Một cuộn cảm có độ tự cảm L mắc với một tụ điện có điện dung C thành một mạch kín gọi là mạch dao động.
Nếu điện trở của mạch rất nhỏ, coi như bằng không, thì mạch là một mạch dao động lí tưởng.
Nghiên cứu về mặt lí thuyết sự biến thiên điện tích của một bản nhất định ( bản trên tụ điện trong hình vẽ dưới) của mạch dao động ta thu được kết quả sau:
Điện tích tức thời $q={{q}_{0}}cos(\omega t+\varphi )$
Hiệu điện thế (điện áp) tức thời $u=\dfrac{q}{C}=\dfrac{{{q}_{0}}}{C}c\text{os}(\omega t+\varphi )={{U}_{0}}c\text{os}(\omega t+\varphi )$
Dòng điện tức thời $i=q=-\omega {{q}_{0}}sin(\omega t+\varphi )={{I}_{0}}cos(\omega t+\varphi +\dfrac{\pi }{2})$
Điện tích q của một bản tụ điện và cường độ dòng điện I trong mạch dao động biến thiên điều hòa theo thời gian; i sớm pha hơn q một góc $\dfrac{\pi }{2}$
Trong đó:
$\omega =\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=2{\pi}f$ là tần số góc riêng
${{I}_{0}}=\omega {{q}_{0}}=\dfrac{{{q}_{0}}}{\sqrt{LC}}=\omega C{{U}_{0}}={{U}_{0}}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$
${{U}_{0}}=\dfrac{{{q}_{0}}}{C}=\dfrac{{{I}_{0}}}{\omega C}=\omega L{{I}_{0}}={{I}_{0}}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$
Sự biến thiên điều hòa theo thời gian của điện tích q của một bản tụ điện và cường độ dòng điện I ( hoặc cường độ điện trường $\overrightarrow{E}$ và cảm ứng từ $\overrightarrow{B}$) trong mạch dao động được gọi là dao động điện từ tự do.
Ta có: ${{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} \to \omega = \dfrac{{{{\rm{I}}_0}}}{{{q_0}}} = \dfrac{{62,{{8.10}^{ - 3}}}}{{{{10}^{ - 8}}}} = 6,{28.10^6}ra{\rm{d}}/s \to f = {10^3}kHz$
Một mạch dao động LC lí tưởng gồm tụ điện có điện dung 18 nF và cuộn cảm thuần có độ tự cảm 6 $\mu H$. Trong mạch đang có dao động điện từ với hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện là 2,4 V. Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch có giá trị là
\({{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}.C{U_0} \Rightarrow {I_0} = {U_0}\sqrt {\dfrac{C}{L}} = 2,4\sqrt {\dfrac{{{{18.10}^{ - 9}}}}{{{{6.10}^{ - 6}}}}} \approx 0,13145{\rm{ }}A \to I = \dfrac{{{I_0}}}{{\sqrt 2 }} = 0,09295\left( A \right) = 92,95{\rm{ }}mA.\)
Giá trị cực đại và pha ban đầu của dòng điện i là:
$\left\{ \begin{array}{l}{I_0} = \omega {q_0} = q = {3.10^{ - 6}}.2000 = {6.10^{ - 3}}A = 6{\rm{ mA}}{\rm{.}}\\{\varphi _i} = {\varphi _q} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.{\rm{ }}i = 6\cos \left( {2000t + \dfrac{\pi }{2}} \right)mA.$
Giá trị cực đại và pha ban đầu của điện tích q là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{q_o} = \dfrac{{{I_o}}}{\omega } = \dfrac{{0,05}}{{100\pi }} = \dfrac{{{{5.10}^{ - 4}}}}{\pi }C\\{\varphi _q} = {\varphi _i} - \dfrac{\pi }{2} = - \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.{\rm{ }}q = \dfrac{{{{5.10}^{ - 4}}}}{\pi }\cos \left( {100\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)C.\)
Cường độ dòng điện tức thời trong mạch dao động LC có dạng $i = I_0sin(ωt) A$
Ta có: \({{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}.C{U_0} \Rightarrow {{\rm{I}}_0} = {U_0}\sqrt {\dfrac{C}{L}} \)
Ta có: $\omega = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{25.10}^{ - 3}}{{.16.10}^{ - 9}}} }} = {5.10^4}\left( {H{\rm{z}}} \right)$
Ta có: ${{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}.C{U_0} \Rightarrow {U_0} = {\rm{ }}{{\rm{I}}_0}\sqrt {\dfrac{L}{C}} $
Ta có: \({{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}.C{U_0} \Rightarrow {U_0} = {\rm{ }}{{\rm{I}}_0}\sqrt {\dfrac{L}{C}} = 0,15.\sqrt {\dfrac{{{{50.10}^{ - 6}}}}{{0,{{125.10}^{ - 6}}}}} = 3\left( V \right)\)
Giá trị cực đại và pha ban đầu của dòng điện i là:
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {{I}_{0}}=\omega {{q}_{0}}=q={{3.10}^{-6}}.2000=6\text{ mA}\text{.} \\ {{\varphi }_{i}}={{\varphi }_{q}}+\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{\pi }{2} \end{array} \right.\text{ } \\ \Rightarrow i=6\cos \left( 2000t+\dfrac{\pi }{2} \right)mA. \end{array} $
