205 câu trắc nghiệm vận dụng cao phương pháp tọa độ trong không gian oxyz có đáp án và lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua điểm và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm . Tính thể tích khối chóp .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Gọi là hình chiếu của lên mp

Tam giác có .

Khi đó lớn nhất khi , hay .

Mp đi qua và nhận làm véc tơ pháp tuyến,

phương trình : .

cắt ; ; lần lượt tại , ,

Thể tích .

Câu 2 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Trong không gian , cho điểm . Xét đường thẳng thay đổi, song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ đến nhỏ nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có mô hình minh họa cho bài toán sau:

Ta có .

Khi đó đường thẳng đi qua điểm cố định và do làm vectơ chỉ phương của . Dựa vào 4 phương án ta chọn đáp án C. .

Câu 3 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Trong không gian , cho mặt cầu . Có tất cả bao nhiêu điểm ( là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Do thuộc mặt phẳng nên .

Nhận xét: Nếu từ kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi .

Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng , tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm bán kính lần lượt là và .

Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn đường thẳng: , , , . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

A. . B. . C. Vô Số D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dễ thấy do đó có một mặt phẳng duy nhất chứa

Mặt khác ta có chéo lần lượt cắt tại

Do đó tồn tại một đường thẳng duy nhất qua thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu , mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng vuông góc với , song song với giá của và tiếp xúc với . Lập phương trình mặt phẳng .

A. và .

B. và .

C. và .

D. và .

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm và bán kính là .

Mặt phẳng có VTPT là .

Vì là mặt phẳng vuông góc với , song song với giá của nên có cặp VTCP là và , suy ra có VTPT là .

Phương trình mp có dạng . Vì tiếp xúc với nên ta có

.

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là và .

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình tổng quát của mpqua hai điểm , và vuông góc với mp là:

A. . B. .

C. . D. .

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và các điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng . Tính

A. 3. B. C. 0. D.

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính .

Vì nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán

kính đường tròn giao tuyến, ta có với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

Diện tích hình tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi tức IH vuông góc với (P).

Phương trình đường thẳng

Gọi . .

. Suy ra .

Mặt phẳng (P) nhận làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình

.

Vậy .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độcho các điểm, , , . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua trongđiểm, , , , ?

A. . B. . C. . D. .

Lờigiải

Chọn B

Mặt phẳngcó phương trình là, do đó.

Lại cólà trung điểm.

Ta cóchứa các điểm, , , .

chứa các điểm, , ;

chứa các điểm , , ;

chứa các điểm, ,, .

chứa các điểm,, .

Vậy cómặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán.

Câu 9: Xét tứ diện có đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là góc giữa các đường thẳng với mặt phẳng . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

A. Số khác. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có , tương tự

Nên .

Và ; Áp dụng BĐT cố si, ta có

Tương tự, ta được

Suy ra . Dấu bằng xẫy ra khi .

Câu 10: Trong không gian , cho các mặt phẳng , . Gọi là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính . Xác định sao cho chỉ có đúng một mặt cầu thỏa mãn yêu cầu.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

* Gọi là tâm của mặt cầu . Do nên ta có .

* Do cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nên ta có:

* Do cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nên ta có:

* Từ và ta có:

* Để có duy nhất một mặt cầu thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình có duy nhất một nghiệm với nên điều kiện là:

.

Câu 11: Trong không gian , cho các mặt phẳng , . Gọi là mặt cầu có tâm thuộc trục tung, đồng thời cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính . Xác định sao cho chỉ có đúng một mặt cầu thỏa mãn yêu cầu.

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: Trong không gian , cho các mặt phẳng , . Gọi là mặt cầu có tâm thuộc trục , đồng thời cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính . Xác định sao cho chỉ có đúng một mặt cầu thỏa mãn yêu cầu.

A. . B. . C. . D. .

Câu 13: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt thỏa mãn khi:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có .

Phương trình tham số của là .

.

(*).

(*) .

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi .

Khi đó .

.

. Suy ra

.

Cách 2:

Mặt cầu có tâm , , .

Đường thẳng qua , có VTCP

Yêu cầu đề bài tương đương .

Câu 14: Trong không gian tọa độ cho các điểm và đường thẳng . Gọi sao cho chu vi tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có .

Từ đó ta có: .

.

Lập BBT ta có: .

Đề xuất: Đánh giá như sau

Trong hệ trục , chọn , , . Khi đó
.

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi , cùng hướng.

Câu 15: Trong không gian , biết mặt phẳng đi qua hai điểm , đồng thờicắt các trục tọa độ theo thứ tự tại hai điểm ( đều không trùng với gốc tọa độ ) thỏa mãn . Biết mặt phẳng có hai phương trình là và . Tính đại lượng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Gọi phương trình mặt phẳng là:

( do cắt tại điểm khác )

đi qua hai điểm , nên ta có các phương trình:

.

Mặt phẳng có phương trình dạng: . cắt lần lượt tại . .

Các mặt phẳng tìm được có phương trình: và .

Vậy =.

Câu 16: Trong không gian với hệ trục , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Gọi

Khi đó:

Theo bài ra:

Vậy

Vậy thỏa ycbt.

Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ , cho các điểm , và thay đổi sao cho và . Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua và tiếp xúc với mặt phẳng . Tính bán kính của mặt cầu đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Phương trình : .

Do nên suy ra

Gọi và lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu cố định đi qua và tiếp xúc với mặt phẳng .

Khi đó, ta có

và .

.

Khi đó

(2) làm tương tự.

Vậy .

Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng . Biết rằng khi thay đổi trên đoạn thì mặt phẳng luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Mặt phẳng có một véc tơ pháp tuyến là .

Gọi và lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu .

Khi đó, ta có .

.

Do mặt cầu cố định và tiếp xúc với nên không đổi với mọi . Suy ra có tâm . Khi đó .

Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm với thỏa mãn và. Biết thay đổi thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc mặt phẳng cố định. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Phương trình mặt cầu có dạng: .

Do đi qua nên

.

Suy ra có tâm và .

Mặt khác ta luôn có , thỏa

Do đó cố định.

Vậy.

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và mặt cầu . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn C

có tâm .

Vì nằm trong mặt cầu nên gọi là hình chiếu vuông góc của lên thì cũng nằm trong mặt cầu. Do đó luôn cắt theo giao tuyến là một đường tròn bán kính .

có phương trình: nên .

Vì suy ra . Do đó .

Ta lại có: nên để nhỏ nhất thì lớn nhất, mà nên mp cần tìm nhận làm VTPT. Vì nên . Vậy phương trình : .

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và hai điểm . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu có tâm Ta có . Tương tự bài trên ta có là trung điểm nên mp . Chọn B.

Câu 22: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu , điểm . Phương trình mặt phẳng đi qua và cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có diện tích nhỏ nhất?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu có tâm Ta có . Mặt khác nên bán kính của đường tròn giao tuyến min khi . Do đó mp cần tìm nhận làm VTPT và qua có dạng: .

Câu 23: Trong không gian hệ trục tọa độ , cho hai điểm và mặt cầu . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là hình tròn có bán kinh nhỏ nhất. Tính :

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn. A.

Mặt cầu có tâm bán kính .

Mặt phẳng có vtpt .

Do .

Ta có: , phương trình đường thẳng

Gọi là bán kính của đường tròn giao tuyến, là hình chiếu của trên , là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Ta có:

Ta có: đạt min thì đạt max.

Mà và cùng phương

Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho mặt phẳng, điểm và đường thẳng Tìm phương trình đường thẳng cắt và lần lượt tại hai điểm và sao cho là trung điểm của cạnh .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

cắt tại . Ta có là trung điểm của cạnh nên

Vì nên ta có:

Suy ra : và => đường thẳng là đường thẳng đi qua và

=> Phương trình là:

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt đường thẳng là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng có phương trình Phương trình của đường thẳng đi qua điểm cắt và vuông góc với đường thẳng là:

A. B.

C. D.

Câu 27: Trong không gian cho ba điểm , và . Biết mặt phẳng qua , và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện có một vectơ pháp tuyến là . Tổng là

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B

Phân tích: Nội dung chính của câu hỏi này là tìm tọa độ tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện.

Phương trình là: .

Phương trình là: .

Phương trình là: .

Phương trình là: .

Gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện .

Do đó:

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

Suy ra:

.

Suy ra: , , .

cùng phương với .

Suy ra có một VTPT là .

Vậy: .

Cách khác:

Phương trình là: .

Phương trình là: .

Gọi là mặt phẳng qua , và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện .

Suy ra là mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng và .

.

Phương trình bị loại do và phải nằm khác phía đối với . Vì vậy ta chọn phương trình . Do đó, có một VTPT là .

Vậy: .

Câu 28: Trong không gian cho tứ diện với điểm , , và . Biết mặt phẳng qua , và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện có một vectơ pháp tuyến là . Tổng là

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B

Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

.

.

.

.

Gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện .

Do đó:

nằm cùng phái với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

Suy ra:

.

Suy ra: , , .

cùng phương với .

Suy ra có một VTPT là .

Vậy: .

Cách khác: có thể sử dụng mặt phẳng phân giác như trên.

Câu 29: Trong không gian cho tứ diện với điểm , , và . Thể tích của mặt cầu nội tiếp tứ diện là

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B

Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

.

.

.

.

Gọi là tâm và là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện .

Do đó:

nằm cùng phái với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

nằm cùng phía với đối với suy ra: .

Suy ra:

.

Suy ra: , bán kính .

Vậy thể tích mặt cầu cần tìm là: .

Cách khác: Sử dụng công thức nhanh.

( là bán kính của mặt cầu nội tiếp)

Ta có: , , , , .

.

, , ,

.

Ta có:

.

Vậy: .

Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng và mặt cầu . Hai mặt phẳng và chứa và tiếp xúc với . Gọi và là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Từ Tâm và bán kính

Từ Vectơ

Hạ

.

.

Xét tam giác vuông tại ta có .

Ta có .

Vậy . Vậy chọn Đáp án B

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng nằm trong mặt phẳng , vuông góc với đường thẳng đồng thời khoảng cách từ giao điểm của với đến bằng Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B.

Đường thẳng có vecto chỉ phương là .

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là .

Gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng . Khi đó

Vì nên ta tìm được

Gọi là đường thẳng nằm trong và vuông góc với , thỏa mãn

có vecto chỉ phương là .

Khi đó có phương trình là .

Gọi , .

Với .

Với (loại)

Vậy

Câu 32: Trong không gian , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm trên mặt phẳng sao cho lớn nhất.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Gọi là điểm cần tìm.

Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ

Vậy điểm là điểm cần tìm.

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng , , , . Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải

Chọn A.

đi qua điểm và có VTCP .

đi qua điểm và có VTCP .

.

Vì và nên song song với .

Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và .

đi qua điểm và có hay có phương trình .

Gọi . Xét hệ phương trình .

Gọi . Xét hệ phương trình .

Vì cùng phương với nên không thỏa mãn.

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng , , , . Gọi là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

đi qua điểm và có VTCP .

đi qua điểm và có VTCP .

.

Vì và nên song song với .

Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng và .

đi qua điểm và có hay có phương trình .

Gọi . Xét hệ phương trình .

Gọi . Xét hệ phương trình .

đi qua điểm và có VTCP có phương trình .

Vì không cùng phương với nên thỏa mãn.

Dễ thấy .

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng , , . Viết phương trình đường thẳng cắt ba đường thẳng lần lượt tại các điểm sao cho .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

.

.

.

Vì là trung điểm của nên .

.

đi qua điểm và có VTCP có phương trình .

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt cầu . Hai mặt phẳng vàchứa và tiếp xúc với . Gọi là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có mặt cầu có tâm , bán kính .

Cách 1:

Gọi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng

Theo bài ra ta có:

-

Cách 2:

Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng chứa có dạng

Do nên ta có .

Ta có điều kiện tiếp xúc

Biến đổi phương trình (*) về phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với . Giải phương trình, tìm được mối liên hệ của theo . Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng tiếp diện, suy ra tọa độ tiếp điểm.

Chú ý: - Do phương trình (*) có nghiệm quá lẻ nên tôi không trình bày chi tiết ở đây. Tôi đã chọn bài 01 minh họa cách giải này.

- Với bài tập này cách giải thứ nhất phù hợp hơn. Tuy nhiên với bài toán tìm tọa độ tiếp điểm hay viết phương trình đường thẳng thì cách 2 phù hợp hơn.

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt cầu . Qua dựng các mặt phẳng tiếp xúc với lần lượt tại . Viết phương trình đường thẳng .

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có mặt cầu có tâm , bán kính .

Đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng chứa có dạng

Do nên ta có .

Ta có điều kiện tiếp xúc

Suy ra hai mặt phẳng tiếp diện là .

Suy ra tọa độ các tiếp điểm

Chọn đáp án A.

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt cầu tâm , bán kính . Hai mặt phẳng vàchứa và tiếp xúc với tạo với nhau góc . Hãy viết phương trình mặt cầu

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C.

Gọi là tiếp điểm của mặt phẳng và mặt cầu . Gọi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng .

TH1: Góc :

Theo bài ra ta có:

.

TH2: Góc :

Theo bài ra ta có:

.

Câu 38: Trong không gian cho tam giác có trọng tâm , biết và đỉnh thay đổi trên mặt cầu. Khi đó thuộc mặt cầu

A. B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm, ta có:

Do thay đổi trên mặt cầu nên ta có:

Vậy thuộc mặt cầu có PT: .

Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi , lần lượt là trung điểm các cạnh , , là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Giả sử . Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , ,

Ta có , nhận là một vecto pháp tuyến.

Từ .

.

Ta có nhận là một vecto chỉ phương.

.

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Giả sử là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có nên tam giác cân tại , vì vậy thuộc đường trung tuyến qua là

Do đó 🡪 chọn A.

Câu 41:Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi là trung điểm của Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. B. . C. D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn ta có hệ trục tọa độ sao cho và

Ta có ; và

Ta có

Do đó .

Vậy .

Câu 42: Biết rằng có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là đi qua (nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ theo thứ tự tại sao cho hình chóp là hình chóp đều. Tính tổng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng là:

là hình chóp đều nên ta có:

+) Thay vào ta được:

+) Thay vào ta được: ( vô nghiệm)

+) Thay vào ta được:

+) Thay vào ta được:

Vậy .

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng qua hai điểm , cắt các nửa trục dương , lần lượt tại , sao cho nhỏ nhất ( là trọng tâm tam giác ). Biết , tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Gọi mà nên và .

. qua hai điểm nên .

Ta có .

