Định nghĩa, biểu thức tọa độ, tính chất của phép quay

1. Định nghĩa

Cho điểm \[O\] và góc lượng giác \[\alpha \]. Phép biến hình biến \[O\] thành chính nó và biến mỗi điểm \[M\] khác \[O\] thành điểm \[M'\] sao cho \[OM'=OM\] và góc lượng giác \[\left( OM;OM' \right)=\alpha \] được gọi là phép quay tâm \[O\], \[\alpha \] được gọi là góc quay.

Phép quay tâm \[O\] góc quay \[\alpha \] được kí hiệu là \[{{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}\].

Nhận xét

• Khi \[\alpha =\left( 2k+1 \right)\pi ,k\in \mathbb{Z}\] thì \[{{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}\] là phép đối xứng tâm \[O\].
• Khi \[\alpha  = 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] thì \[{{Q}_{\left( O;\alpha  \right)}}\] là phép đồng nhất.

2. Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong mặt phẳng \[Oxy\], giả sử \[M\left( x;y \right)\] và \[M'\left( x';y' \right)={{Q}_{\left( O,\alpha  \right)}}\left( M \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha \\
y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha 
\end{array} \right.\]

Trong mặt phẳng \[Oxy\], giả sử \[M\left( x;y \right)\], \[I\left( a;b \right)\] và \[M'\left( x';y' \right)={{Q}_{\left( I,\alpha  \right)}}\left( M \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}
x' = a + \left( {x - a} \right)\cos \alpha  - \left( {y - b} \right)\sin \alpha \\
y' = b + \left( {x - a} \right)\sin \alpha  + \left( {y - b} \right)\cos \alpha 
\end{array} \right.\]

3. Tính chất của phép quay

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
• Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
• Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.