Ta có: \({{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} \Leftrightarrow {{\rm{I}}_0} = \dfrac{{{q_0}}}{{\sqrt {LC} }}\)
Ta có: \({{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} \Rightarrow \omega = \dfrac{{{{\rm{I}}_0}}}{{{q_0}}} = \dfrac{{{{10}^{ - 3}}}}{{0,{{16.10}^{ - 11}}}} = {625.10^6}\left( {ra{\rm{d}}/s} \right)\)
Ta có: ${{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} = \dfrac{{2\pi }}{T}.{q_0} \to T = \dfrac{{2\pi .{q_0}}}{{{{\rm{I}}_0}}} = \dfrac{{2\pi {{.10}^{ - 8}}}}{{62,{{8.10}^{ - 3}}}} = {10^{ - 6}}\left( s \right) = 1\left( {\mu s} \right)$
Ta có: \({{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} \Leftrightarrow {{\rm{I}}_0} = 2\pi f{q_0} \Rightarrow f = \dfrac{{{{\rm{I}}_0}}}{{2\pi {q_0}}}\)
Ta có: ${{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} = \dfrac{{2\pi }}{T}.{q_0} \to T = \dfrac{{2\pi .{q_0}}}{{{{\rm{I}}_0}}} = \dfrac{{2\pi {{.2.10}^{ - 6}}}}{{0,1\pi }} = {4.10^{ - 5}}\left( s \right)$
Ta có: \({{\rm{I}}_0} = \omega {Q_0} \Leftrightarrow {Q_0} = \dfrac{{{{\rm{I}}_0}}}{\omega } = \dfrac{{0,04}}{{{{2.10}^7}}} = {2.10^{ - 9}}\left( C \right)\)
Phương trình điện tích: $q = q_0cos(ωt + φ)$
Phương trình dòng điện: $i = I_0cos(ωt + φ + π/2)$
⟹ i và q biến thiên điều hòa cùng tần số
Ta có: \(\omega = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} \Leftrightarrow 2000 = \dfrac{1}{{\sqrt {L.0,{{5.10}^{ - 6}}} }} \Rightarrow L = 0,5\left( H \right)\)
$ {{\text{I}}_{0}}=\omega {{q}_{0}}={{2.10}^{7}}{{.2.10}^{-9}}=0,04\left( \text{A} \right)=40\text{ }\left( mA \right) $
Điện tích của một bản tụ điện biến thiên điều hòa theo thời gian theo phương trình: $q = q_0cos(ωt + φ)$
Ta có: ${{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} = {2.10^7}{.2.10^{ - 9}} = 0,04\left( {\rm{A}} \right) = 40{\rm{ }}\left( {mA} \right)$
Ta có: \(q=C.u=10.8=80\text{ }\mu C\)
Mạch dao động điện từ điều hoà có cấu tạo gồm tụ điện và cuộn cảm mắc thành mạch kín.
$ q={{q}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )\Rightarrow u={{U}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )=\dfrac{{{q}_{0}}}{C}\cos (\omega t+\varphi ) $
Ta có: ${{\rm{I}}_0} = \omega {q_0} = 2\pi f.{q_0} \to f = \dfrac{{{{\rm{I}}_0}}}{{2\pi .{q_0}}} = \dfrac{{{{10.10}^{ - 3}}}}{{2\pi {{.4.10}^{ - 8}}}} = 39,{8.10^3}\left( {kH{\rm{z}}} \right)$
Một mạch dao động gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C. Tần số góc riêng của mạch dao động này là
$\omega =\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.$
Ta có: \(\omega = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} \Rightarrow L = \dfrac{1}{{{\omega ^2}.C}} = \dfrac{1}{{{{2000}^2}{{.5.10}^{ - 6}}}} = 0,05\left( H \right) = 50\left( {mH} \right)\)
Giá trị cực đại và pha ban đầu của điện tích q là:
$ \left\{ \begin{array}{l} {{q}_{o}}=\dfrac{{{I}_{o}}}{\omega }=\dfrac{0,05}{100\pi }=\dfrac{{{5.10}^{-4}}}{\pi }C \\ {{\varphi }_{q}}={{\varphi }_{i}}-\dfrac{\pi }{2}=-\dfrac{\pi }{2} \end{array} \right.\text{ }\Rightarrow q=\dfrac{{{5.10}^{-4}}}{\pi }\cos \left( 100\pi t-\dfrac{\pi }{2} \right)C. $
Tần số góc dao động riêng của mạch là: $\omega =\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.$
Ta có: \(u=\dfrac{q}{C}=\dfrac{{{q}_{0}}}{C}\cos (\omega t+\varphi )\)
Phương trình hiệu điện thế giữa hai bản tụ: $u = U_0cos(ωt + φ)$
Phương trình dòng điện: $i = I_0cos(ωt + φ + π/2)$
⟹ i nhanh pha hơn u một góc π/2
\({{Q}_{0}}=\dfrac{{{I}_{0}}}{\omega }\)
q chậm pha hơn i một góc π/2 nên
\(q=\dfrac{{{I}_{0}}}{\omega }\cos \left( \omega t+\varphi -\dfrac{\pi }{2} \right)\)
Ta có: \({{\rm{I}}_0} = \omega {Q_0} \Leftrightarrow {{\rm{I}}_0} = \dfrac{{2\pi }}{T}{Q_0} \Rightarrow T = \dfrac{{2\pi {Q_0}}}{{{{\rm{I}}_0}}}\)