Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu

Bài sau

4.8/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với hai biểu thức $A, B$ mà $AB ≥ 0$ và $B ≠ 0$ ta có: $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {A.B} }}{{\left| B \right|}}$

Ví dụ:

$\sqrt {\dfrac{{5a}}{{7b}}} = \sqrt {\dfrac{{5a.7b}}{{7b.7b}}} = \dfrac{{\sqrt {5a.7b} }}{{\sqrt {{{\left( {7b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {35ab} }}{{7b}}$

Trục căn thức ở mẫu

Với hai biểu thức $A, B$ mà $B > 0$ ta có: $\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}$
Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A ≥ 0$ và $A ≠ B^2$ ta có: $\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A \pm B} \right)}}{{A - {B^2}}}$
Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A ≥ 0, B ≥ 0$ và $A ≠ B$ ta có: $\dfrac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A {\rm{ \;}} \pm B} \right)}}{{A - B}}$

Ví dụ:

$\dfrac{6}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{6\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{6\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{5 - 3}} = 3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)$

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$ ta được

A
2
B
4
C
12
D
5

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}=\dfrac{\sqrt{3}\left( \sqrt{\sqrt{3}+1}+1 \right)-\sqrt{3}\left( \sqrt{\sqrt{3}+1}-1 \right)}{\left( \sqrt{\sqrt{3}+1}+1 \right)\left( \sqrt{\sqrt{3}+1}-1 \right)} \\ =\dfrac{\sqrt{3\left( \sqrt{3}+1 \right)}+\sqrt{3}-\sqrt{3\left( \sqrt{3}+1 \right)}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1-1}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2 \end{array}$

Câu 2: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+1}$ ta được

A
$\dfrac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}$
B
$\dfrac{\sqrt{5}-5+\sqrt{30}}{10}$
C
$\dfrac{5-\sqrt{5}-\sqrt{30}}{10}$
D
$\dfrac{\sqrt{5}-5-\sqrt{30}}{10}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+1}=\dfrac{\sqrt{6}-\left( \sqrt{5}+1 \right)}{\left( \sqrt{6}+\sqrt{5}+1 \right)\left( \sqrt{6}-\left( \sqrt{5}+1 \right) \right)} \\ =\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{5}-1}{6-{{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{5}-1}{-2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{6.5}-5-\sqrt{5}}{-2.5} \\ =\dfrac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10} \end{array}$

Câu 3: Kết quả trục căn thức của biểu thức $\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}$ là:

A
$3+\sqrt{5}$ .
B
$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
C
$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ .
D
$3-\sqrt{5}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}=\dfrac{2(3+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\dfrac{2(3+\sqrt{5})}{9-5}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

Câu 4: Trục căn thức $\dfrac{6a}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ ta được

A
$\dfrac{3a\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{2a-b}$
B
$\dfrac{3a\left( 2\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{2a-b}$
C
$\dfrac{6a\left( 2\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{4a-b}$
D
$\dfrac{6a\left( 2\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{2a-b}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\dfrac{6a}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{6a\left( 2\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\left( 2\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( 2\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}=\dfrac{6a\left( 2\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{4a-b}$

Câu 5: So sánh hai số $5\sqrt{3}$ và $4\sqrt{5}$

A
$5\sqrt{3}\ge 4\sqrt{5}$ .
B
$5\sqrt{3}=4\sqrt{5}$ .
C
$5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$ .
D
$5\sqrt{3} > 4\sqrt{5}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $5\sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{2}}.3}=\sqrt{25.3}=\sqrt{75}$

$4\sqrt{5}=\sqrt{{{4}^{2}}.5}=\sqrt{16.5}=\sqrt{80}$

Vì $75 < 80\Leftrightarrow \sqrt{75} < \sqrt{80}\Leftrightarrow 5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$

Câu 6: Rút gọn biểu thức $5\sqrt{a}+6\sqrt{\dfrac{a}{4}}-a\sqrt{\dfrac{4}{a}}+5\sqrt{\dfrac{4a}{25}}$ với $a > 0$ , ta được kết quả là

