5. Phương pháp đánh giá sử dụng tính liên tục
Kiến thức cần nhớ:
- Nếu \[f\left( x \right)\]là hàm liên tục, đơn điệu trên \[D\], thì với \[\forall u,v\in D\] ta có: \[f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v\].
- Nếu \[f\left( x \right)\]là hàm liên tục, đơn điệu trên \[D\], thì phương trình \[f\left( x \right)=0\] có tối đa một nghiệm trên \[D\].
PHƯƠNG PHÁP
- Biến đổi phương trình đề bài về dạng \[f\left( u \right)=f\left( v \right)\] hoặc \[f\left( u \right)=0\](trong đó \[f\left( x \right)\] là hàm liên tục, đơn điệu trên miền đang khảo sát).
- Khảo sát hàm số \[y=f\left( t \right)\] để đưa ra tính đơn điệu của hàm \[y=f\left( t \right)\] trên miền đang xét.
- Từ đó kết luận được mối liên hệ giữa \[u,v\].
- So sánh hai vế phương trình với cùng một hằng số…
Ví dụ: Giải phương trình \[{{7}^{x}}=9-2x\,\left( * \right)\]
Lời giải
Dễ thấy \[VT\left( * \right)\] : \[y={{7}^{x}}\] là hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
\[VP\left( * \right)\] : \[y=9-2x\] là hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Do đó phương trình \[\left( * \right)\] có tối đa 1 nghiệm.
Mặt khác nhận thấy \[x=1\] là một nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\].
Vậy \[x=1\] là nghiệm duy nhất của phương trình \[\left( * \right)\].
PT $ \Leftrightarrow a=\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)\left( {{3}^{x}}-{{3}^{-x}} \right)\Leftrightarrow a={{9}^{x}}-{{9}^{-x}}\xrightarrow{t={{9}^{x}}}a=t-\dfrac{1}{t}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-at-1=0 $ (1).
Dễ thấy PT (1) có tích hai nghiệm bằng $ -1\Rightarrow \left( 1 \right) $ luôn có 1 nghiệm dương, suy ra PT ban đầu luôn có nghiệm duy nhất với mọi $ a\in \mathbb{R}.a\in \mathbb{R}. $