1.Các bước giải
Bước 1: Thiết lập phương trình:
– Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
– lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng .
Bước 2: Kết hợp các phương trình giải hệ.
Bước 3: Kết luận
2.Các công thức cần lưu ý
+ Thời gian $ t$, quãng đường $s$, vận tốc $v$: \[s = v.t,v = \dfrac{s}{t},t = \dfrac{s}{v}\]
+ Chuyển động của tàu thuyền khi có tác động dòng nước:
V xuôi dòng = V thực + V dòng nước
V ngược dòng = V thực – V dòng nước
+ Khối lượng công việc A, năng suất lao động N, thời gian làm việc T: $A = N.T$
Gọi chiều dài của thửa ruộng là x (m), chiều rộng của thửa ruộng là y (m), (x, y > 0). Theo đề bài, nếu tăng chiều rộng lên 5m thì ta được thửa ruộng hình vuông, nghĩa là: $ y+5=x\Leftrightarrow x-y=5\,\,\,(*) $ Nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 3m thì diện tích của thửa ruộng sẽ giảm đi $ 21{{m}^{2}} $ , nghĩa là: $ \left( x-3 \right)\left( y+2 \right)=xy-21\Leftrightarrow 2x-3y=-15\,\,(**) $ Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & x-y=5 \\ & 2x-3y=-15 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=30 \\ & y=25 \end{array} \right. $ Diện tích của thửa ruộng là: $ 30.25=750\,({{m}^{2}}) $
Gọi số ghế là x, số học sinh là y. ( $ x,y\in \mathbb{N} $ )
Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 2 người không có chỗ, nghĩa là: $ 3x+2=y\Leftrightarrow 3x-y=-2\,\,(*) $
Nếu xếp mỗi ghế có 4 học sinh thì thừa 2 ghế, nghĩa là: $ 4\left( x-2 \right)=y\Leftrightarrow 4x-y=8\,\,\left( ** \right) $
Từ (*) và (**) ta có hệ:
$ \left\{ \begin{array}{l} & 3x-y=-2 \\ & 4x-y=8 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=10 \\ & y=32 \end{array} \right. $
Vậy phòng học đó có 32 học sinh và 10 ghế.
Gọi chiều dài của khu vườn là x (m), chiều rộng của khu vườn là y (m), (x, y > 0). Theo đề bài, chu vi của khu vườn là 180m, nghĩa là: x + y = 90 (*). Chiều dài hơn chiều rộng là 8m, nghĩa là: x – y = 8 (**). Từ (*) và (**), ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=90 \\ & x-y=8 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=49 \\ & y=41 \end{array} \right. $ Diện tích khu vườn là: $ 49.41=2009\,({{m}^{2}}) $
Gọi độ dài cạnh góc vuông lớn là x (cm), cạnh góc vuông nhỏ là y (cm) (x, y > 0). Vì hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông hơn kém nhau 2cm, nghĩa là: $ x-y=2\,\,(*) $ Nếu giảm cạnh lớn đi 4cm và tăng cạnh nhỏ lên 6cm thì diện tích không đổi, nghĩa là: $ \left( x-4 \right)\left( y+6 \right)=xy\Leftrightarrow 3x-2y=12\,\,(**) $ Từ (*) và (**) ta có hệ: $ \left\{ \begin{array}{l} & x-y=2 \\ & 3x-2y=12 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=8 \\ & y=6 \end{array} \right. $ Diện tích tam giác đó là: $ 8\times 6:2=24\,(c{{m}^{2}}) $
Gọi số cần tìm là $ \overline{ab} $ (a, b là các chữ số, $ a\ne 0 $ ) Theo đề bài ta có : chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị, nghĩa là: a = 3b (*). Số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 7 và dư là 6, nghĩa là: $ \overline{ab}=7\left( a+b \right)+6\Leftrightarrow 10a+b=7a+7b+6\Leftrightarrow a-2b=2\,\,(**) $ Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & a=3b \\ & a-2b=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=6 \\ & b=2 \end{array} \right. $ Số cần tìm là 62.
Gọi chiều dài của khu vườn là x (m), chiều rộng của khu vườn là y (m), (x, y > 0). Theo đề bài, nửa chu vi của khu vườn là 172m, nghĩa là: x + y = 172 (*). Chiều dài hơn chiều rộng là 6m, nghĩa là: x – y = 6 (**). Từ (*) và (**), ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=172 \\ & x-y=6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=89 \\ & y=83 \end{array} \right. $ Diện tích khu vườn là: $ 89.83=7387\,({{m}^{2}}) $
Gọi số cần tìm là $ \overline{ab}\,,\,\left( a,b\in \mathbb{N},0 < a\le 9,0\le b\le 9 \right) $ . Vì chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4 nên ta có: $ a+4=b\Leftrightarrow a-b=-4\,\,(*) $ Nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì ta được thương là 4 và dư là 3, nghĩa là: $ \overline{ab}=4\left( a+b \right)+3\Leftrightarrow 10a+b=4a+4b+3\Leftrightarrow 2a-b=1\,\,(**) $ Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & a-b=-4 \\ & 2a-b=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=5 \\ & b=9 \end{array} \right. $ Vậy số cần tìm là 59.
