Quy tắc cộng và quy tắc nhân

1. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong $k$ phương án $A_1,A_2,A_3,...,A_k$. Có $n_1$cách thực hiện phương án $A_1, n_2$ cách thực hiện công việc $A_2,...$ và $n_k$ cách thực hiện phương án $A_k$. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi \[{n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\]  cách.

Ví dụ: Giả sử từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$ có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$. Theo quy tắc cộng, ta có $10+5+3+2=20$ sự lựa chọn phương tiện để đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$.

Chú ý: Quy tắc cộng có thể phát biểu dạng sau:

Nếu $A$ và $B$ là hai tập hợp hữu hạn bất kỳ thì số phần tử của $A \cup B$ được tính như sau: 
\[\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\] .

2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm $k$ công đoạn $A_1,A_2,A_3,...,A_k$.   Công đoạn $A_1$ có thể thực hiện theo $n_1$ cách, công đoạn $A_2$ có thể thực hiện theo $n_2$ cách, …,công đoạn $A_k$ có thể thực hiện theo $n_k$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1.n_2...n_k$ cách.

Ví dụ: Biển số xe máy của tỉnh $A$ (nếu không tính cả mã số tỉnh) có 6 ký tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), kí tự thứ hai là một chữ số thuộc tập \[\left\{ {1;2;3;...;9} \right\}\], mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập \[\left\{ {0;1;2;;...;9} \right\}\]. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh $A$ có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

Giải: Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên. Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ 2 và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại.

Theo quy tắc nhân , ta có tất cả \[26.9.10.10.10.10 = 2340000\] (biển số xe).