A
$12\sqrt{a}$ .
B
$8\sqrt{a}$ .
C
$6\sqrt{a}$ .
D
$10\sqrt{a}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $5\sqrt{a}+6\sqrt{\dfrac{a}{4}}-a\sqrt{\dfrac{4}{a}}+5\sqrt{\dfrac{4a}{25}}$

$=5\sqrt{a}+6\sqrt{\dfrac{1}{4}.a}-a\sqrt{4.\dfrac{1}{a}}+5\sqrt{\dfrac{4}{25}.a}$

$=5\sqrt{a}+6\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}.a}-a\sqrt{{{2}^{2}}.\dfrac{1}{a}}+5\sqrt{{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{2}}.a}$

$=5\sqrt{a}+6.\dfrac{1}{2}\sqrt{a}-2a\sqrt{\dfrac{1}{a}}+5.\dfrac{2}{5}\sqrt{a}$

$=5\sqrt{a}+3\sqrt{a}-2a\dfrac{\sqrt{a}}{a}+2\sqrt{a}=5\sqrt{a}+3\sqrt{a}-2\sqrt{a}+2\sqrt{a}=8\sqrt{a}$ .

Câu 7: Với $n\in \mathbb{N}$ thì $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ bằng

A
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
B
$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
C
$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
D
$\sqrt{n+1}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)} \\ =\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{array}$

Câu 8: Rút gọn biểu thức $\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\text{ }\left( x\ge 0,y\ge 0;\text{ }x\ne y \right)$ ta được

A
$\sqrt{x}-\sqrt{xy}+\sqrt{y}$
B
$x-\sqrt{xy}+y$
C
$\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}$
D
$x+\sqrt{xy}+y$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \\ =\dfrac{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)\left( x+\sqrt{xy}+y \right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \\ =x+\sqrt{xy}+y \end{array}$

Câu 9: Giá trị $\dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\sqrt{5}$ bằng

A
$\sqrt{7}$
B
$\sqrt{5}-\sqrt{7}$
C
$2\sqrt{5}-\sqrt{7}$
D
$\sqrt{5}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} \dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\sqrt{5}=\dfrac{2\left( \sqrt{7}-\sqrt{5} \right)}{\left( \sqrt{7}+\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{7}-\sqrt{5} \right)}+\sqrt{5} \\ =\dfrac{2\left( \sqrt{7}-\sqrt{5} \right)}{7-5}+\sqrt{5}=\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{5}=\sqrt{7} \end{array}$

Câu 10: Khử mẫu biểu thức sau $xy\sqrt{\dfrac{4}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}}$ với $x > 0;y > 0$ ta được

A
$2$ .
B
$\sqrt{-xy}$ .
C
$4$ .
D
$\sqrt{2}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì $x > 0;y > 0$ nên $xy > 0$ . Từ đó ta có $xy\sqrt{\dfrac{4}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}}=xy.\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}}=xy.\dfrac{2}{xy}=2$

Câu 11: Giá trị của biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$ bằng

A
$-\sqrt{5}-1$
B
$1$
C
$2$
D
$\sqrt{5}-1$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ =\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4} \\ =\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4} \\ =\sqrt{5}-1 \end{array}$

Câu 12: Khử căn ở mẫu của biểu thức $\sqrt{\dfrac{4}{3}}+\sqrt{\dfrac{5}{27}}$ ta được

A
$\dfrac{6\sqrt{3}+\sqrt{15}}{9}$
B
$\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}}{9}$
C
$\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}}{3}$
D
$\dfrac{6\sqrt{3}+\sqrt{15}}{3}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\sqrt{\dfrac{4}{3}}+\sqrt{\dfrac{5}{27}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{15}}{9}=\dfrac{6\sqrt{3}+\sqrt{15}}{9}$

Câu 13: Sau khi tính giá trị của biểu thức $\dfrac{1}{5+3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{5-3\sqrt{2}}$ ta được kết quả là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}\,\,(a,b\in \mathbb{Z})$ . Khi đó $2a$ có giá trị là

A
$10$ .
B
$20$ .
C
$7$ .
D
$14$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\dfrac{1}{5+3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{5-3\sqrt{2}}=\dfrac{5-3\sqrt{2}}{\left( 5+3\sqrt{2} \right)\left( 5-3\sqrt{2} \right)}+\dfrac{5+3\sqrt{2}}{\left( 5+3\sqrt{2} \right)\left( 5-3\sqrt{2} \right)}=\dfrac{10}{{{5}^{2}}-{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{10}{25-18}=\dfrac{10}{7}$

Suy ra $a=10;b=7\Rightarrow 2a=2.10=20$ .