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (giờ) Gọi thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là y (giờ) (x, y > 0). 1 giờ thì vòi thứ nhất chảy được $ \dfrac{1}{x} $ (bể). 1 giờ thì vòi thứ hai chảy được $ \dfrac{1}{y} $ (bể). Theo đề bài ta có: $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\,\,(*) $ $ 2\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right)+\dfrac{10}{x}=1\,\,\,\Leftrightarrow \dfrac{12}{x}+\dfrac{2}{y}=1\,\,(**) $ Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6} \\ & \dfrac{12}{x}+\dfrac{2}{y}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=15 \\ & y=10 \end{array} \right. $ Vậy nếu chảy riêng thì vòi 1 chảy đầy bể sau 15 giờ, vòi 2 chảy đầy bể sau 10 giờ.
Gọi số sách có ở giá thứ nhất là x (cuốn), số sách có ở giá thứ hai là y (cuốn) ( $ x,y\in \mathbb{N} $ ). Theo đề bài, hai giá sách có 270 cuốn, nghĩa là: x + y = 270 (*) Nếu chuyển 30 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $ \dfrac{1}{2} $ số sách ở giá thứ nhất, nghĩa là: $ y+30=\dfrac{1}{2}\left( x-30 \right)\Leftrightarrow x-2y=90\,\,\,(**) $ Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=270 \\ & x-2y=90 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=210 \\ & y=60 \end{array} \right. $ Vậy, giá thứ nhất có 210 cuốn, giá thứ hai có 60 cuốn.
Gọi số cần tìm là $ \overline{x2y}\,,\left( x,y\in \mathbb{N},0 < x,y\le 9 \right). $ Theo đề bài ta có chữ số hàng trăm gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị, nghĩa là: $ x=3y\Leftrightarrow x-3y=0\,\,\,\,\,(*) $ Nếu đổi vị trí của số hàng trăm và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 396 đơn vị, nghĩa là: $ \begin{array}{l} & \overline{x2y}-\overline{y2x}=396\Leftrightarrow 100x+20+y-100y-20-x=396 \\ & \Leftrightarrow 99x-99y=396\Leftrightarrow x-y=4\,\,(**) \end{array} $ Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & x-3y=0 \\ & x-y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=6 \\ & y=2 \end{array} \right. $ Vậy số cần tìm là 622.
Gọi chiều cao của tam giác là x (cm), cạnh đáy của tam giác đó là y (cm) $ \left( x,y > 0 \right) $ . Theo đề bài ta có: Chiều cao bằng $ \dfrac{1}{3} $ cạnh đáy, nghĩa là: $ x=\dfrac{1}{3}y\Leftrightarrow 3x-y=0\,\,(*). $ Nếu chiều cao tăng thêm 2cm và cạnh đáy giảm đi 2cm thì diện tích của nó tăng thêm $ 20c{{m}^{2}} $ , nghĩa là:
Từ (*) và (**) ta có hệ: $ \left\{ \begin{array}{l} & 3x-y=0 \\ & -x+y=22 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=11 \\ & y=33 \end{array} \right. $ Vậy chiều cao tam giác đó là 11cm, cạnh đáy tam giác đó là 33cm.
Gọi chiều cao của hình bình hành đó là x (cm), cạnh đáy của hình bình hành đó là y (m), (x, y > 0). Vì chiều cao bằng $ \dfrac{1}{3} $ cạnh đáy nên ta có: $ x=\dfrac{1}{3}y\Leftrightarrow 3x-y=0\,(*) $ Nếu chiều cao giảm đi 3cm và cạnh đáy tăng thêm 2cm thì diện tích của nó giảm đi $ 111c{{m}^{2}} $ , nghĩa là: $ (x-3)(y+2)=xy-111\Leftrightarrow 2x-3y=-105\,\,\,(**) $ Từ (*) và (**) ta có hệ: $ \left\{ \begin{array}{l} & 3x-y=0 \\ & 2x-3y=-105 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=15 \\ & y=45 \end{array} \right. $ Diện tích hình bình hành là: $ 15.45=675\,(c{{m}^{2}}) $
Gọi tuổi anh hiện nay là x (tuổi), tuổi em hiện nay là y (tuổi) ( $ x,y\in \mathbb{N} $ ). Theo đề bài ta có: $ x+y=21 $ (*). Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em nên ta có: $ x=2y\,\,\,(**) $ Theo đề bài, ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=21 \\ & x=2y \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=14 \\ & y=7 \end{array} \right. $ Vậy tuổi anh hiện nay là 14 tuổi.
