Định nghĩa, biểu thức tọa độ, tính chất của phép quay

Định nghĩa, biểu thức tọa độ, tính chất của phép quay

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Định nghĩa, biểu thức tọa độ, tính chất của phép quay

Lý thuyết về Định nghĩa, biểu thức tọa độ, tính chất của phép quay

1. Định nghĩa

Cho điểm \[O\] và góc lượng giác \[\alpha \]. Phép biến hình biến \[O\] thành chính nó và biến mỗi điểm \[M\] khác \[O\] thành điểm \[M'\] sao cho \[OM'=OM\] và góc lượng giác \[\left( OM;OM' \right)=\alpha \] được gọi là phép quay tâm \[O\], \[\alpha \] được gọi là góc quay.

Phép quay tâm \[O\] góc quay \[\alpha \] được kí hiệu là \[{{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}\].

Nhận xét

  • Khi \[\alpha =\left( 2k+1 \right)\pi ,k\in \mathbb{Z}\] thì \[{{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}\] là phép đối xứng tâm \[O\].
  • Khi \[\alpha  = 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] thì \[{{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}\] là phép đồng nhất.

2. Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong mặt phẳng \[Oxy\], giả sử \[M\left( x;y \right)\] và \[M'\left( x';y' \right)={{Q}_{\left( O,\alpha  \right)}}\left( M \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha \\
y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha 
\end{array} \right.\]

Trong mặt phẳng \[Oxy\], giả sử \[M\left( x;y \right)\], \[I\left( a;b \right)\] và \[M'\left( x';y' \right)={{Q}_{\left( I,\alpha  \right)}}\left( M \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}
x' = a + \left( {x - a} \right)\cos \alpha  - \left( {y - b} \right)\sin \alpha \\
y' = b + \left( {x - a} \right)\sin \alpha  + \left( {y - b} \right)\cos \alpha 
\end{array} \right.\]

3. Tính chất của phép quay

  • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
  • Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
  • Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
  • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
  • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Giả sử ${{Q}_{(O,\varphi )}}(M)=M',\ {{Q}_{(O,\varphi )}}(N)=N'$. Mệnh đề nào sau đây sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo định nghĩa về phép quay ta chọn được đáp án sai là $\left( \vec{OM};\vec{OM'} \right)=\varphi $.

Câu 2: Trong mặt phẳng \(\text{Ox}y\) , cho đường thẳng $d:x-2y+3=0$ . Phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của d qua phép quay tâm $O$ góc $-\dfrac{\pi }{2}$ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Lấy $A\left( -3;0 \right),B\left( -1;1 \right)\in d\Rightarrow $ qua phép quay tâm $O$ góc $-\dfrac{\pi }{2}$ ta có $A'\left( 0;3 \right),B'\left( 1;1 \right)$ lần lượt là ảnh của $A,B$
$d'$ là ảnh của d qua phép quay tâm $O$ góc $-\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow d'$ đi qua $A',B'$ . Phương trình $d'$ là:
$\dfrac{x-0}{1-0}=\dfrac{y-3}{1-3}\Leftrightarrow 2x+y-3=0$

Câu 3: Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho điểm \(A\left( x;y \right)\) . Biểu thức tọa độ của điểm $A'={{Q}_{(O;\varphi )}}(A)$

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Biểu thức tọa độ phép quay là:

$\left\{ \begin{align}
& x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi \\
& y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi \\
\end{align} \right.$