Câu 14: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{4}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}}$ với $x\ge 0;y\ge 0;x\ne \dfrac{4}{9}y$ ta được

A
$\dfrac{12\sqrt{x}-8\sqrt{y}}{9x-4y}$ .
B
$\dfrac{12\sqrt{x}+8\sqrt{y}}{9x+4y}$ .
C
$\dfrac{12\sqrt{x}-8\sqrt{y}}{3x+2y}$ .
D
$\dfrac{3\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{9x-4y}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\dfrac{4}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}}=\dfrac{4\left( 3\sqrt{x}-2\sqrt{y} \right)}{\left( 3\sqrt{x}+2\sqrt{y} \right)\left( 3\sqrt{x}-2\sqrt{y} \right)}=\dfrac{4\left( 3\sqrt{x}-2\sqrt{y} \right)}{{{\left( 3\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{y} \right)}^{2}}}=\dfrac{12\sqrt{x}-8\sqrt{y}}{9x-4y}$

Câu 15: Sau khi tính giá trị biểu thức $\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}+\dfrac{2}{7-3\sqrt{5}}$ ta được kết quả là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}(a,b\in \mathbb{Z})$ . Khi đó $a+b$ có giá trị là

A
$14$ .
B
$7$ .
C
$28$ .
D
$8$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có:

$\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}+\dfrac{2}{7-3\sqrt{5}}=\dfrac{2\left( 7-3\sqrt{5} \right)}{\left( 7+3\sqrt{5} \right)\left( 7-3\sqrt{5} \right)}+\dfrac{2\left( 7+3\sqrt{5} \right)}{\left( 7-3\sqrt{5} \right)\left( 7+3\sqrt{5} \right)}$

$=\dfrac{14-6\sqrt{5}}{{{7}^{2}}-{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}}+\dfrac{14+6\sqrt{5}}{{{7}^{2}}-{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{14-6\sqrt{5}+14+6\sqrt{5}}{49-9.5}=\dfrac{28}{4}=\dfrac{7}{1}$

Suy ra $a=7;b=1\Rightarrow a+b=7+1=8$ .

Câu 16: Rút gọn biểu thức $7\sqrt{x}+11y\sqrt{36{{x}^{5}}}-2{{x}^{2}}\sqrt{16x{{y}^{2}}}-\sqrt{25x}$ với $x\ge 0,y\ge 0$ ta được kết quả là

A
$2\sqrt{x}+56{{x}^{2}}y\sqrt{x}$ .
B
$2\sqrt{x}+58{{x}^{2}}y\sqrt{x}$ .
C
$2\sqrt{x}-58{{x}^{2}}y\sqrt{x}$ .
D
$12\sqrt{x}+58{{x}^{2}}y\sqrt{x}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$7\sqrt{x}+11y\sqrt{36{{x}^{5}}}-2{{x}^{2}}\sqrt{16x{{y}^{2}}}-\sqrt{25x}$ $=7\sqrt{x}+11y\sqrt{{{6}^{2}}{{x}^{4}}.x}-2{{x}^{2}}\sqrt{{{4}^{2}}x{{y}^{2}}}-\sqrt{{{5}^{2}}x}$ $=7\sqrt{x}+11y.6{{x}^{2}}\sqrt{x}-2{{x}^{2}}.4.y\sqrt{x}-5\sqrt{x}$ $=7\sqrt{x}+66{{x}^{2}}y\sqrt{x}-8{{x}^{2}}y\sqrt{x}-5\sqrt{x}$

$=\left( 7\sqrt{x}-5\sqrt{x} \right)+\left( 66{{x}^{2}}y\sqrt{x}-8{{x}^{2}}y\sqrt{x} \right)=2\sqrt{x}+58{{x}^{2}}y\sqrt{x}$ .

