Định nghĩa và tính chất của cấp số cộng
Lý thuyết về Định nghĩa và tính chất của cấp số cộng
Định nghĩa và tính chất của cấp số cộng
1. Định nghĩa: Dãy $(u_n)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi
\[{u_n} = {u_{n - 1}} + d,\forall n \ge 2\]
Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ: Dãy số $−3,1,5,9,13,17,21,25$ là một cấp số cộng với số hạng đầu tiên \[{u_1} = - 3\] và công sai $d=4$.
* CHÚ Ý: Từ định nghĩa, ta thấy để kiểm tra một dãy có phải cấp số cộng hay không, ta xét hiệu:
\[d={u_{n+1}} - {u_n}\]
Nếu kết quả là một hằng số thì dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] là một cấp số cộng, và kết quả đó chính là công sai $d$ của cấp số cộng.
Ví dụ: Cho dãy \[\left( {{u_n}} \right)\]: \({{u}_{n}}=2n+3\).
Ta có \[{u_{n+1}} - {u_n } = 2\left( {n + 1} \right) + 3 - 2n - 3 = 2\]. Vậy dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] đã cho là một cấp số cộng với công sai $d=2$.
2. Tính chất
$u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2} ,\forall k \in \mathbb{N^*}, k \ge 2$
* CHÚ Ý: Để 3 số $a,b,c$ thứ tự lập thành một cấp số cộng $\Leftrightarrow a+c=2b$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Xét xem dãy $ { u _ n }=4-5n $ có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=-5 $.
Dãy $ ({ u _ n }) $ là CSC có công sai $ d=-5 $.
Câu 2: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau : Nếu \(a,b,c\left( \ne 0 \right)\) lập thành cấp số cộng thì
- A
- B
- C
- D
Lấy ví dụ cụ thể 1 cấp số cộng với \(a= 1, b=3, c=5\) .Khi đó ta thử lại để chọn được đáp án đúng nhất
Câu 3: Công thức nào sau đây là đúng với một cấp số cộng có số hạng đầu $ {{u}_{1}} $ , công sai $ d $ và số tự nhiên $ n\ge 2 $ .
- A
- B
- C
- D
$ {{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d $
Câu 4: Cho cấp số cộng $(u_n)$có $ { u _ n }=3n+2018 $ . Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
- A
- B
- C
- D
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $u_1=3.1+2018=2021$.
Câu 5: Xét xem dãy $ { u _ n }=\dfrac{n}{{}{ 2 ^ n }} $ có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai
- A
- B
- C
- D
Ta có $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=\dfrac{n+1}{{ 2 ^{n+1}}}-\dfrac{n}{{}{ 2 ^ n }}=\dfrac{1-n}{{ 2 ^{n+1}}}\Rightarrow ({ u _ n }) $ dãy $ ({ u _ n }) $ không là cấp số cộng.
Câu 6: Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $ { u _ n }=-3n+1 $. Khi đó công sai của $(u_n)$ là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=-3(n+1)+1-(-3n+1)=-3 $ là hằng số.
Suy ra dãy $ ({ u _ n }) $ là cấp số cộng với công sai $ d=-3 $ .
Câu 7: Cho dãy số $(u_n)$ với $ { u _ n }=2n+3 $ . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=2(n+1)+3-(2n+3)=2 $ là hằng số.
Suy ra dãy $ ({ u _ n }) $ là cấp số cộng với công sai $ d=2 $ .
Câu 8: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau : Nếu \(a,b,c\left( \ne 0 \right)\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì
- A
- B
- C
- D
Lấy ví dụ cụ thể 1 cấp số cộng với \(a= 1, b=3, c=5\) .Khi đó ta thử lại để chọn được đáp án đúng nhất
Câu 9: Xét xem dãy $ { u _ n }={ n ^ 2 }+1 $ có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai
- A
- B
- C
- D
Ta có $ { u _{n+1}}-{ u _ n }={{\left( n+1 \right)}^ 2 }-{ n ^ 2 }=2n+1\Rightarrow ({ u _ n }) $ không là CSC.
Câu 10: Xét xem dãy $ { u _ n }=\dfrac{2n+3} 5 $ có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=\dfrac{2}{5} $ . Dãy $ ({ u _ n }) $ là CSC có công sai $ d=\dfrac{2}{5} $.
Câu 11: Xét xem dãy $ { u _ n }=\dfrac{n+1} n $ có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=-\dfrac{1}{{}n(n+1)}\Rightarrow ({ u _ n }) $ không là cấp số cộng.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới