Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

1. Vận tốc tức thời ${v}\left( t \right)$ tại thời điểm ${{t}_{0}}$ (hay vận tốc tại ${{t}_{0}}$) của một chuyển động có phương trình $s=s\left( t \right)$ bằng đạo hàm của hàm số $s=s\left( t \right)$ tại điểm ${{t}_{0}}$, tức là

$v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)$

Ví dụ: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là $s=\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}$, trong đó $g=9,8$$m/{{s}^{2}}$ và  t được tính bằng giây $\left( s \right)$ . Tìm vận tốc của vật tại thời điểm $t=4$ .

Giải: $v\left( t \right)=s'\left( t \right)=gt\Rightarrow v\left( 4 \right)=4g=39,6\text{ }m/s$ 

2. Gia tốc tức thời ${a}\left( t \right)$ tại thời điểm ${{t}_{0}}$ (hay gia tốc tại ${{t}_{0}}$) của một chuyển động có phương trình $s=s\left( t \right)$ bằng đạo hàm cấp hai của hàm số $s=s\left( t \right)$ tại điểm ${{t}_{0}}$, tức là

$a\left( {{t}_{0}} \right)=v'\left( {{t}_{0}} \right)=s''\left( {{t}_{0}} \right)$

Ví dụ: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5t+2$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi $t=3$ là?

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$ bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm $t$.

$\begin{align}& {s}'={{\left( {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5t+2 \right)}^{\prime }}=3{{t}^{2}}-6t+5 \\ & s'' =6t-6\Rightarrow s'' \left( 3 \right)=12 \\ \end{align}$