Câu 17: Rút gọn biểu thức $\dfrac{a}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{a}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{a}{3-\sqrt{5}}-\sqrt{5}a$ ta được

A
$12a$ .
B
$2a$ .
C
$a$ .
D
$3a$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{a}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{a}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{a}{3-\sqrt{5}}-\sqrt{5}a$

$=\dfrac{a\left( \sqrt{5}-1 \right)}{\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \sqrt{5}+1 \right)}+\dfrac{a\left( \sqrt{5}+2 \right)}{\left( \sqrt{5}-2 \right)\left( \sqrt{5}+2 \right)}-\dfrac{a\left( 3+\sqrt{5} \right)}{\left( 3+\sqrt{5} \right)\left( 3-\sqrt{5} \right)}-\sqrt{5}a$

$=\dfrac{a\left( \sqrt{5}-1 \right)}{4}+\dfrac{a\left( \sqrt{5}+2 \right)}{1}-\dfrac{a\left( 3+\sqrt{5} \right)}{4}-\sqrt{5}a$

$=\dfrac{a\left( \sqrt{5}-1 \right)+4a\left( 2+\sqrt{5} \right)-a\left( 3+\sqrt{5} \right)-4\sqrt{5}a}{4}$

$=\dfrac{a\left( \sqrt{5}-1+8+4\sqrt{5}-3-\sqrt{5}-4\sqrt{5} \right)}{4}=\dfrac{4a}{4}=a$

Câu 18: Với $a > 1$ thì kết quả rút gọn biểu thức $\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}$ là

A
$\sqrt{a}\left( 1-\dfrac{1}{a} \right)$
B
$\sqrt{a}\left( \dfrac{1}{a}-1 \right)$
C
$-\sqrt{a}\left( 1+\dfrac{1}{a} \right)$
D
$\sqrt{a}+1$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l} \dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}} \\ =-\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}=-\sqrt{a}+\dfrac{\sqrt{a}}{a}=\sqrt{a}\left( \dfrac{1}{a}-1 \right) \end{array}$

Câu 19: Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{2+\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}\left( x\ge 0;x\ne 4 \right)$ ta được

A
$-\dfrac{2\sqrt{x}}{2-x}$
B
$-\dfrac{2\sqrt{x}}{4+x}$
C
$-\dfrac{2\sqrt{x}}{4-{{x}^{2}}}$
D
$-\dfrac{2\sqrt{x}}{4-x}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\dfrac{1}{2+\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}=\dfrac{2-\sqrt{x}-\left( 2+\sqrt{x} \right)}{\left( 2+\sqrt{x} \right)\left( 2-\sqrt{x} \right)}=\dfrac{-2\sqrt{x}}{4-x}$

Câu 20: Khử mẫu biểu thức sau $-xy\sqrt{\dfrac{3}{xy}}$ với $x < 0;y < 0$ ta được

A
$\sqrt{3xy}$ .
B
$\sqrt{-xy}$ .
C
$\sqrt{xy}$ .
D
$-\sqrt{3xy}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì $x < 0;y < 0$ nên $xy > 0$ . Từ đó ta có

$-xy\sqrt{\dfrac{3}{xy}}=-xy.\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}=-\sqrt{3xy}$ .

Câu 21: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{3}{6+\sqrt{3a}}$ với $a\ge 0;a\ne 12$ ta được

A
$\dfrac{6+\sqrt{3a}}{12-a}$ .
B
$\dfrac{6+\sqrt{3a}}{12+a}$ .
C
$\dfrac{6-\sqrt{3a}}{12+a}$ .
D
$\dfrac{6-\sqrt{3a}}{12-a}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\dfrac{3}{6+\sqrt{3a}}=\dfrac{3\left( 6-\sqrt{3a} \right)}{\left( 6+\sqrt{3a} \right)\left( 6-\sqrt{3a} \right)}=\dfrac{3\left( 6-\sqrt{3a} \right)}{{{6}^{2}}-{{\left( \sqrt{3a} \right)}^{2}}}=\dfrac{3\left( 6-\sqrt{3a} \right)}{36-3a}=\dfrac{6-\sqrt{3a}}{12-a}$ .

