Trong không gian tọa độ $Oxyz$ mặt cầu tâm $I(x_0;y_0;z_0)$,bán kính $R$ có phương trình là:
$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$ Ngược lại, mỗi phương trình có dạng
$x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi $a^2 + b^2 + c^2 > 0$ . Khi đó tâm của mặt cầu là $I(-a; -b; -c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Theo SGK phần phương trình mặt cầu ta được điều kiện để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu nếu ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>d$
Thay tọa độ các điểm \(M,N,P,Q\) vào phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] ta thấy tọa độ \[M\] thỏa mãn phương trình.
Chú ý đề hỏi điểm thuộc mặt câu chứ không phải hỏi tâm mặt cầu.
Phương trình mặt cầu có dạng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\Rightarrow $ tâm có tọa độ là: $I\left( -a,-b,-c \right)$
Ta có $R=OA=\sqrt{{{0}^{2}}+{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5\Rightarrow S=4\pi {{.5}^{2}}=100\pi $
Phương trình $\left( * \right)$ là phương trình mặt cầu $\Leftrightarrow 1+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -c \right)}^{2}}+4>0\Leftrightarrow {{c}^{2}}+9>0\forall c\in \mathbb{R}$
Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\,\,\,\left( * \right)$ là phương trình mặt cầu khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0\Rightarrow 1+1-d>0\Leftrightarrow d<2$, khi đó tâm mặt cầu là $I\left( -1;0;-1 \right)$
Ta có ${{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+2.0+4.0-2.0-10=-10<0$ nên $O\left( 0,0,0 \right)$ nằm bên trong mặt cầu.
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\Rightarrow I\left( -a,-b,-c \right)$là tâm.
Mặt cầu tâm $I\left( a;b;c \right)$, bán kính $R$ có phương trình là
${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
$\Rightarrow $ Chọn đáp án ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4$
Mặt cầu (S) có bán kính $R=\sqrt[{}]{8}=2\sqrt[{}]{2}$
Vì hệ số của ${{x}^{2}},\,{{y}^{2}},\,{{z}^{2}}$ trong phương trình mặt cầu là bằng nhau nên phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}-2\text{x}+y-2\text{z}+1=0$ không là phương trình mặt cầu.
Vì ${{R}^{2}}=9\Rightarrow R=3$.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới