y=3x-1}$ .

Để hai đường thẳng song song thì $\left\{ \begin{matrix} m+2=2 \\ m-4\ne 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m=0 \\ m\ne 5 \\ \end{matrix} \right.$
Vậy $m=0$ .

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Vì $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng ${-2}$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $1$ nên $d$ đi qua hai điểm ${A(0;-2);B(1;0)}$

Thay tọa độ điểm ${A}$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được 

${a.0+b=-2\Rightarrow b=-2}$

Thay tọa độ điểm ${B}$ và ${b=-2}$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${a.1-2=0\Leftrightarrow a=2}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là ${y=2x-2}$ .

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Vì $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $3$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $-4$ nên $d$ đi qua hai điểm ${A(0;3);B(-4;0)}$

Thay tọa độ điểm ${A}$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${a.0+b=3\Rightarrow b=3}$

Thay tọa độ điểm ${B}$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${a.(-4)+3=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{4}.}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là ${y=\dfrac{3}{4}x+3}$ .

Đường thẳng d $y=ax+b$ vuông góc với đường thẳng ${d}':y=-\dfrac{1}{2}x+3$

Ta có: $a.{a}'=-1\Leftrightarrow a.\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-1\Leftrightarrow a=2$

Lại có: $-1=2.2+b\Leftrightarrow b=-5$

Đường thẳng d sẽ có phương trình là $y=2x-5$

Điểm đối xứng với điểm $\left( x;y \right)$ qua đường thẳng $y=x$ là điểm $\left( y;x \right)$ Xét $y=2x+4$ , thay x bởi y và thay y bởi x ta được $x=2y+4$ hay $y=\dfrac{1}{2}x-2$

Ta thấy: $d:y=x+3$ có $a=1$ và ${d}':y=-2x$ có ${a}'=-2$

$\Rightarrow a\ne {a}'\left( 1\ne -2 \right)$ nên $d$ cắt ${d}'$

Hàm số ${y=(2m-2)x+m-3}$ là hàm số bậc nhất khi ${2m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1}$

Để ${\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{2}(TM)}$

Vậy ${m=\dfrac{5}{2}}$ .

Ta thấy $d:y=\left( m+2 \right)x-m$ có $a=m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2$

Để $d//{d}'\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a={a}' \\ b={b}' \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m+2=-2 \\ -m\ne -2m+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-4 \\ m\ne 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-4(TM)$

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Vì ${d\bot {d}'}$ nên ${a.\dfrac{1}{3}=-1\Leftrightarrow a=-3\Rightarrow d:y=-3x+b}$

Gọi điểm ${M(x;5)}$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường thẳng ${y=2x+1}$

Khi đó ${2x+1=5\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\Rightarrow M(2;5)}$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${-3.2+b=5\Leftrightarrow b=11}$

Vậy phương trình đường thẳng ${d:y=-3x+11}$ .

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Vì $d$ song song với đường thẳng ${y=-5x-3}$ nên ${a=-5;b\ne -3\Rightarrow d:y=-5x+b}$

Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành có tọa độ ${(5;0)}$

Thay ${x=5;y=0}$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${-5.5+b=0\Leftrightarrow b=25(TM)\Rightarrow y=-5x+25}$

Vậy ${d:y=-5x+25}$ .

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$

Vì $d$ song song ${d}'$ nên $\left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ b\ne 1 \end{array} \right.\Rightarrow d:y=3x+b$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được

$3.\left( -2 \right)+b=2\Leftrightarrow b=8$

Vậy phương trình đường thẳng d: $y=3x+8$

Ta thấy ${d:y=(1-m)x+\dfrac{m}{2}}$ có ${a=1-m;b=\dfrac{m}{2}}$ và ${{d}':y=-x+1}$ có ${{a}'=-1;b=1}$

Điều kiện để ${d:y=(1-m)x+\dfrac{m}{2}}$ là hàm số bậc nhất ${1-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1}$

Để ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1-m=-1 \\ \dfrac{m}{2}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=2 \\ m=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=2(tm)}$

Vậy ${m=2}$ .

Ta thấy ${d:y=(3-2m)x-2}$ có $a=3-2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne \dfrac{3}{2}$

 và ${{d}':y=4x-m+2}$ có ${a}'=4\ne 0$

Để ${d//{d}'}$ .

+) Ta thấy ${d:y=(m+2)x-m}$ có ${a=m+2}$ và ${{d}':y=-2x-2m+1}$ có ${{a}'=-2}$

+) Để ${d:y=(m+2)x-m}$ là hàm số bậc nhất thì ${m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2}$

+) Để $d$ cắt ${{d}'}$ ${\Leftrightarrow a\ne {a}'}$

${\Leftrightarrow m+2\ne -2\Leftrightarrow m\ne -4}$

Vậy ${m\ne \left\{ -2;-4 \right\}}$ .

Vì A là điểm thuộc đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$ có hoành độ $x=2$ suy ra tung độ điểm A sẽ là $y=2+2=4\Rightarrow A\left( 2;4 \right)$

Đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$ có hệ số góc là $a=1$ , đường thẳng $\left( {{d}_{3}} \right)$ có hệ số góc là $a'$. Khi đó do $\left(d_3\right) \bot \left(d_1\right)$ nên  ${a}'.1=-1\Leftrightarrow {a}'=-1$ . Đường thẳng $\left( {{d}_{3}} \right)$ có dạng $y=-x+b$ mà $\left( {{d}_{3}} \right)$ đi qua A ta dễ dàng tính được $y=-x+6$

Thay ${x=3;y=5}$ vào hàm số ${y=(m-5)x-4}$ ta được ${(m-5).3-4=5\Leftrightarrow (m-5).3=9\Leftrightarrow m-5=3\Leftrightarrow m=8}$

Vậy ${m=8}$ .

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là ${y=ax+b(a\ne 0)}$

Vì $d$ song song với đường thẳng ${y=-2x+1}$ nên ${a=-2;b\ne 1\Rightarrow y=-2x+b}$ . Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành có tọa độ ${(3;0)}$

Thay ${x=3;y=0}$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được ${-2.3+b=0\Leftrightarrow b=6(TM)\Rightarrow y=-2x+6}$

Vậy ${d:y=-2x+6}$ .