Câu 22: Kết quả rút gọn của biểu thức $\dfrac{5}{12\left( 2\sqrt{5}+3\sqrt{2} \right)}-\dfrac{5}{12\left( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2} \right)}$ là

A
$-\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$
B
$-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
C
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D
$-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{l} \dfrac{5}{12\left( 2\sqrt{5}+3\sqrt{2} \right)}-\dfrac{5}{12\left( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2} \right)} \\ =\dfrac{5\left( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2} \right)-5\left( 2\sqrt{5}+3\sqrt{2} \right)}{12\left( 2\sqrt{5}+3\sqrt{2} \right)\left( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2} \right)} \end{array} \\ =\dfrac{10\sqrt{5}-15\sqrt{2}-10\sqrt{5}-15\sqrt{2}}{12.2}=-\dfrac{5\sqrt{2}}{4} \end{array}$

Câu 23: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{2a}{2-\sqrt{a}}$ với $a\ge 0;a\ne 4$ ta được

A
$\dfrac{-2a\sqrt{a}+4a}{4-a}$ .
B
$\dfrac{2a\sqrt{a}-4a}{4-a}$ .
C
$\dfrac{2a\sqrt{a}+4a}{4-a}$ .
D
$-\dfrac{2a\sqrt{a}+4a}{4-a}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{2a}{2-\sqrt{a}}=\dfrac{2a\left( 2+\sqrt{a} \right)}{\left( 2-\sqrt{a} \right)\left( 2+\sqrt{a} \right)}=\dfrac{2a\sqrt{a}+4a}{4-a}.$

Câu 24: Giá trị biểu thức $\left( \dfrac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-1} \right):\dfrac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{6}}$ bằng

A
$14$ .
B
$28$ .
C
$-14$ .
D
$15$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\left( \dfrac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-1} \right):\dfrac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{6}}$

$=\left( \dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{40}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{5}.\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} \right):\dfrac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{6}}$ $=\left( \dfrac{\sqrt{20}\left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right)}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{6}.\left( \sqrt{5}-1 \right)}{\sqrt{5}-1} \right):\dfrac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{6}}$ $=\left( 2\sqrt{5}+\sqrt{6} \right)\left( 2\sqrt{5}-\sqrt{6} \right)={{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}=20-6=14$

Câu 25: $A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 4 - \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 6 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 6 - \sqrt 7 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 8 }}$

A
$1-\sqrt{7}$
B
$3$
C
$-1-2\sqrt{2}$
D
$2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l} A=\dfrac{\sqrt{1}+\sqrt{2}}{1-2}-\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}+\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{4}}{3-4}-\dfrac{\sqrt{4}+\sqrt{5}}{4-5} \\ +\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{6}}{5-6}-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{7}}{6-7}+\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{8}}{7-8}-\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{9}}{8-9} \\ A=-1-\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{5} \\ -\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{7}-\sqrt{8}\\ A=-1-\sqrt{8}=-1-2\sqrt{2} \end{array}$

Câu 26: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{6}{\sqrt{x}+\sqrt{2y}}$ với $x\ge 0;y\ge 0$ ta được

A
$\dfrac{6\left( \sqrt{x}-\sqrt{2y} \right)}{x-2y}$ .
B
$\dfrac{6\left( \sqrt{x}-\sqrt{2y} \right)}{x-4y}$ .
C
$\dfrac{6\left( \sqrt{x}+\sqrt{2y} \right)}{x-2y}$ .
D
$\dfrac{6\left( \sqrt{x}+\sqrt{2y} \right)}{x+2y}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{6}{\sqrt{x}+\sqrt{2y}}$ $=\dfrac{6\left( \sqrt{x}-\sqrt{2y} \right)}{\left( \sqrt{x}+\sqrt{2y} \right)\left( \sqrt{x}-\sqrt{2y} \right)}=\dfrac{6\left( \sqrt{x}-\sqrt{2y} \right)}{x-2y}$ .

Câu 27: Giá trị của biểu thức $\sqrt{\dfrac{3}{20}}+\sqrt{\dfrac{1}{60}}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}}$ là

A
$1$ .
B
$0$ .
C
$3$ .
D
$2$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$\sqrt{\dfrac{3}{20}}+\sqrt{\dfrac{1}{60}}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}}=\dfrac{\sqrt{3.20}}{20}+\dfrac{\sqrt{60}}{60}-\dfrac{2\sqrt{15}}{15}=\dfrac{3\sqrt{60}+\sqrt{60}-4.\sqrt{4.15}}{60}=\dfrac{4\sqrt{60}-4\sqrt{60}}{60}=0.$

Câu 28: Khử căn ở mẫu của biểu thức $\dfrac{5}{5-\sqrt{3}}-\dfrac{5\sqrt{3}}{22}$ ta được

A
$\dfrac{25-5\sqrt{3}}{22}$
B
$\dfrac{25+\sqrt{3}}{22}$
C
$\dfrac{25}{22}$
D
$\dfrac{21}{22}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\frac{5}{{5 - \sqrt 3 }} = \frac{{5\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}}{{{5^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}}{{25 - 3}} = \frac{{25 + 5\sqrt 3 }}{{22}}$

$\Rightarrow \dfrac{5}{5-\sqrt{3}}-\dfrac{5\sqrt{3}}{22}=\dfrac{25}{22}$

Câu 29: Rút gọn biểu thức $C=\left( \dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1 \right):\left( \dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1 \right)$ ta được

A
$C=\sqrt{ab}$ .
B
$C=2\sqrt{ab}$ .
C
$C=-\sqrt{ab}$ .
D
$C=-2\sqrt{ab}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} a\ge 0 \\ b\ge 0 \\ ab\ne 1 \end{array} \right.$

Ta có

$\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1=\dfrac{a\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{ab}-1+ab+a\sqrt{b}+\sqrt{ab}+\sqrt{a}-ab+1}{ab-1}$

$=\dfrac{2a\sqrt{b}+2\sqrt{ab}}{ab-1}=\dfrac{2\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}.$

Và

$\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1=\dfrac{a\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{ab}-1-ab-a\sqrt{b}-\sqrt{ab}-\sqrt{a}+ab-1}{ab-1}$

$=\dfrac{-2\sqrt{a}-2}{ab-1}=\dfrac{-2\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}$

Nên $C=\dfrac{2\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}:\dfrac{-2\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}=-\sqrt{ab}.$

Câu 30: Kết quả của phép tính $\dfrac{3}{2}\sqrt{6}+2.\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4.\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ là

A
$\sqrt{6}$ .
B
$-3\sqrt{2}$ .
C
$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ .
D
$-5\sqrt{2}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $\dfrac{3}{2}\sqrt{6}+2.\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4.\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{6}+2.\dfrac{\sqrt{6}}{3}-4.\dfrac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\left( \dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3}-2 \right)=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ .

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu

Lý thuyết về Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Trục căn thức ở mẫu

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức √3√√3+1−1−√3√√3+1+1 \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1} ta được

Câu 2: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức 1√6+√5+1 \dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+1} ta được

Câu 3: Kết quả trục căn thức của biểu thức 23−√5 \dfrac{2}{3-\sqrt{5}} là:

Câu 4: Trục căn thức 6a2√a−√b \dfrac{6a}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}} ta được

Câu 5: So sánh hai số 5√3 5\sqrt{3} và 4√5 4\sqrt{5}

Câu 6: Rút gọn biểu thức 5√a+6√a4−a√4a+5√4a25 5\sqrt{a}+6\sqrt{\dfrac{a}{4}}-a\sqrt{\dfrac{4}{a}}+5\sqrt{\dfrac{4a}{25}} với a>0 a > 0 , ta được kết quả là

Câu 7: Với n∈N n\in \mathbb{N} thì 1√n+1+√n \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} bằng

Câu 8: Rút gọn biểu thức x√x−y√y√x−√y (x≥0,y≥0; x≠y) \dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\text{ }\left( x\ge 0,y\ge 0;\text{ }x\ne y \right) ta được

Câu 9: Giá trị 2√7+√5+√5 \dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\sqrt{5} bằng

Câu 10: Khử mẫu biểu thức sau xy√4x2y2 xy\sqrt{\dfrac{4}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}} với x>0;y>0 x > 0;y > 0 ta được

Câu 11: Giá trị của biểu thức 1√2+√1+1√3+√2+1√4+√3+1√5+√4 \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} bằng

Câu 12: Khử căn ở mẫu của biểu thức √43+√527 \sqrt{\dfrac{4}{3}}+\sqrt{\dfrac{5}{27}} ta được

Câu 13: Sau khi tính giá trị của biểu thức 15+3√2+15−3√2 \dfrac{1}{5+3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{5-3\sqrt{2}} ta được kết quả là phân số tối giản ab(a,b∈Z) \dfrac{a}{b}\,\,(a,b\in \mathbb{Z}) . Khi đó 2a 2a có giá trị là

Câu 14: Trục căn thức ở mẫu biểu thức 43√x+2√y \dfrac{4}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}} với x≥0;y≥0;x≠49y x\ge 0;y\ge 0;x\ne \dfrac{4}{9}y ta được

Câu 15: Sau khi tính giá trị biểu thức 27+3√5+27−3√5 \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}+\dfrac{2}{7-3\sqrt{5}} ta được kết quả là phân số tối giản ab(a,b∈Z) \dfrac{a}{b}(a,b\in \mathbb{Z}) . Khi đó a+b a+b có giá trị là

Câu 16: Rút gọn biểu thức 7√x+11y√36x5−2x2√16xy2−√25x 7\sqrt{x}+11y\sqrt{36{{x}^{5}}}-2{{x}^{2}}\sqrt{16x{{y}^{2}}}-\sqrt{25x} với x≥0,y≥0 x\ge 0,y\ge 0 ta được kết quả là

Câu 17: Rút gọn biểu thức a√5+1+a√5−2−a3−√5−√5a \dfrac{a}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{a}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{a}{3-\sqrt{5}}-\sqrt{5}a ta được

Câu 18: Với a>1 a > 1 thì kết quả rút gọn biểu thức a−√a1−√a+1√a \dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}} là

Câu 19: Rút gọn biểu thức 12+√x−12−√x(x≥0;x≠4) \dfrac{1}{2+\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}\left( x\ge 0;x\ne 4 \right) ta được

Câu 20: Khử mẫu biểu thức sau −xy√3xy -xy\sqrt{\dfrac{3}{xy}} với x<0;y<0 x < 0;y < 0 ta được

Câu 21: Trục căn thức ở mẫu biểu thức 36+√3a \dfrac{3}{6+\sqrt{3a}} với a≥0;a≠12 a\ge 0;a\ne 12 ta được

Câu 22: Kết quả rút gọn của biểu thức 512(2√5+3√2)−512(2√5−3√2) \dfrac{5}{12\left( 2\sqrt{5}+3\sqrt{2} \right)}-\dfrac{5}{12\left( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2} \right)} là

Câu 23: Trục căn thức ở mẫu biểu thức 2a2−√a \dfrac{2a}{2-\sqrt{a}} với a≥0;a≠4 a\ge 0;a\ne 4 ta được

Câu 24: Giá trị biểu thức (10+2√10√5+√2+√30−√6√5−1):12√5−√6 \left( \dfrac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-1} \right):\dfrac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{6}} bằng

Câu 26: Trục căn thức ở mẫu biểu thức 6√x+√2y \dfrac{6}{\sqrt{x}+\sqrt{2y}} với x≥0;y≥0 x\ge 0;y\ge 0 ta được

Câu 27: Giá trị của biểu thức √320+√160−2√115 \sqrt{\dfrac{3}{20}}+\sqrt{\dfrac{1}{60}}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}} là

Câu 28: Khử căn ở mẫu của biểu thức 55−√3−5√322 \dfrac{5}{5-\sqrt{3}}-\dfrac{5\sqrt{3}}{22} ta được

