Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp.
$\int{0dx}=C$ |
$\int{{{a}^{x}}dx}=\dfrac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C\left( a>0,a\ne 1 \right)$ |
$\int{dx}=x+C$ |
$\int{\cos xdx=\operatorname{s}\text{inx}+C}$ |
$\int{{{x}^{a}}dx}=\dfrac{1}{a+1}{{x}^{a+1}}+C\left( a\ne -1 \right)$ |
$\int{\sin \text{xdx }}=-\cos x+C$ |
$\int{\dfrac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C$ |
$\int{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\tan x+C$ |
$\int{{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}+C$ |
$\int{\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-\cot x+C$ |
Chú ý. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f(x)$ thì ta có họ nguyên hàm của hàm số $y = f(ax + b)\,\,\,\, (a \ne 0)$ là $\displaystyle\int{f(ax + b)dx} = \dfrac{1}{a} F(ax + b) + C$.
Ví dụ. Tính $\displaystyle\int{\left( 2x^2+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right)}dx$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Giải. Với $\displaystyle x\in \left( 0;+\infty \right)$ ta có $\displaystyle\int{\left( 2{{x}^{2}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \right)dx=2\int{{{x}^{2}}dx+\int{{{x}^{\dfrac{-2}{3}}}}dx}} =\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{\dfrac{1}{3}}}+C=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+3\sqrt[3]{x}+C$
\(\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{e}{{{\cos }^{2}}x}d{x}}=\left. e\tan x \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}}=\dfrac{2{e}\sqrt{3}}{3}\)