Suy ra .

Dấu bằng khi .

Câu 44:Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Mặt phẳng đi qua điểm và cắt trục tọa độ , , tại sao cho là trực tâm tam giác . Phương trình mặt phẳng là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Cách 1:

Gọi .

Phương trình mặt phẳng là .

Do nên ta có phương trình .

Ta có .

Do là trực tâm tam giác nên .

Thế vào ta được .

Vậy phương trình mặt phẳng là .

Cách 2:

Ta có chứng minh được .

đi qua nhận làm VTPT.

.

Câu 45: Cho hình lập phương cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của và (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Cách 1. ( dùng tọa độ)

Đưa hình lập phương vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

.\

Ta có : *)là VTCP của MN.

*) là VTCP của B’D’.

.

Cách 2.

Gọi P là trung điểm của C’D’.

Ta có : .

Ta có h là độ dài đường cao trong tam giác vuông MIN.

Vậy .

Câu 46: Trong không gian , cho mặt phẳng và điểm . Gọi là điểm thuộc tia , là hình chiếu của lên . Biết rằng tam giác cân tại . Diện tích của tam giác bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Gọi với . Đường thẳng đi qua điểm và có một vectơ chỉ phương có phương trình là: .

.

Vì tam giác cân tại

và .

Cách 1: , .

.

Cách 2: Gọi là trung điểm của . Ta có .

.

.

Do đó .

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng sao cho cắt và vuông góc với là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương , và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến suy ra .

Gọi

;

Suy ra .

Đường thẳng đi qua và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: .

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng và mặt cầu có phương trình lần lượt là: ; biết cắt tại hai điểm thì độ dài đoạn là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có phương trình tham số của là: thay vào ta được

Với ; với

.

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm và . Hỏi có bao nhiêu điểm trên mặt phẳng sao cho đều.

A. vô số. B. Có một. C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Gọi là điểm cần tìm

, ,

Do

Do đều .

Thế vào ,

.

và .

Câu 50: Trong không gian với hệ trục . Cho , ,, với , , dương và thỏa . Biết rằng , , thay đổi thì tâm của mặt cầu ngoại tiếp thuộc mặt phẳng cố định. Khi đó khoảng cách từ tới bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Gọi trung điểm , do tam giác vuông tại . Dựng trục qua và vuông góc với . Dựng trung trực của cắt tại tâm của mặt cầu ngoại tiếp và .

Lại có: thuộc mặt phẳng cố định.

Vậy, .

Câu 51:Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , với là các số thực thay đổi, khác 0 và thỏa mãn . Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là Giá trị nhỏ nhất của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có là tứ diện vuông tại . Gọi là trung điểm . Đường thẳng qua song song với là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Trong mặt phẳng , từ trung điểm của đoạn kẻ đường thẳng vuông góc với tại cắt tại . Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .

Ta có tọa độ điểm , khi đó điểm .

Do đó .

Dấu bằng xảy ra

Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , với là các số thực thay đổi, khác 0 và thỏa mãn . Tính thể tích nhỏ nhất của khối cầu ngoại tiếp tứ diện :

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác , tâm của khối cầu ngoại tiếp tứ diện là giao điểm của trục đường tròn và mặt phẳng trung trực của cạnh .

Khi đó

Do đó GTNN của thể tích khối cầu ngoại tiếp là .

Câu 53:Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Gọi là mặt phẳng qua cắt các trục tọa độ lần lượt tại . Khi đó giá trị nhỏ nhất của là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Mặt phẳng có phương trình , trong đó .

Ta có

Do đó .

Dấu bằng xẳy ra .

Cách khác: Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

Khi đó là góc tam diện vuông nên có

Mà

đạt giá trị nhỏ nhất khi .

Câu 54: Trong không gian , cho ba điểm , , và . Biết mặt phẳng qua , và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện có một vectơ pháp tuyến là . Tổng là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện là .

Ta có phương trình : .

Phương trình mặt phẳng : .

Tâm cách đều hai mặt phẳng và suy ra:

.

Nhận xét: hai điểm và nằm về cùng phía với nên loại .

Hai điểm và nằm về khác phía nên nhận .

Thấy ngay một vectơ pháp tuyến là thì , .Vậy .

Phân tích: Bản chất bài toán là đi lập phương trình mặt phẳng phân giác “trong” của hai mặt phẳng và .

Câu 55:Trong không gian , cho các điểm , , và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Biết mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là . Tổng là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có . . Suy ra .

Suy ra . Suy ra có một véc tơ pháp tuyến là .

Thấy ngay một vectơ pháp tuyến khác là do đó , .Vậy .

Câu 56: Trong không gian , cho ba điểm , , và . Tập hợp tất cả các điểm trong không gian có tỉ số khoảng cách đến hai mặt phẳng và bằng là:

A. Một mặt phẳng. B. Hai mặt phẳng. C. Một mặt cầu. D. Một mặt trụ.

Lời giải

Chọn B.

Gọi điểm có tỉ số khoảng cách đến hai mặt phẳng bằng .

Ta có phương trình : .

Phương trình mặt phẳng : .

Ta có suy ra:

.

Vậy chọn B.

Câu 57: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng . Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao cho và góc có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị bằng

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Lời giải

Chọn A.

Cách 1:

+) Vì nên thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của là

+) M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng nên M thuộc đường thẳng .

Gọi , ta có .

Khảo sát hàm số , ta được khi .

Suy ra có số đo lớn nhất khi , ta có .

Khi đó giá trị .

Cách 2:

là trung điểm của

thuộc mặt phẳng trung trực của gọi là

Do giả thuyết

Toạ độ thỏa mãn hpt

Do cân tại

Mà

Lại có , cố định

Mà

Vậy

.

Câu 58: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm và có tâm thuộc mặt phẳng bán kính của mặt cầu (S) có giá trị nhỏ nhất là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB,

nên H(2; 3; 1). Vecto .

Mặt cầu đi qua A, B có tâm M thuộc mặt phẳng (Q)

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

qua H và có vecto pháp tuyến có phương trình .

Do tâm M của mặt cầu cũng thuộc (P) nên M thuộc đường thẳng (d) là giao của (P) và (Q) có vectơ chỉ phương và qua .

Gọi d là khoảng cách từ H đến (d), , .

Ta có . Nhận thấy HB không đổi, R nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, MH nhỏ nhất khi M trùng I, lúc đó . (I là hình chiếu vuông góc của H lên (d))

Vậy .

Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Trên đường thẳng lấy hai điểm sao cho. Trên đường thẳng lấy hai điểm sao cho . Tính thể tích của khối tứ diện .

A. . B. . C. . D.

Lời giải:

Chọn B

Ta có đường thẳng đi qua điểm và có vec tơ chỉ phương

Ta có đường thẳng đi qua điểm và có vec tơ chỉ phương

Ta có khoảng cách giữa là

Nhận xét rằng

Thể tích khối tứ diện cần tìm là .

Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và điểm . Một đường thẳng thay đổi qua cắt tại hai điểm . Tìm giá trị lớn nhất của tổng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm và bán kính . Trong khi nên nằm ngoài hình cầu .

Gọi là trung điểm của , có nằm trên đường và nằm ngoài đoạn nên có .

Mặt khác, tam giác vuông tại nên . Vậy .

Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng qua và tâm của mặt cầu, tức lúc này là đường kính của mặt cầu.

Vậy giá trị lớn nhất của tổng là .