Câu 30: Kết quả của phép tính 32√6+2.√23−4.√32 \dfrac{3}{2}\sqrt{6}+2.\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4.\sqrt{\dfrac{3}{2}} là

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$ ta được

Câu 2: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+1}$ ta được

Câu 3: Kết quả trục căn thức của biểu thức $\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}$ là:

Câu 4: Trục căn thức $\dfrac{6a}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ ta được

Câu 5: So sánh hai số $5\sqrt{3}$ và $4\sqrt{5}$

Câu 6: Rút gọn biểu thức $5\sqrt{a}+6\sqrt{\dfrac{a}{4}}-a\sqrt{\dfrac{4}{a}}+5\sqrt{\dfrac{4a}{25}}$ với $a > 0$ , ta được kết quả là

Câu 7: Với $n\in \mathbb{N}$ thì $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ bằng

Câu 8: Rút gọn biểu thức $\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\text{ }\left( x\ge 0,y\ge 0;\text{ }x\ne y \right)$ ta được

Câu 9: Giá trị $\dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\sqrt{5}$ bằng

Câu 10: Khử mẫu biểu thức sau $xy\sqrt{\dfrac{4}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}}$ với $x > 0;y > 0$ ta được

Câu 11: Giá trị của biểu thức $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$ bằng

Câu 12: Khử căn ở mẫu của biểu thức $\sqrt{\dfrac{4}{3}}+\sqrt{\dfrac{5}{27}}$ ta được

Câu 13: Sau khi tính giá trị của biểu thức $\dfrac{1}{5+3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{5-3\sqrt{2}}$ ta được kết quả là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}\,\,(a,b\in \mathbb{Z})$ . Khi đó $2a$ có giá trị là

Câu 14: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{4}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}}$ với $x\ge 0;y\ge 0;x\ne \dfrac{4}{9}y$ ta được

Câu 15: Sau khi tính giá trị biểu thức $\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}+\dfrac{2}{7-3\sqrt{5}}$ ta được kết quả là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}(a,b\in \mathbb{Z})$ . Khi đó $a+b$ có giá trị là

Câu 16: Rút gọn biểu thức $7\sqrt{x}+11y\sqrt{36{{x}^{5}}}-2{{x}^{2}}\sqrt{16x{{y}^{2}}}-\sqrt{25x}$ với $x\ge 0,y\ge 0$ ta được kết quả là

Câu 17: Rút gọn biểu thức $\dfrac{a}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{a}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{a}{3-\sqrt{5}}-\sqrt{5}a$ ta được

Câu 18: Với $a > 1$ thì kết quả rút gọn biểu thức $\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}$ là

Câu 19: Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{2+\sqrt{x}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}\left( x\ge 0;x\ne 4 \right)$ ta được

Câu 20: Khử mẫu biểu thức sau $-xy\sqrt{\dfrac{3}{xy}}$ với $x < 0;y < 0$ ta được

Câu 21: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{3}{6+\sqrt{3a}}$ với $a\ge 0;a\ne 12$ ta được

Câu 22: Kết quả rút gọn của biểu thức $\dfrac{5}{12\left( 2\sqrt{5}+3\sqrt{2} \right)}-\dfrac{5}{12\left( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2} \right)}$ là

Câu 23: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{2a}{2-\sqrt{a}}$ với $a\ge 0;a\ne 4$ ta được

Câu 24: Giá trị biểu thức $\left( \dfrac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-1} \right):\dfrac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{6}}$ bằng

Câu 26: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\dfrac{6}{\sqrt{x}+\sqrt{2y}}$ với $x\ge 0;y\ge 0$ ta được

Câu 27: Giá trị của biểu thức $\sqrt{\dfrac{3}{20}}+\sqrt{\dfrac{1}{60}}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}}$ là

Câu 28: Khử căn ở mẫu của biểu thức $\dfrac{5}{5-\sqrt{3}}-\dfrac{5\sqrt{3}}{22}$ ta được

Câu 30: Kết quả của phép tính $\dfrac{3}{2}\sqrt{6}+2.\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4.\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ là