Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

4.7/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Lý thuyết về Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài tập 1: Hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau hay không, nếu:

1)

x

1

2

4

5

8

y

120

160

30

24

15

 

 

 

 

2)

x

1

3

4

5

6

y

30

20

15

12,5

10

Lời giải

1) Ta có:
$x . y = 1 . 120 = 2 . 60 = 4 . 30 = 5 . 24 = 8 . 15 = 120$
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch thì x và y trong trường hợp này là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
2) Ta có:
$x . y = 1 . 30 ≠ 3 . 60$
⇒ x và y trong trường hợp này không là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho biết 8 người thợ hồ xây xong một bức tường hết 3 giờ. Hỏi 6 người thợ hồ (cùng với năng suất như thế) xây xong bức tường đó hết mấy giờ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì khối lượng công việc không đổi nên số người làm việc và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

6 người thợ hồ xây xong bức tường đó hết: $ \dfrac{8.3}{6}=4 $ (giờ).

Câu 2: Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi $ x=2 $ thì $ y=-4 $ .

Nếu $ x=3 $ thì giá trị của y bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên $ x=\dfrac{k}{y} $ .

Ta có $ 2=\dfrac{k}{-4}\Rightarrow k=-8 $

Khi $ x=3 $ thì $ y=\dfrac{-8}{3} $ .

Câu 3: Cho biết 15 người làm cỏ một cánh đồng hết 4 giờ. Hỏi 6 người với (cùng năng suất như thế) làm cỏ cánh đồng hết bao nhiêu giờ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì số người làm việc tỉ lệ nghịch với thời gian làm nên

Thời gian làm việc là $ \dfrac{15.4}{6}=10 $ giờ.

Câu 4: Để đặt một đoạn đường sắt phải dùng 480 thanh ray dài 8m. Nếu thay bằng những thanh ray dài 10m thì cần bao nhiêu thanh ray ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nếu thay bằng những thanh ray dài 10m thì cần: $ \dfrac{480.8}{10}=384 $ (thanh ray).

Câu 5: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi $ {{x}_{1}}=-1;\text{ }{{x}_{2}}=3 $ thì $ {{y}_{1}}~-\text{ }{{y}_{2}}=-4 $ . Công thức biểu diễn y theo x là 

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên $ k=xy $ .

Ta có $ k={{x}_{1}}.{{y}_{1}}={{x}_{2}}.{{y}_{2}}\Rightarrow \dfrac{{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\dfrac{{{y}_{1}}}{3}=\dfrac{{{y}_{2}}}{-1} $

Mà $ {{y}_{1}}-{{y}_{2}}=-4 $

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau $ \dfrac{{{y}_{1}}}{3}=\dfrac{{{y}_{2}}}{-1}=\dfrac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{3-\left( -1 \right)}=\dfrac{-4}{4}=-1 $

Nên $ \left\{ \begin{array}{l} {{y}_{1}}=-3 \\ {{y}_{2}}=1 \end{array} \right. $

Vậy $ k=1.3=3 $ hay $ x=\dfrac{3}{y} $ .

Câu 6: Hai bà mua gạo hết cùng một số tiền. Bà thứ nhất mua loại 4000 đồng/kg, bà thứ hai mua loại 4800 đồng/kg. Biết bà thứ nhất nhiều hơn bà thứ hai là 2kg. Hỏi bà thứ hai mua bao nhiêu ki-lô-gam gạo ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi số gạo bà thứ nhất mua là $ x\left( kg \right) $ , bà thứ hai mua là $ y\left( kg \right) $ .

Vì hai bà mua hết cùng một số tiền nên giá tiền của một ki-lô-gam gạo và khối lượng gạo mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Ta có: $ \dfrac{x}{y}=\dfrac{4800}{4000}=\dfrac{6}{5}\Rightarrow \dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{x-y}{6-5}=\dfrac{2}{1}=2 $

$ \Rightarrow x=6.2=12;\,\,\,y=5.2=10 $

Bà thứ hai mua 10kg gạo.

