Hai tính chất cơ bản của số $\mathop{C}_{n}^{k}$
Lý thuyết về Hai tính chất cơ bản của số $\mathop{C}_{n}^{k}$
1. Các công thức cần nhớ
Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên $k$ với $0 \le k \le n$. Khi đó:
$P_n=n!=n(n−1)(n−2)...1$
\[A_n^k = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right) = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\]
$\mathop{C}_{n}^{k}=\dfrac{\mathop{A}_{n}^{k}}{k!}=\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!} = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$
2. Hai tính chất cơ bản của số $\mathop{C}_{n}^{k}$
Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên $k$ với $0 \le k \le n$. Khi đó:
$\mathop{C}_{n}^{k}=\mathop{C}_{n}^{n-k}$
$\mathop{C}_{n+1}^{k}=\mathop{C}_{n}^{k}+\mathop{C}_{n}^{k-1}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho $ n $ và $ k $ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $ k\le n $ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Công thức sách giáo khoa về tổ hợp và chỉnh hợp.
Câu 2: Công thức tính số tổ hợp chập $ k $ của $ n $ phần tử là
- A
- B
- C
- D
$ C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!k!} $
Câu 3: Cho \[ k,\text{ }n\text{ }\left( k < n \right) \] là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
Phương pháp:
+ Công thức chỉnh hợp: \[ A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}\left( n\ge 1;0\le k\le n;n\in \mathbb{Z} \right) \]
+ Công thức tổ hợp: \[ C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\left( n\ge 1;0\le k\le n;n\in \mathbb{Z} \right) \]
Cách giải:
\[ A_{n}^{k}=k!.C_{n}^{k} \] đúng.
\[ A_{n}^{k}=n!.C_{n}^{k} \] là sai.