Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu

4.6/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Phương trình mặt cầu

Lý thuyết về Phương trình mặt cầu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ mặt cầu tâm $I(x_0;y_0;z_0)$,bán kính $R$ có phương trình là:

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$ Ngược lại, mỗi phương trình có dạng

$x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi $a^2 + b^2 + c^2 > 0$ . Khi đó tâm của mặt cầu là  $I(-a; -b; -c)$ và bán kính  $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu nếu

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo SGK phần phương trình mặt cầu ta được điều kiện để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu nếu ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>d$

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$ , điểm nào sau đây thuộc $\left( S \right)$ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay tọa độ các điểm \(M,N,P,Q\) vào phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] ta thấy tọa độ \[M\] thỏa mãn phương trình.

Chú ý đề hỏi điểm thuộc mặt câu chứ không phải hỏi tâm mặt cầu.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}+4y-8\text{z}+5=0$.
Tọa độ tâm của $\left( S \right)$ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình mặt cầu có dạng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\Rightarrow $ tâm có tọa độ là: $I\left( -a,-b,-c \right)$

Câu 4: Mặt cầu tâm $O$ và đi qua điểm $A\left( 0;4;3 \right)$ có diện tích là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $R=OA=\sqrt{{{0}^{2}}+{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5\Rightarrow S=4\pi {{.5}^{2}}=100\pi $

Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2cz-4=0\,\,\,\left( * \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình $\left( * \right)$ là phương trình mặt cầu $\Leftrightarrow 1+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -c \right)}^{2}}+4>0\Leftrightarrow {{c}^{2}}+9>0\forall c\in \mathbb{R}$

Câu 6: Trong không gian \(Oxyz\), cho phương trình $x^2 + y^2 +  z^2 + 2x + 2z + d = 0 \left( * \right)$, khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\,\,\,\left( * \right)$ là phương trình mặt cầu khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0\Rightarrow 1+1-d>0\Leftrightarrow d<2$, khi đó tâm mặt cầu là $I\left( -1;0;-1 \right)$ 

Câu 7: Xét mặt cầu có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+4y-2z-10=0$, khi đó khẳng định nào sau đây là đúng nhất:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+2.0+4.0-2.0-10=-10<0$ nên $O\left( 0,0,0 \right)$ nằm bên trong mặt cầu.

Câu 8: Trong không gian cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8\text{x}+2y+1=0$, tâm I của mặt cầu có tọa độ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\Rightarrow I\left( -a,-b,-c \right)$là tâm.

Câu 9: Phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;2;-2 \right)$, bán kính $R=2$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Mặt cầu tâm $I\left( a;b;c \right)$, bán kính $R$ có phương trình là
${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
$\Rightarrow $ Chọn đáp án ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4$

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=8$. Tính bán kính R của (S).

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Mặt cầu (S) có bán kính $R=\sqrt[{}]{8}=2\sqrt[{}]{2}$

Câu 11: Trong các phương trình sau, phương trình nào không là phương trình mặt cầu?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì hệ số của ${{x}^{2}},\,{{y}^{2}},\,{{z}^{2}}$ trong phương trình mặt cầu là bằng nhau nên phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}-2\text{x}+y-2\text{z}+1=0$ không là phương trình mặt cầu.

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{{(x-5)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9$. Tính bán kính R của (S).

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${{R}^{2}}=9\Rightarrow R=3$.