Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác
Cho tam giác $ABC$. Gọi $m_a,m_b,m_c$ là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh $BC=a,CA=b,AC=c$. Ta có các công thức sau là công thức trung tuyến:
${{m}_{a}}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4};{{m}_{b}}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{b}{4};{{m}_{c}}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}$
Ta có: $ \cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{\sqrt{3}bc}{2bc}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A={{30}^{0}} $
Ta có: $ S=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}=\dfrac{3}{4}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}). $
Ta có: Nửa chu vi $ \Delta ABC $ : $ p=\dfrac{a+b+c}{2} $ .
Áp dụng công thức Hê-rông: $ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}=24 $
Ta có trong tam giác góc đối diện với cạnh có số đo lớn nhất thì lớn nhất $ \Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{{{3}^{2}}+{{8}^{2}}-{{9}^{2}}}{2.3.8}=-\dfrac{1}{6} $
Ta có: Trong tam giác $ ABC $ có $ a=6\Rightarrow BC=6 $ mà $ BM=3 $ suy ra $ M $ là trung điểm $ BC $
Suy ra: $ A{{M}^{2}}=m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=9\Rightarrow AM=3 $
Ta có: $ m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{4}. $
Ta có: $ m_{c}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}\Rightarrow {{m}_{c}}=\sqrt{\dfrac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{(2{{b}^{2}}+2{{a}^{2}})-{{c}^{2}}} $
Ta có: $ {{BC}^{2}}={{AC}^{2}}+{{AB}^{2}}-2AC.AB\cos A$
\[=36+64-2.6.8.\cos {{60}^{0}}=52\Rightarrow BC=2\sqrt{13} \]