Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, một đường thẳng
Lý thuyết về Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, một đường thẳng
Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P)
Cách 1:
+ Tìm \[\left( Q \right)\]chứa M và vuông góc với $\left( P \right)$ theo giao tuyến $\Delta $
+ Từ M hạ MH vuông góc với ∆ ($H\in \Delta $)
+ \[MH=d\left( M,\left( P \right) \right)\]
Cách 2:
+ Kẻ \[\Delta //\left( P \right)\] . Ta có: \[d\left( M,\left( P \right) \right)=d(\Delta ,\left( P \right))\]
+ Chọn $N\in \Delta $. Lúc đó, \[\text{d}\left( \text{M},\left( \text{P} \right) \right)=\text{d}(\Delta ,\text{(P))=d}\left( N,\left( \text{P} \right) \right)\]
Cách 3:
+ Nếu $MN\cap (P)=I$. Ta có: \[\dfrac{\text{d}\left( \text{M},\left( \text{P} \right) \right)}{\text{d}\left( N,\left( \text{P} \right) \right)}=\dfrac{MI}{NI}\]
+ Tính \[\text{d}\left( N,\left( \text{P} \right) \right)\] và \[\dfrac{MI}{NI}\]
+ \[\text{d}\left( \text{M},\left( \text{P} \right) \right)=\dfrac{MI}{NI}.\text{d}\left( N,\left( \text{P} \right) \right)\]
Chú ý: Điểm \[N\]ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] dễ hơn tìm khoảng cách từ \[M\]đến \[\left( P \right).\]
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh $a$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
- A
- B
- C
- D
Câu 2: Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $M$ ngoài$\left( P \right)$, khoảng cách từ $M$ đến $\left( P \right)$ bằng $6$. Lấy $A$ thuộc $\left( P \right)$ và $N$ trên $AM$ sao cho $2MN=NA$. Khoảng cách từ $N$ đến $\left( P \right)$ bằng bao nhiêu?
- A
- B
- C
- D
\[\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{d\left( N,\left( P \right) \right)}{d\left( M,\left( P \right) \right)}\Rightarrow d\left( N\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{3}.6=4\]
Câu 3: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$cạnh$a$. Khoảng cách từ $C$ đến $A{C}'$ là:
- A
- B
- C
- D
$d\left( C;A{C}' \right)=CK$,$CK\bot A{C}'$ tại $K$
$\dfrac{1}{C{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow CK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên:
- A
- B
- C
- D
Gọi \[M\] là trung điểm \[AB\],dựng \[OK\bot SM\].\[d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OK\]
\[\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}\] \[\Rightarrow OK=a\sqrt{\dfrac{3}{10}}\]
Câu 5: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?
Cho tứ diện đều$ABCD$. Khoảng cách từ điểm $D$ tới mặt phẳng $(ABC)$ là:
- A
- B
- C
- D
Chọn đáp án B.
Câu 6: Cho hình hôp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=A{A}'=a,\text{ }AC=2a$. Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng$(AC{D}')$ là:
- A
- B
- C
- D
Dựng $DH\bot AC,DK\bot {D}'H$ .$d\left( D,\left( AC{D}' \right) \right)=DK$, $\dfrac{1}{D{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{D{{{{D}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow DK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$có $AB=a,\,BC=b,\,C{C}'=c$. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(AC{C}'{A}')$ là:
- A
- B
- C
- D
Dựng $BH\bot AC$. $d\left( B{B}',AC' \right)=d\left( B,\left( A'AC{C}' \right) \right)=BH=\dfrac{BA.BC}{AC}=\dfrac{a.b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$
Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=2a,BC=a$. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách $h$ từ $S$ đến mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$.
- A
- B
- C
- D
Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy do hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Mà đáy là hình chữ nhật nên tâm đường tròn ngoại tiếp chính là tâm của hình chữ nhật, hay là giao điểm $O$ của hai đường chéo.
Khi đó: $h = SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{2a^2 - \dfrac{5a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABCD$ đến một mặt bên:
- A
- B
- C
- D
Gọi $M$ là trung điểm $CD$, $OK\bot SM$ Khi đó$d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OK$.
Ta có$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow OK=\dfrac{\sqrt{2}}{3}a$
Câu 10: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng$~3a,$ cạnh bên bằng $2a$. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng:
- A
- B
- C
- D
Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] . Do \[S.ABC\] là chóp đều nên \[SG\bot \left( ABC \right)\].
\[AM=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AM=a\sqrt{3}.\]
\[\Delta SAG\] vuông tại \[SG=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a.\]
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có $SA\bot \left( ABC \right)$ , tam giác ABC đều cạnh a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng:
- A
- B
- C
- D
$\Rightarrow BH\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (vì BH là đường cao trong $\Delta ABC$ đều)
Câu 12: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ với $SA$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ và $SA\text{ }=\text{ }3a.$ Diện tích tam giác $ABC$ bằng $2{{a}^{2}},BC=a$. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
- A
- B
- C
- D
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC:$${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC\to AH=\dfrac{2.{{S}_{\Delta ABC}}}{BC}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{a}=4a$
Khoảng cách từ S đến BC chính là SH
Dựa vào tam giác vuông $\Delta SAH$ ta có $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{(3a)}^{2}}+{{(4a)}^{2}}}=5a$
Câu 13: Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $3a$, cạnh bên bằng $3a$. Tính khoảng cách $h$ từ đỉnh $S$ tới mặt phẳng đáy.
- A
- B
- C
- D
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $ \left( ABC \right)$, khi đó $h=SH$.
Do hình chóp $S.ABC$ đều nên $H$ là tâm của tam giác đều $ABC$. Suy ra \[HA = \dfrac{2}{3}\dfrac{{3{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \]
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a\sqrt 6 $
Câu 14: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình vuông cạnh $a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ . Khoảng cách từ $M$ đến $\left( SAB \right)$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
- A
- B
- C
- D
Khoảng cách từ $M$ đến $\left( SAB \right)$: $d\left( M,\left( SAB \right) \right)=d\left( D,\left( SAB \right) \right)=a.$
Câu 15: Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó$SA,\text{ }AB,\text{ }BC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA=3a$, $AB=a\sqrt{3}$,$BC=a\sqrt{6}$. Khoảng cách từ $B$ đến $SC$ bằng:
- A
- B
- C
- D
$SA\bot \left( ABC \right)$,$\Delta SBC$ vuông tại $B$; $BH\bot SC$ tại $H$
$\Rightarrow d\left( B,SC \right)=BH$
Ta có: $BH.SC=SB.BC$; $SC=3\sqrt{2}a,SB=2\sqrt{3}a$, suy ra $BH=2a$.
Câu 16: Chỉ ra khẳng định không đúng trong các khẳng định sau
- A
- B
- C
- D
Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau và chéo nhau thì sẽ không có đường vuông góc chung.
Câu 17: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot \left( \text{ }ABCD \right)$ đáy $ABCD$là hình thoi cạnh bằng $a$ và $\widehat{B}={{60}^{0}}$. Biết $SA=2a$. Khoảng cách từ $A$ đến $SC$ là:
- A
- B
- C
- D
$\Delta ABC$ đều,$AC=a$. Dựng $AK\bot SC$,$AK=d\left( A;SC \right)$.
$\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Câu 18: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có ${{S}_{ABC}}$ bằng $\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$ và thể tích bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ . Khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=d\left( A';\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}}\Rightarrow d\left( A';\left( ABC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Câu 19: Chỉ ra khẳng định sai trong các khẳng định sau:
- A
- B
- C
- D
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó tới mặt phẳng.