Câu 61: Cho hình lập phương cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của và (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Cách 1. ( dùng tọa độ)

Đưa hình lập phương vào hệ trục tọa độ sao cho

.

Ta có : *)là VTCP của .

*) là VTCP của .

.

Cách 2.

Gọi là trung điểm của .

Ta có : .

Ta có là độ dài đường cao trong tam giác vuông .

Vậy .

Câu 62: Trong không gian , cho mặt phẳng và điểm . Gọi là điểm thuộc tia , là hình chiếu của lên . Biết rằng tam giác cân tại . Diện tích của tam giác bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Gọi với . Đường thẳng đi qua điểm và có một vectơ chỉ phương có phương trình là: .

.

Vì tam giác cân tại

và .

Cách 1: , .

.

Cách 2: Gọi là trung điểm của . Ta có .

.

.

Do đó .

Cách 3:

Tam giác cân tại nên

Câu 63: Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là đi qua điểm và không đi qua gốc tọa độ , đồng thời cắt các trục tọa độ theo thứ tự tại sao cho hình chóp là hình chóp đều. Khi đó giá trị bằng?

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn D

Giả sử mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) , ,

Vì hình chóp là hình chóp đều, suy ra

Nên ta có (do không đi qua gốc tọa độ nên )

+) Vì điểm nên suy ra:

Nhận thấy nếu thì , trường hợp này không thỏa mãn do

Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp , và

Vậy , , suy ra .

Câu 64:Trong không gian hệ trục cho tam giác có ,,.Phương trình đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác và vuông góc với mặt phẳng là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là đường thẳng cần tìm.

Ta có ,, vuông tại .

Gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm .

Mặt phẳng có VTPT .

Do VTCP của là: .

Vậy phương trình đường thẳng là: .

Câu 65: Trong không gian tọa độ , cho điểm , đường thẳng và mặt cầu . Hỏi có bao nhiêu đường thẳng qua , vuông góc và tiếp xúc với

A.. B. . C.. D. Vô số.

Lời giải

Chọn B.

Gọi VTCP là

Mặt cầu Tâm

, . Ta có

Mà VTCP vuông góc VTCP nên .

Chọn . Nên có 1 VTCP của phương trình đường thẳng . Vậy có 1 PT thỏa.

Câu 66: Trong không gian tọa độ , cho điểm , đường thẳng và mặt cầu . Hỏi có bao nhiêu đường thẳng qua , vuông góc và tiếp xúc với

A.. B. . C.. D. Vô số.

Lời giải

Chọn C.

Gọi VTCP là

Mặt cầu Tâm

, .

Ta có VTCP vuông góc VTCP nên .

.

Chọn . Nên có 2 VTCP của phương trình đường thẳng . Vậy có 2 PT thỏa.

Câu 67: Trong không gian tọa độ , cho điểm , đường thẳng và mặt cầu . Hỏi có bao nhiêu đường thẳng qua , vuông góc và tiếp xúc với

A.. B. . C.. D. Vô số.

Lời giải

Chọn A.

Gọi VTCP là

Mặt cầu Tâm

, .

Ta có VTCP vuông góc VTCP nên .

có nghiệm không thỏa mãn điều kiện VTCP

Vậy không có PT thỏa.

Câu 68: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng :. Trong tất cả các đường thẳng đi qua gốc tọa độ , cắt đường thẳng , là đường thẳng mà khoảng cách đến là lớn nhất, là đường thẳng mà khoảng cách đến là nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là mặt phẳng chứa và đi qua :

Gọi là hình chiếu vuông góc của lêm mặt phẳng

là đường thẳng qua và . Suy ra có một VTCP :

Gọi là giao điểm của và

Khoảng cách từ đến lớn nhất khi

có một VTCP

Ta có .

Vậy chọn A.

Câu 69: Trong không gian , cho đường thẳng và hai điểm , . Gọi đường thẳng qua , vuông góc với sao cho khoảng cách từ tới là nhỏ nhất và là đường thẳng qua , cắt sao cho khoảng cách từ tới là nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khi đó, đường thẳng đi qua và thỏa YCBT.

Ta có: và . có một VTCP:

Gọi là mặt phẳng đi qua và chứa . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên .

Khi đó, đường thẳng đi qua và thỏa YCBT

Ta có: và . có một VTCP:

Vậy chọn B

Câu 70: Trong không gian , Cho đường thẳng và hai điểm . Gọi đường thẳng đi qua điểm và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng là lớn nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Giả sử cắt tại ,

Gọi là hình chiếu của trên . Khi đó, . Vậy lớn nhất bằng

BA

có một VTCP :

có một VTCP :

Ta có

Vậy chon D

Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác nhọn có ; ; lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các cạnh . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là:

A. B.

C. D.

Lời giải:

Chọn A.

Cách 1: Tọa độ : Gọi là trực tâm tam giác

Ta có:

Suy ra

Cách 2: VTPT của là .

Vì .

Gọi là mặt phẳng đi qua .

Gọi là mặt phẳng đi qua .

Ta có , đối chiếu phương án thấy thỏa mãn. Vậy chọn A

Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác nhọn có ; ; lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các cạnh . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là:

A. B.

C. D.

Lời giải:

Chọn A.

Cách 1: Tọa độ : Gọi là trực tâm tam giác

Ta có:

Suy ra

Cách 2: VTPT của là .

Vì .

Gọi là mặt phẳng đi qua .

Gọi là mặt phẳng đi qua .

Ta có , đối chiếu phương án thấy thỏa mãn. Vậy chọn A

Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Điểm thỏa mãn có tọa độ là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn B.

Từ giả thiết nên ba điểm thẳng hàng và nằm cùng phía so với điểm do dương.

Lại có .

Vậy là trung điểm của . Khi đó ta đươc tọa độ điểm .

Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Điểm thỏa mãn có tọa độ là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn C.

Từ giả thiết nên ba điểm thẳng hàng và nằm khác phía so với điểm do âm.

Lại có .

.

Gọi tọa độ , khi đó .

Câu 75: Trong không gian , cho hai điểm Phương trình mặt phẳng có dạng , biết lần lượt là hình chiếu của trên và ; . Tính ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

+) cùng phía đối với

+)

+)

+)

+) đi qua nhận làm véc tơ pháp tuyến

Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ , cho với dương. Biết di động trên các tia sao cho . Biết rằng khi thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc mặt phẳng cố định. Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

+) Gọi , , lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn .

Suy ra ;

+) Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì .

Tìm được

+) , do đó

+) .

Câu 77: Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm trong đó , , và Biết mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Tính thể tích của khối tứ diện

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

+) Ta có

+) Mặt cầu có tâm và bán kính

+) Mặt phẳng tiếp xúc với .

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

+) Dấu xảy ra khi đó

Câu 78: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm và cắt ba tia , , lần lượt tại ,, sao cho thể tích tứ diện nhỏ nhất?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

+) Giả sử : với

+) Thể tích tứ diện :

+) thuộc : .

+) Ta có:

+) V đạt giá trị nhỏ nhất

+) Vậy : .

Câu 79: Cho hai đường thẳng chéo nhau và . Phương trình đường vuông góc chung của và là:

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C. Giả sử cắt và tại .

Ta có suy ra , suy ra .

Suy ra .

Gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Suy ra

Suy ra cùng phương với , suy ra

Suy ra

Vậy phương trình đường vuông góc chung là

Câu 80: Cho hai đường thẳng chéo nhau và . Phương trình đường vuông góc chung của và là:

A. B.

C. D.

Câu 81: Cho hai đường thẳng chéo nhau và . Phương trình đường vuông góc chung của và là:

A. B.

C. D.

Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng đi quasong song với mặt phẳng và cắt đường thẳng . Phương trình của đường thẳng là:

A. . B. .

C. D. .

Lời giải

Chọn B.

Giả sử điểm là giao điểm của và .

=>

Vìnên ta có: =>

=> phương trình của là:

Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua vuông góc và cắt .

A. . B. .

C. . D. .

Câu 84: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt đường thẳng là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 85: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và đường thẳng . Một điểm thay đổi trên sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm và chu vi tam giác là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1. Phương pháp trắc nghiệm

- Kiểm tra thấy chỉ có điểm thuộc nên lại phương án

- Với tính chi vi tam giác suy ra chọn D.

Cách 2.

- Lấy điểm thuộc

- Tính chu vi tam giác :

(dùng BĐT vectơ)

Dấu bằng xảy ra . Chọn D.

Câu 86: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Gọi là mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có Khi hình chiếu của trên cũng là hình chiếu của trên .

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Ta có .

. (1) (với là một véctơ chỉ phương của )

Ta có ; .

Từ .

Vậy mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến là

cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Câu 87: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Gọi là mặt phẳng đi qua sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có khi .

Vậy qua và có một véc tơ pháp tuyến là .

Phương trình mặt phẳng .

Vậy .

Câu 88: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng phương trình mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có Khi hình chiếu của trên cũng là hình chiếu của trên .

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Ta có .

. (1) (với là một véctơ chỉ phương của )

Ta có ; .

Từ .

Vậy mặt phẳng qua và có một véctơ pháp tuyến là .

Phương trình mặt phẳng .

Câu 89: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và hai điểm Điểm với nằm trong mặt phẳng sao cho và . Gía trị của tổng bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

và

Từ giả thiết ta có hệ phương trình

(Vì nên ) Từ hệ trên ta suy ra phương trình:

Kết hợp với điều kiện ta được nên .

Câu 90: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng . Ba điểm và . Điểm thuộc mặt phẳng sao cho và . Tính tổng , biết rằng .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: và .

Lập luận tương tự, ta có hệ phương trình:

Giải ra ta được , do nên ta nhận được .

Câu 91: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và mặt phẳng . Gọi là điểm thuộc sao cho vuông tại . Khoảng cách từ đến bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: suy ra thuộc mặt cầu đường kính .

Gọi là trung điểm , khi đó và .

Ta tính được suy ra và mặt cầu tiếp xúc nhau hay là tiếp điểm của và . Vậy là hình chiếu của trên .

Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với là: .

Tọa độ của là nghiệm của hệ phương trình: suy ra .

Suy ra .

Câu 92: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai điểm , . Mặt cầu có tâm tiếp xúc với mặt phẳng tại và đi qua điểm . Giá trị của tích bằng

A. . B. C. . D.

Lời giải

Chọn B

Do và mặt cầutiếp xúc với tại nên có tâm nằm trên đường thẳng là đường thẳng qua và vuông góc với .

Phương trình đường thẳng

Do mặt cầu qua nên

.

Câu 93: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu tâm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Điểm thuộc sao cho đoạn có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm .

A. . B. . C.. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có tâm và bán kính . Do nên mặt phẳng không cắt mặt cầu . Do là hình chiếu của lên và lớn nhất nên là giao điểm của đường thẳng với mp .

.

Phương trình đường thẳng là .

Giao điểm của với : và .

; .

Vậy điểm cần tìm là .

Câu 94: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu

có bán kính đường thẳng và mặt phẳng Trong các số theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn đồng thời tâm của thuộc đường thẳng và tiếp xúc mặt phẳng

A.. B.. C.. D.

Lời giải

Đáp án A

Ta có

Do tiếp xúc với nên

Mặt khác có tâm ; bán kính

Xét khi

Do nên ta loại trường hợp này

Xét khi

Do nên thỏa .

Câu 95: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm . Gọi là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng , cách đường thẳng một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B.

Đường thẳng có vecto chỉ phương và đi qua gốc tọa độ .

Gọi là điểm thuộc mặt phẳng , cách một khoảng bằng 6.

Ta có: . Ta được: .

Như vậy tập hợp điểm là elip trong mặt phẳng tọa độ , có phương trình:

, nên có nửa độ dài các trục lần lượt là và có diện tích bằng: .

Câu 96: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , với , , . Biết rằng mặt phẳng đi qua điểm và tiếp xúc với mặt cầu . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Mặt phẳng đi qua ba điểm , , nên có phương trình là

.

Ta có nên .

Mặt cầu có tâm và bán kính .

tiếp xúc với .

Câu 97: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và điểm . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Cách 1:

Nhận xét:

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua đôi một vuông góc với nhau là .

Với điểm bất kỳ, hạ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng thì ta luôn có: .

Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ với , ba trục lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng .

Khi đó tọa độ thì:

hay .

Vậy được chứng minh.

Áp dụng giải bài :

Mặt cầu có tâm và có bán kính .

.

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua đôi một vuông góc với nhau là và cắt mặt cầu theo ba đường tròn lần lượt là , , .

Gọi và lần lượt là tâm và bán kính của , , .

Khi đó : .

Tương tự có: và .

Theo nhận xét ở trên ta có:

Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

.

Cách 2:

Đặt biệt hóa : Giả sử có 3 đường tròn ; ; như hình bên trong đó; đều là đường tròn lớn có bán kính là .

; suy ra  ; . Suy ra bán kính hình tròn là

Tổng diện tích các hình tròn là: .

Câu 98: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và mặt phẳng , là tham số. Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên . Tính khi khoảng cách từ điểm đến lớn nhất ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1:

Ta có

Xét hàm số

BBT

Hàm số đạt GTLN khi

Đường thẳn qua và vuông góc với có phương trình là

.

Cách 2:

Gọi là điểm cố định thuộc mặt phẳng

Ta có

tọa độ điểm thỏa mãn hệ

Đặt với , từ (*)

Vậy tập hợp các điểm cố định thuộc mặt phẳng là đường thẳng

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên

Ta có lớn nhất bằng khi

.

Câu 99: Trong hệ tọa độ không gian , cho mặt phẳng và hai đường thẳng . Biết rằng có 2 điểm trên và hai điểm trên sao cho song song mặt phẳng đồng thời cách mặt phẳng một khoảng bằng 2. Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là mặt phẳng song song với sao cho khoảng cách giữa và bằng .

có phương trình dạng và chứa hoặc .

Theo giả thiết khoảng cách từ mp đến bằng 2 nên ta có

Vậy có 2 mặt phẳng song song và cách một khoảng bằng 2 là:

và .

+ Theo giả thiết suy ra

suy ra

Vậy .

Câu 100: Trong không gian , cho đường thẳng : , điểm và mặt cầu : . Gọi là đường thẳng đi qua và cắt tại , cắt tại sao cho và điểm có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng trung trực của đoạn có phương trình là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Từ giả thiết: có tâm và bán kính .

.

Vì .

+) Nếu .

Do

( Vô nghiệm).

+) Nếu .

Do

; .

Do có hoành độ là số nguyên nên .

Trung điểm là nên PT mặt phẳng trung trực :

.