Câu 7: Biết 78 người hoàn thành một công việc trong 65 ngày. Nếu cải tiến công cụ để năng suất lao động tăng thêm 20% thì cần giảm bao nhiêu người mà vẫn hoàn thành công việc đó trong 65 ngày ? Biết năng suất lao động của mỗi người đều như nhau.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Sau khi cải tiến công cụ năng suất lao động đạt $ 100\%+20\%=120\% $

Cùng một công việc và số ngày làm việc như nhau thì năng suất lao động và số người là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Số người lúc sau là: $ \dfrac{100\%.78}{120\%}=65 $ (người).

Vậy số người cần giảm: $ 78-65=13 $ (người).

Câu 8: Để truyền một chuyển động, người ta có thể dùng dây cu-roa, dùng xích hoặc dùng bánh xe có răng. Nếu bánh xe thứ nhất có 65 răng và quay 36 vòng/phút thì bánh xe thứ hai có 45 răng sẽ quay bao nhiêu vòng/phút ? Biết cứ 1 răng của bánh xe thứ nhất lại khớp với 1 răng của bánh xe thứ hai.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do hai bánh xe răng khớp vào nhau trong quá trình chuyển động nên số răng và số vòng quay của bánh xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bánh xe thứ hai quay được: $ \dfrac{65.36}{45}=52 $ (vòng/phút).

Câu 9: 12 người may xong một lô hàng hết 5 ngày . Muốn may hết lô hàng đó sớm một ngày thì cần thêm mấy người ? (với năng suất máy như nhau)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì số người may và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

Số người cần để may hết lô hàng trong 4 ngày là $ \dfrac{12.5}{4}=15 $ (người).

Câu 10: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 45km/h hết 3 giờ 15 phút. Hỏi chiếc xe đó chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h hết bao nhiêu thời gian?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đổi 3 giờ 15 phút = 3,25 giờ

Vì quãng đường là như nhau, nên thời gian xe chạy và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

Thời gian xe chạy từ A đến B là $ \dfrac{3,25.45}{65}=2,25 $ giờ.

Câu 11: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 40km/h hết 2 giờ 45 phút. Hỏi chiếc xe đó chạy từ A đến B với vận tốc 44 km/h hết bao nhiêu thời gian?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhan nên

Thời gian xe chạy từ A đến B là $ \dfrac{40.2,75}{44}=2,5 $ giờ.

Câu 12: Cà phê hạ giá $ 23\dfrac{1}{7}\% $ . Với số tiền trước đây mua được 53,8kg cà phê thì nay mua được bao nhiêu ki-lô-gam cà phê hạ giá ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Số tiền và khối lượng cà phê sau khi hạ giá là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Với cùng số tiền mua 53,8kg trước khi hạ giá, khối lượng cà phê mua được sau khi hạ giá là: $ \dfrac{53,8.100\%}{\left( 100-23\dfrac{1}{7} \right)\%}=70\left( kg \right) $ .

Câu 13: Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Vận tốc xe thứ nhất là 40km/h, vận tốc xe thứ hai là 35km/h. Xe thứ hai tới B sau xe thứ nhất là 30 phút. Độ dài quãng đường AB là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

30 phút = $ \dfrac{1}{2}h. $

Gọi vận tốc, thời gian xe thứ nhất là $ {{v}_{1}}\left( km/h \right),{{t}_{1}}\left( h \right) $ , vận tốc, thời gian xe thứ hai là $ {{v}_{2}}\left( km/h \right),{{t}_{2}}\left( h \right). $

Ta có: $ \dfrac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{40}{35}=\dfrac{8}{7} $ và $ {{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\dfrac{1}{2}. $

Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên:

$ \dfrac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}}=\dfrac{7}{8}\Rightarrow \dfrac{{{t}_{1}}}{7}=\dfrac{{{t}_{2}}}{8}=\dfrac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{8-7}=\dfrac{1}{2} $

$ \Rightarrow {{t}_{1}}=\dfrac{7}{2}\left( h \right). $

Vậy quãng đường AB dài: $ 40.\dfrac{7}{2}=140\left( km \right). $

Câu 14: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau, khi $ x=\dfrac{1}{2} $ thì $ y=3 $ . Hệ số tỉ lệ a là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên $ x=\dfrac{k}{y} $ .

