Hệ thức Vi-ét và ứng dụng giải hệ phương trình bậc hai

Theo Viets ta có: $C=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{20}^{3}}-3\left( -17 \right).20=9020$

Theo hệ thức Viet:

$\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a}=6 \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a} = 4 \end{array} \right.$

Cho $a=1$, ta có : $b = -6, c = 4$

Vậy phương trình là: $x^2 - 6x + 4 = 0$

Vì vai trò 2 nghiệm${x_1}$   và ${x_2}$ bình đẳng nên theo đề bài giả sử ${x_1} - {x_2} = 11$ và theo Vi-ét ta có ${x_1} + {x_2} = 7$, ta có hệ sau:

$\left\{ \begin{gathered}   {x_1} - {x_2} = 11 \hfill \\   {x_1} + {x_2} = 7 \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   {x_1} = 9 \hfill \\   {x_2} =  - 2 \hfill \\  \end{gathered}  \right.$

Suy ra $m = {x_1}{x_2} =  - 18$

Theo định lí Vi – et ta có ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m$ .

Phương trình ${{x}^{2}}+2x-1=0$ có $a.c=-1 < 0$ $\Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \\ \end{array} \right.$
$\Rightarrow T=-2+3.\left( -1 \right)=-5$ .

Vì vai trò 2 nghiệm${x_1}$   và ${x_2}$ bình đẳng nên theo đề bài giả sử ${x_1} = 2{x_2}$ và theo Vi-ét ta có ${x_1}{x_2} = 50$. Suy ra

$\begin{gathered}   2x_2^2 = 50 \Leftrightarrow x_2^2 = {5^2} \hfill \\    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   {x_2} =  - 5 \Rightarrow 25 + 5m + 50 = 0 \Rightarrow m =  - 15 \hfill \\   {x_2} = 5 \Rightarrow 25 - 5m + 50 = 0 \Rightarrow m = 15 \hfill \\  \end{gathered}  \right. \hfill \\  \end{gathered}$

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: $0$

Phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ trái dấu khi và chỉ khi $ac < 0\Leftrightarrow -2m-4 < 0\Leftrightarrow m > -2.$
Theo định lí Vi-ét ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m$ .
Phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn giá trị tuyệt đối của nghiệm dương lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm khi ${{x}_{1}}+{{x}_{2}} > 0$ $\Leftrightarrow -m > 0$ $\Leftrightarrow m < 0$ .
Vậy giá trị cần tìm của $m$ là $-2 < m < 0$ .

${{x}^{2}}+6x+8=0$ có $\Delta '={{3}^{2}}-8=1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-6$ .

$4{{x}^{2}}+x-3=0$ có $\Delta ={{1}^{2}}+4.3=13 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\dfrac{3}{4}$ .

Theo hệ thức Viet ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3 \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$

Ta có: $N=\dfrac{1}{{{x}_{1}}+3}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}+3}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+6}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+9}=6$