Gọi chiều rộng của miếng đất là x(m), chiều dài của miếng đất là y (m), (x, y > 0). Theo đề bài ta có: Miếng đất có chu vi bằng 70m, nghĩa là: x + y = 35 (*). Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì ta sẽ được mảnh đất hình vuông, nghĩa là: 4x = 3y hay 4x – 3y = 0 (**). Từ (*) và (**) ta có hệ: $ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=35 \\ & 4x-3y=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=15 \\ & y=20 \end{array} \right. $ Vậy chiều rộng miếng đất là 15m, chiều dài miếng đất là 20m.
Gọi chiều cao của tam giác đó là x (dm), cạnh đáy của tam giác đó là y (m), (x, y > 0). Vì chiều cao bằng $ \dfrac{4}{5} $ cạnh đáy nên ta có: $ x=\dfrac{4}{5}y\Leftrightarrow 5x-4y=0 $ (*). Nếu chiều cao tăng lên 2dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó giảm đi $ 13d{{m}^{2}} $ , nghĩa là: $ \dfrac{1}{2}(x+2)(y-3)=\dfrac{1}{2}xy-13\Leftrightarrow -3x+2y=-20\,(**) $ Từ (*) và (**) ta có hệ: $ \left\{ \begin{array}{l} & 5x-4y=0 \\ & -3x+2y=-20 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=40 \\ & y=50 \end{array} \right. $ Vậy chiều cao của tam giác đó là 40dm, cạnh đáy của tam giác đó dài 50dm.
Gọi vận tốc của xe máy đi từ A là x (km/h), vận tốc của xe máy đi từ B là y(km/h), (x, y > 0). Theo đề bài, ta có tổng vận tốc hai xe là: x + y = 105 : 1,4 =75 (*). Vận tốc xe đi từ A lớn hơn vận tốc xe đi từ B là 5km/h, nghĩa là: x – y = 5 (**). Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=75 \\ & x-y=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=40 \\ & y=35 \end{array} \right. $ Vậy vận tốc xe đi từ A là 40km/h, xe đi từ B là 35km/h.
Gọi số giờ người thứ nhất làm riêng mà hoàn thành công việc là x (giờ),
Gọi số giờ người thứ hai làm riêng mà hoàn thành công việc là y (giờ), (x, y > 0).
Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được $ \dfrac{1}{x} $ (công việc).
Trong 1 giờ, người thứ hai làm được $ \dfrac{1}{y} $ (công việc).
Theo đề bài, hai người thợ cùng làm một công việc thì trong 15 giờ xong, nghĩa là: $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{15}\,\,(*) $
Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ 2 làm trong 3 giờ thì sẽ xong 25% công việc, nghĩa là: $ \dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{1}{4}\,\,(**) $
Từ (*) và (**) ta có hệ:
$ \left\{ \begin{array}{l} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{15} \\ & \dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{1}{4}\, \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=20 \\ & y=60 \end{array} \right. $
Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất làm trong 20 giờ, người thứ hai làm trong 60 giờ.
Gọi số cần tìm là $ \overline{ab}\,,\,\left( a,b\in \mathbb{N},0 < a\le 9;0 < b\le 9 \right) $ . Theo đề bài ta có tổng hai chữ số bằng 12, nghĩa là: $ a+b=12\,\,\left( * \right) $ Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 18, nghĩa là: $ \overline{ba}-18=\overline{ab}\Leftrightarrow 10b+a-18=10a+b\Leftrightarrow a-b=-2\,\,(**) $ Từ (*) và (**) suy ra: $ \left\{ \begin{array}{l} & a+b=12 \\ & a-b=-2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=5 \\ & b=7 \end{array} \right.. $ Số cần tìm là 57.
Gọi số cần tìm là $ \overline{ab}\,,\,\left( a,b\in \mathbb{N},0 < a\le 9;0\le b\le 9 \right) $ . Theo đề bài ta có chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục, nghĩa là: $ b=2a\Leftrightarrow 2a-b=0\,\,\left( * \right) $ Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 36, nghĩa là: $ \overline{ba}-36=\overline{ab}\Leftrightarrow 10b+a-36=10a+b\Leftrightarrow a-b=-4\,\,(**) $ Từ (*) và (**) suy ra: $ \left\{ \begin{array}{l} & 2a-b=0 \\ & a-b=-4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=4 \\ & b=8 \end{array} \right.. $ Số cần tìm là 48.
Gọi chiều rộng của miếng đất là x(m), chiều dài của miếng đất là y (m), (x, y > 0). Theo đề bài ta có: Miếng đất có chu vi bằng 80m, nghĩa là: x + y = 40 (*). Nếu tăng chiều rộng lên hai lần và chiều dài lên ba lần thì nửa chu vi miếng đất là 102m, nghĩa là: 2x + 3y = 102 (**). Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} & x+y=40 \\ & 2x+3y=102 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=18 \\ & y=22 \end{array} \right. $ Vậy chiều rộng miếng đất là 18m, chiều dài miếng đất là 22m. Diện tích của miếng đất ban đầu là: $ 18\times 22=396\,({{m}^{2}}). $