Ta có $ \dfrac{1}{2}=\dfrac{k}{3}\Rightarrow k=\dfrac{3}{2} $ .

Câu 15: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau khi x nhận các giá trị $ {{x}_{1}}=1;\text{ }{{x}_{2}}=-2 $ thì tổng các giá trị tương ứng của y là 6. Công thức biểu diễn x theo y là .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên $ k=xy $ .

Ta có $ k={{x}_{1}}.{{y}_{1}}={{x}_{2}}.{{y}_{2}}\Rightarrow \dfrac{{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\dfrac{{{y}_{1}}}{-2}=\dfrac{{{y}_{2}}}{1} $

Mà $ {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=6 $

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau $ \dfrac{{{y}_{1}}}{-2}=\dfrac{{{y}_{2}}}{1}=\dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{-2+1}=\dfrac{6}{-1}=-6 $

Nên $ \left\{ \begin{array}{l} {{y}_{1}}=12 \\ {{y}_{2}}=-6 \end{array} \right. $

Vậy $ k=1.12=12 $ hay $ x=\dfrac{12}{y} $ .

Câu 16: Biết 18 công nhân xây xong ngôi nhà hết 75 ngày. Hỏi 15 công nhân (với cùng năng suất như nhau) xây xong ngôi nhà hết bao nhiêu ngày?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì cùng xây một ngôi nhà nên số người làm và thời gian hoàn thành nhà là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau

Thời gian xây xong nhà của 15 công nhân là $ \dfrac{18.75}{15}=90 $ ngày.

Câu 17: Cho biết 5 người làm cỏ một cánh đồng hết 8 giờ. Hỏi 8 người với (cùng năng suất như thế) làm cỏ cánh đồng hết bao nhiêu giờ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì cùng làm cỏ trên một cánh đồng nên số người làm cỏ và thời gian làm xong là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên

Thời gian làm hết cánh đồng cỏ của 8 người là: $ \dfrac{5.8}{8}=5 $ (giờ).

Câu 18: Nếu $ x=\dfrac{k}{y} $ với k là một hằng số và khi $ x=-3 $ thì $ y=5 $ . Khi $ x=3 $ thì giá trị của y là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ x=\dfrac{k}{y}\Rightarrow $ $ -3=\dfrac{k}{5}\Rightarrow k=-15 $

Khi $ x=3 $ thì $ y=\dfrac{-15}{3}=-5 $ .

Câu 19: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h và trở về A với vận tốc 60km/h. Cả đi lẫn về (không kể thời gian nghỉ) mất 3 giờ 18 phút. Tính thời gian đi từ A đến B.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

3 giờ 18 phút = 3,3 giờ.

Gọi thời gian đi và thời gian về của ô tô lần lượt là: $ {{t}_{1}},{{t}_{2}} $ (giờ).

Với cùng quãng đường, vận tốc và thời gian của vật chuyển động là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó: $ \dfrac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}}=\dfrac{60}{50}\Rightarrow \dfrac{{{t}_{1}}}{6}=\dfrac{{{t}_{2}}}{5}=\dfrac{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}{6+5}=\dfrac{3,3}{11}=0,3. $

$ \Rightarrow {{t}_{1}}=0,3.6=1,8. $

Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 1,8 giờ = 1 giờ 48 phút.

Câu 20: Để làm một công việc trong 8 giờ cần 30 công nhân. Nếu có 40 công nhân thì công việc đó hoàn thành trong mấy giờ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nếu có 40 công nhân thì công việc đó hoàn thành trong: $ \dfrac{8.30}{40}=6 $ (giờ).