Mỗi biểu thức dạng $a+bi$, trong đó $a,b\in \mathbb{R}$, và số $i$ thỏa mãn $i^2 = -1$ được gọi là một số phức.
- $a$ là phần thực
- $b$ là phần ảo
Tập hợp các số phức kí hiệu $\mathbb{C}$
Ví dụ. Các số sau là những số phức: $2+5i;\,\,\,-\sqrt{2}+3i;\,\,\,1+\left( -3 \right)i;\,\,\,1+\sqrt{3}i;\,\,\,3i;\,\,\,-1$.
Chú ý.
Hai số phức bằng nhau
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
Cụ thể, nếu $ z = a + bi,(a, b \in \mathbb{R}) $ và $ z' = a' + b'i,(a', b' \in \mathbb{R})$ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi $$a = a', b = b'.$$Ví dụ. Tìm các số thực $x$ và $y$, biết: $$\left( 2x+1 \right)+\left( 3y-2 \right)i=\left( x+2 \right)+\left( y+4 \right)i. $$Giải. Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau ta có: $\left\{\begin{array}{l} 2x+1=x+2\\ 3y-2=y+4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = 3\end{array}\right.$.
Điểm biểu diễn số phức
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$
Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ $(a; b)$ biểu diễn $z = a + bi$.
$M$ biểu diễn số phức $z$ cũng có nghĩa là vectơ $\overrightarrow{OM}$ biểu diễn số phức đó.
Nếu $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}'$ theo thứ tự biểu diễn các số phức $z, z'$ thì:
Số phức liên hợp
Cho số phức $z=a+bi (a,b \in \mathbb{R})$. Ta gọi số phức $a-bi$ là số phức liên hợp của z và kí hiệu là $\bar{z}$. $$z = a + bi \Rightarrow \bar{z} = a - bi.$$Ta có các tính chất sau của số phức liên hợp:$\overline{\bar{z}} = z$.$\overline{z \pm z'} = \overline{z} \pm \overline{z'}$.$\overline{z \cdot z'} = \overline{z} \cdot \overline{z'}$.$\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}} (z' \ne 0)$.
Mô đun số phức
Định nghĩa: Môđun của số phức $z = a + bi (a, b \in \mathbb{R})$, kí hiệu là $|z|$ hoặc $|a + bi|$, là một số thực không âm cho bởi công thức $\left| a+bi \right|=\sqrt[{}]{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
Từ đó ta có thể suy ra $z \bar{z} = |z|^2$ và $|\bar{z}| = |z|$ với mọi số phức $z$.
Nếu $z \in \mathbb{R}$ ($z$ là số thực) thì môđun của $z$ chính là giá trị tuyệt đối của số thực đó và $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.
Ví dụ. $\left| 3-2i \right|=\sqrt[{}]{{{3}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt[{}]{13}$
Tính chất: Với hai số phức $z_1, z_2$ bất kỳ ta có:
$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai số bằng $0$ hoặc tồn tại số thực $k \ne 0$ sao cho $z_1 = k \cdot z_2$
$|z_1 - z_2| \ge \Big| |z_1| - |z_2| \Big|$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai số bằng $0$ hoặc tồn tại số thực $k \ne 0$ sao cho $z_1 = k \cdot z_2$
$| z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ (với $z_2 \ne 0$).
$\mathbb{N}$ là tập số tự nhiên, $\mathbb{Z}$ là tập số nguyên, $\mathbb{Q}$ là tập số hữu tỷ, $\mathbb{R}$ là tập số thực và $\mathbb{C}$ là tập số phức. Ta có mỗi liên hệ là: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.
Vậy chọn đáp án $\mathbb{C}\subset \mathbb{Q}$
Ta có $\left| z \right|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. Vậy khẳng định “$\left| z \right|=10$” sai
Ta có $\left( 2-3i \right)+\left( 2{{i}^{2}}-3i \right)=-6i$ là số thuần ảo
Cho số phức \[z=a+bi\]. Số phức ${{z}^{2}}$ có phần thực là:
\[{z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\]
Điểm \[M\] trong hình vẽ biểu diễn cho số phức \[z=-2+3i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{13}\].
Ta có $\dfrac{1}{z}=-i$
Ta có $zi=4+3i$ suy ra chọn đáp án $zi=4-3i$
Cho số phức $z=1-i+{{i}^{3}}$. Tìm phần thực $a$ và phần ảo $b$ của $z$.
Ta có $z=1-i+{{i}^{3}}=1-2i$ Vậy phần thực của z là 1 , phần ảo là -2
Dùng Casio tính được $\left| z \right|=\left| {{\left( 1+i \right)}^{3}} \right|=2\sqrt{2}$
Ta có \(\overline{\overline{z}}=z\)
\(z={{\left( 1+2i \right)}^{2}}=-3+4i\)
Vậy phần thực là $-3$ , phần ảo là 4
Cách 1.\(z={{\left( 2-\sqrt{3}i \right)}^{2}}={{2}^{2}}-4\sqrt{3}i-3=1-4\sqrt{3}i\)
Cách 2. Dùng casio.
Số phức liên hợp của $ z=2-3i $ là $ \overline{z}=2+3i $ . Vậy điểm biểu diễn số phức $ \overline{z} $ là $ M\left( 2\,;\,3 \right) $ .
Ta giả sử $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$:
$ z=3-4i\Rightarrow \overline{z}=3+4i $ .
Số phức nghịch đảo của số phức $z$ là $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-i}=i$
Ta có môdun của $ z=3-2i $ là $ |z|=\sqrt{3^2+2^2} =\sqrt{13}$.
Ta có $z=\left( 2-i \right)+2\left( -1-i \right)=-3i\Rightarrow z$ là số thuần ảo.
Có công thức z=a+bi nên a=2 và b=-3
Số phức thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0nên chọn $z=3i$
Ta có $\left| 1+2i \right|=\sqrt{5}<3$
Số 0 không có nghịch đảo nên khẳng định “Số phức nào cũng có số phức nghịch đảo” là sai.
$\overline{z+1}=5+3i$ nên số phức $\overline{z+1}$ có phần thực bằng $5$ phần ảo bằng 3.
Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$, ta có
\(\begin{array}{l} {z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} - {b^2} + 2{\rm{a}}bi\\ {\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Rightarrow {z^2} \ne {\left| z \right|^2} \end{array}\)