Câu 101: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , và vuông góc với đáy . Tính , với là góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Cách 1:

Vẽ

Lúc đó

Gọi lần lượt là trung điểm lúc đó ta có

Hình chiếu của trên chính là

Ta có

Cách 2:

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó, ta có , , , .

Ta có , nên đường thẳng có véc-tơ chỉ phương là .

Ta có , .

Như vậy, mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến là .

Do đó, là góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng thì

.

Câu 102: Trong không gian với hệ tọa độ ,cho bốn đường thẳng . Gọi là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có .Phương trình mặt phẳng

Gọi

Khi đó là đường thẳng . là vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Câu 103: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng , , , và điểm sao cho: đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Gọi là điểm thỏa mãn .

Khi đó:

=

= .

Do không đổi nên đạt nhỏ nhất khi nhỏ nhất . Điểm nên nhỏ nhất khi là hình chiếu của lên mặt phẳng . Khi đó, là giao điểm của và đường thẳng qua , vuông góc với .

Tọa độ của là nghiệm của hệ: .

Vậy

Câu 104: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm Mặt phẳng đi qua vuông góc với cách gốc tọa độ một khoảng cách bằng và cắt các tia lần lượt tại các điểm khác Thể tích khối tứ diện bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi PT mặt phẳng .

Do nên PT mặt phẳng .

.

Do đó, .

Ta có thể tạo một số bài toán tương tự bằng cách thay giả thiết và qua bằng giả thiết chứa đường thẳng giả thiết khoảng cách bằng giả thiết góc.

Câu 105: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng chứa đường thẳng đồng thời cách gốc tọa độ một khoảng cách bằng và cắt các tia lần lượt tại các điểm khác Thể tích khối tứ diện bằng

A. B. C. D.

Câu 106: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm Mặt phẳng đi qua vuông góc với tạo với mặt phẳng góc sao cho . Mặt phẳng cắt các tia lần lượt tại các điểm khác Thể tích khối tứ diện bằng

A. B. C. D.

Câu 107: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng chứa đường thẳng đồng thời cách gốc tọa độ một khoảng cách lớn nhất. Gọi (khác ) lần lượt là giao điểm của với các tia . lần lượt tại các điểm Thể tích khối tứ diện bằng

A. B. C. D.

Câu 108: Trong không gian, cho hai điểm , . Gọi là mặt phẳng thay đổi đi qua , và cắt các trục , lần lượt tại , với , . Khi diện tích tam giác nhỏ nhất, hãy tính giá trị của

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Phương trình mặt phẳng .

Điểm

Có .

Ta có: .

(do )

Đặt

Khi đó , với .

Có đồng biến trên

Suy ra nhỏ nhất nhỏ nhất , tức .

Vậy nhỏ nhất khi

Câu 109: Trong không gian , cho hai điểm , . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác và vuông góc với mặt phẳng . Hỏi đi qua điểm nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn C.

Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Dễ dàng tính được .

Khi đó

Và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

Phương trình đường thẳng có dạng:

Thử điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy chỉ có điểm thỏa mãn.

Câu 110: Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác vuông tại , , ; hình chiếu của trên mặt phẳng là trung điểm cạnh . Gọi là trung điểm cạnh (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

, ,

Gọi là trung điểm .

; .

là trung điểm .

;

.

Câu 111: Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Xét các mặt cầu có tâm , đi qua điểm , tiếp xúc với mặt phẳng . Tính giá trị của biểu thức khi có bán kính nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng ta có nên nhỏ nhất khi thẳng hàng và là trung điểm của

Phương trình AH đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

Tọa độ là nghiệm của hệ

.

Câu 112: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu tâm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Điểm thuộc sao cho đoạn có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có tâm và bán kính . Do nên mặt phẳng không cắt mặt cầu . Do là hình chiếu của lên và lớn nhất nên là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu .

.

Phương trình đường thẳng là .

Giao điểm của với : và .

; .

Vậy điểm cần tìm là .

Câu 113: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và các điểm , . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm , sao cho thiết diện của với mặt cầu có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình dưới dạng . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu có tâm bán kính là .

Ta có , nằm trong mặt cầu. Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của lên thiết diện.

Ta có diện tích thiết diện bằng . Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi lớn nhất. Mà suy ra qua và vuông góc với .

Ta có suy ra là trung điểm của . Vậy và .

Vậy .

Câu 114: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và đường thẳng : . Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất có phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , là hình chiếu vuông góc của lên .

Ta có: cố định và lớn nhất bằng khi .

qua , có VTCP .

Gọi là mặt phẳng qua và chứa có VTPT .

Mặt phẳng có một VTPT là và qua có phương trình: .

Câu 115: Cho đường thẳng và mặt phẳng : . Mặt phẳng qua và tạo với một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi , , ; là hình chiếu vuông góc của lên ; là hình chiếu của lên .

Suy ra: cố định; .

Mà (vì ).

Suy ra nhỏ nhất bằng khi .

Khi đó và có một VTCP .

có một VTPT .

Câu 116: Trong không gian , cho mặt phẳng và hai điểm , . Trong các đường thẳng đi qua và song song , đường thẳng mà khoảng cách từ đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi là mặt phẳng qua và song song .

Ta có: , nằm về hai phía với .

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên cố định và .

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên bất kì qua và nằm trong hay .

Ta có: bé nhất bằng khi .

Gọi là VTPT của .

cần lập qua , và có VTCP .

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là: .

Câu 117: Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có phương trình đường phân giác trong góc là Biết rằng điểm thuộc đường thẳng và điểm thuộc đường thẳng Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Giả sử , ta có:

,

Theo bài ra: Vì là đường phân giác của góc nên:

. Vậy một véc tơ chỉ phương của là

Câu 118: Trong không gian cho điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng cắt mặt phẳng tại . Điểm nằm trong mặt phẳng sao cho luôn nhìn dưới một góc vuông và độ dài lớn nhất. Tính độ dài .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình:

. Ta có giao điểm của và mặt phẳng là :

.

.

Vậy .

Điểm nằm trong mặt phẳng sao cho luôn nhìn dưới một góc vuông nên nằm trên đường tròn là giao của mặt cầu đường kính với mặt phẳng . Khi đó độ dài lớn nhất khi và chỉ khi độ dài bằng đường kính của . Gọi bán kính của đường tròn là , trung điểm củalà , .

Ta có . Vậy độ dài lớn nhất là .

Câu 119: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm , , , trong đó , , và . Biết mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu . Thể tích của khối tứ diện là.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có .

Theo bài ra có: .

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

.

Ta có .

Dấu bằng xảy ra .

Vậy .

Cách 2:

Ta có và suy ra .

Lại có nên tiếp xúc với tại .

Suy ra nên .

Câu 120: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm ; . Hai điểm , thay đổi trên các đoạn , sao cho đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi ngắn nhất thì trung điểm của có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta thấy

Ta có nằm trên đoạn nên , ,

nằm trên đoạn nên , ,

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi suy ra ,

Vậy khi đó trung điểm của có tọa độ

Câu 121: Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng qua hai điểm , cắt các tia lần lượt tại sao cho là nhỏ nhất, với là trọng tâm tam giác . Biết , hãy tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi với . Suy ra: .

Phương trình mặt phẳng : .

Vì nên .

Ta có:.

Ta có:.

Suy ra: .

Do đó: . Dấu bằng xảy ra khi .

Khi đó:.

Vậy .

Câu 122: Trong không gian cho điểm Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua và cắt các trục lần lượt tại các điểm sao cho

A. B. 3. C. D. 8.

Lời giải

Chọn A.

Gọi tọa độ các điểm

lần lượt là tọa độ các điểm cắt các trục. Ta có phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng đi qua điểm

Mặt khác hay Suy ra có 4 trường hợp xảy ra, mỗi trường hợp ta có 1 phương trình mặt phẳng

Câu 123: Trong không gian , Cho điểm và . Gọi là mặt cầu tâm bán kính bằng và là mặt cầu tâm bán kính bằng . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Phương trình mặt phẳng qua có dạng .

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (1)

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (2)

Từ đây ta có phương trình

Từ ta có:

Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:

Từ ta có:

Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

Câu 124: Trong không gian , Cho điểm và . Gọi là mặt cầu tâm bán kính bằng và là mặt cầu tâm bán kính bằng . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Phương trình mp qua có dạng

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (1)

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (2)

Từ đây ta có phương trình

Từ ta có:

Trường hợp này ta tìm được hai mặt

Từ ta có:

Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

Kết luận có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Bình luận: Từ học sinh dễ nhầm lẫn chọn ngay dẫn tới chỉ tìm được mặt phẳng thỏa mãn.

Câu 125: Trong không gian , Cho điểm và . Gọi là mặt cầu tâm bán kính bằng và là mặt cầu tâm bán kính bằng . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Phương trình mp qua có dạng

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (1)

Mặt phẳng tiếp xúc ta có (2)

Từ đây ta có phương trình

Từ ta có:

Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng

Từ ta có:

Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng nữa

Kết luận có mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán

Câu 126: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Số mặt phẳng đi qua và cắt các trục , , tại , , sao cho (, , không trùng với gốc tọa độ )

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi ,,điều kiện: .

Phương trình mặt phẳng là: . Do đi qua nên ta có:

Theo đề ra nên ta có

Với thay vào ta được .

Với thay vào ta được .

Với thay vào ta được .

Với thay vào ta được .

Vậy chọn đáp án .

Câu 127: Trong không gian hệ tọa độ , cho điểm , , và mặt phẳng . Gọi thuộc sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Giả sử là điểm thỏa mãn .

Khi đó ,, ;

;

;

(vì )

Vì cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất khi nhỏ nhất, khi đó là hình chiếu vuông góc của lên .

Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với

Phương trình đường thẳng .

Tọa độ của là nghiệm hệ phương trình:

.

Câu 128: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng có phương trình . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua , song song với mặt phẳng sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng là nhỏ nhất.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 129: Trong không gian cho hai điểm , và mặt phẳng . Điểm thuộc sao cho mặt phẳng vuông góc với và Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: + Gọi là trung điểm của .

Theo giả thiết thoả mãn thuộc mặt cầu tâm bán kính .

Suy ra phương trình mặt cầu .

+ Theo giả thiết là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với

Suy ra phương trình .

Khi đó toạ độ thoả mãn hệ .

Cách 2:

Tọa độ trung điểm của là .

.

là hình chiếu của trên .

Phương trình thay vào PT ta được .

* Nhận xét: Với cách giải trên và kết quả thu được thì giả thiết bài cho thừa điều kiện .

Cách 3:

.

Khi đó, PT mặt phẳng .

Gọi khi đó, . PT của

Gọi ta có

.

Câu 130: Cho hai điểm và mặt phẳng . Điểm nằm trên sao cho . Tính .

A. . B. . C. . D.

HD: Điểm .

b) Cho các và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm nằm trên sao cho

với .

Từ giả thiết ta có

là hình chiếu của trên .

Câu 131: Cho ba điểm và mặt phẳng . Điểm nằm trên sao cho . Tính .

A. . B. . C. . D.

Câu 132: Trong không gian cho hai điểm , , và mặt phẳng Điểm thuộc sao cho Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn .

HD giải:

Tọa độ trung điểm của là .

.

Do đó, điểm nằm trên đường tròn tâm , là hình chiếu của trên , bán kính .

Gọi là hình chiếu của lên , là giao điểm của với đường tròn trên. Khi đó,

dấu bằng xảy ra khi .

Mà nên .

.

Câu 133: Trong không gian cho tam giác có , phương trình đường trung tuyến kẻ từ là , phương trình đường phân giác trong của góc là . Đường thẳng có một véctơ chỉ phương là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi là trung điểm của và là chân đường phân giác trong kẻ từ góc của tam giác.

Do nên .

Mặt khác là trung điểm của nên .

Mà nên ta tìm được điểm .

Gọi là điểm đối xứng với qua , suy ra và .

Gọi là trung điểm của , khi đó ta có tại .

Do vậy điểm .

Kết hợp với nên ta có .

Mà là trung điểm của nên .

Đường thẳng đi qua và nên phương trình tham số là .

Điểm nên . Vậy VTCP của là .

Câu 134: Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng đi qua , song song với đồng thời tạo với góc bé nhất. Biết rằng có một véc tơ chỉ phương . Tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

có một VTCP là , có một VTCP là , có một VTPT là .

Do nên .

Ta có .

Từ ta có .

Xét hàm số .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có bé nhất lớn nhất .

Khi ta có . Do vậy .

Cách 2:

Gọi là mặt phẳng chứa song song với . Đường thẳng qua song song với . Lấy , gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Ta có

.

Do đó góc nhỏ nhất khi hay là hình chiếu của trên .

Vectơ chỉ phương .

Cách 3:

Do song song với nên

.

Xét hàm số , .

Từ BBT suy ra, .

Nhận xét rằng nhỏ nhất khi và chỉ khi lớn nhất.

.

Nhận xét: Cả hai cách giải đều có thể sử dụng cho trường hợp tổng quát. Ta có thể thay giả thiết song song với bằng một giả thiết tương tự. Một số bài toán tương tự:

1) Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Đường thẳng đi qua song song với đồng thời tạo với góc bé nhất. Biết rằng có một véc tơ chỉ phương . Tính .

HD. .

2) Trong không gian cho hai đường thẳng và . Đường thẳng đi qua vuông góc với , đồng thời tạo với góc bé nhất. Biết rằng có một véc tơ chỉ phương . Tính .

HD. .

Câu 135: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . là điểm thay đổi sao cho hình chiếu của lên mặt phẳng nằm trong tam giác và các mặt phẳng , , hợp với mặt phẳng các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta có phương trình mặt phẳng : .

Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng . Do các mặt phẳngcùng hợp với mặt phẳng các góc bằng nhau nên cách đều ba cạnh của tam giác . Lại có nằm trong tam giác nên chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Ta có

Sử dụng công thức:

Đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là:.

Kẻ . Ta có thuộc nên

Tổng quát: Tọa độ điểm thỏa mãn , () là

Bình luận: Giả thiết bài toán nếu không cho hình chiếu của lên mặt phẳng nằm trong tam giác thì sẽ có bốn điểm thỏa mãn cách đều ba cạnh của tam giác ( một tâm nội tiếp và ba tâm bàng tiếp), khi đó bài toán phải xét cả bốn trường hợp và ta chọn min của bốn trường hợp đó.

Câu 136: Trong không gian với hệ trục , cho bốn điểm . Tìm số mặt phẳng đi qua và khoảng cách từ đến gấp hai lần khoảng cách từ đến .

A. Vô số. B. . C. . D.

Lời giải

Chọn C.

+) Nhận thấy song song với .

+) Từ kết luận trên ta có thì .

+) Vậy : hay . Vậy có duy nhất một mặt phẳng thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 137: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng , , . Mặt cầu bán kính nhỏ nhất tâm , tiếp xúc với đường thẳng , tính :

A. B. C. D.

Lời giải:

Chọn B.

Nhận xét: đường thẳng đôi một vuông góc và cách đều nhau.

Dựng hình lập phương sao cho chứa cạnh.

Ta có cạnh hình lập phương là .

Ta có

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra là tâm hình lập phương .

Vậy

Cách 2:

Gọi

Mẫu đều bằng nên bình phương các vế, ta được

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Vậy

Câu 138: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt cầu và điểm . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và tiếp xúc với sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Giả sử là một vectơ pháp tuyến của . Khi đó

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Giả sử mặt phẳng có dạng .

Mặt cầu có tâm và bán kính

Điều kiện tiếp xúc:

.

Mà

Dấu bằng xảy ra khi Chọn thỏa mãn .

Khi đó Suy ra

Câu 139: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng và hai điểm ; . Mặt cầu đi qua hai điểm và tiếp xúc với tại . Biết rằng luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính chu vi của đường tròn đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có đi qua , nhận là một vecto chỉ phương nên : .

Thay vào ta được

Tọa độ điểm là giao điểm của của và . Do đó theo tính chất của phương tích ta được . Mặt khác vì là tiếp tuyến của mặt cầu cho nên . Do vậy (là một giá trị không đổi).

Vậy luôn thuộc một đường tròn cố định tâm với bán kính suy ra chu vi của đường tròn là

(Chú ý rằng điểm I không nhất thiết nằm trên mp(DM, DC), hình ảnh trên minh họa, mang tính tương đối_Cao Thời PB)

Câu 140: Trong không gian , cho mặt phẳng và hai điểm , . Trong tất cả các đường thẳng đi qua và song song với , gọi là đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: .

. Chọn B.

Câu 141: Trong không gian , cho điểm và với là tham số. Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là

A. . B. Không có . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

* Phân tích:

- Đây là bài toán mà giả thiết có liên quan trực tiếp đến kết luận thông qua công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mấu chốt của bài toán là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm phân thức dạng .

- Học sinh có thể sử dụng MTCT để tìm được phương án trả lời đúng.

* Giải

Ta có: .

.

Xét hàm có . .

Bảng biến thiên

Suy ra lớn nhất lớn nhất . Chọn đáp án A.

Câu 142: Trong không gian , cho hai điểm và đường thẳng . Biết điểm thuộc đường thẳng sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị bằng

A. B. C. D.

Lời giải:

Chọn C

+) Phương trình đường thẳng

Nhận xét: đường thẳng và chéo nhau.

+ Dựng vuông góc với . Ta có . Do cố định nên diện tích tam giác nhỏ nhất khi và chỉ khi là đoạn vuông góc chung của và .

+)

là đoạn vuông góc chung của AB và d khi và chỉ khi

.

Vậy

Câu 143: Trong không gian , cho mặt phẳng và ba điểm . Điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải:

Chọn A

+) Gọi điểm thỏa mãn . ()

+) Ta có

Do đó, nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên mặt phẳng .

+) Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với là: .

. .

Vậy

Câu 144: Trong không gian với hệ trục , cho đường thẳng và hai điểm . Biết điểm thuộc sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất là . Khi đó, bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có suy ra phương trình đường thẳng

. Xét hệ , do đó đường thẳng và cắt nhau tại . Thấy nên hai điểm nằm về hai phía của đường thẳng . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và là điểm đối xứng với qua .

.

Với mọi điểm ta đều có do đó dấu bằng xảy ra khi là giao điểm của đường thẳng và . Vậy .

Câu 145: Trong không gian , cho ba điểm và mặt phẳng . Biết và . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng pt mp theo đoạn chắn, mp có phương trình: , do đó VTPT của là và VTPT của là . Vì nên ta thu được hệ:

Giải hệ với điều kiện ta được . Vậy .

Câu 146: Trong không gian , cho mp cắt ba trục tọa độ tại ba điểm . Biết và , khi đạt GTNN hãy tính

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Áp dụng pt mp theo đoạn chắn, mp có dạng: .

Vì nên ta có , suy ra .

Do đó: . Dấu bằng xảy ra khi

Câu 147: Trong không gian , cho mp đi qua đồng thời cắt theo thứ tự tại (khác ) sao cho . Khi đó có một VTPT thì tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Giả sử cắt ba trục tọa độ tại các điểm , theo ptmp theo đoạn chắn ta có ptmp có dạng: .

Vì qua nên:

Từ

nên ptmp là .

không có giá trị thỏa mãn.

Câu 148: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm và mặt phẳng Điểm là điểm nằm trên mặt phẳng , có hoành độ dương để tam giác đều. Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Viết phương trình mặt phẳng là trung trực đoạn

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến và

Tam giác đều khi và chỉ khi

Vậy

Vậy đáp án C.

Câu 149: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm thuộc mặt cầu và ba điểm . Biết rằng quỹ tích các điểm thỏa mãn là đường tròn cố định, tính bán kính đường tròn này.

A. . B. C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Mặt cầu có tâm , bán kính . Gọi , khi đó

.

Vậy cũng thuộc mặt cầu có tâm , bán kính . Do đóthuộc đường tròn là giao của hai mặt cầu và có bán kính (do ).

Cách 2:

Gọi là trung điểm, khi đó ta có

.

Gọi là trọng tâm tam giác. Khi đó

. Vậy cũng thuộc mặt cầu có tâm , bán kính .

Đến đây thì làm tương tự cách 1.

Cách 3.

có tâm bán kính .

Gọi là trọng tâm tam giác , khi đó tọa độ.

.

.

Do đó, nằm trên mặt cầu tâm bán kính có phương trình .

Vì nên hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm , bán kính , nằm trên mặt phẳng .

Từ đó suy ra .

Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài toán như sau

Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm thuộc mặt cầu và ba điểm . Gọi là số thực thỏa mãn , . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .

HD: Với cách làm tương tự như trên ta được . Khi đó, nằm trên mặt cầu có tâm bán kính .

Để tồn tại điểm thì hai mặt cầu có điểm chung. Khi đó,

.

Câu 150: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng đi qua và cắt các tia ,, lần lượt tại các điểm ,, sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác vuông và các mối quan hệ vuông góc trong không gian ta chứng minh được rằng với là trực tâm tam giác thì và .

Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi lớn nhất.

Mà nên muốn lớn nhất thì, khi đó là véc tơ pháp tuyến của .

Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là hay .

Câu 151: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng đi qua và cắt các trục ,, lần lượt tại các điểm ,, sao cho là trực tâm của tam giác ?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

là trực tâm , do đó nhận làm .

Phương trình mặt phẳng là: hay .

Câu 152: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng đi qua và cắt các tia ,, lần lượt tại các điểm ,, sao cho thể tích khối tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Gọi với .

Phương trình mặt phẳng .

.

Ta có:

, dấu “=” xảy ra khi .

Câu 153: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn . Tìm tọa độ tâm của đường tròn .

A. . B. . C. . D. .

Câu 154: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . Biết điểm nằm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 155: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm , . Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Câu 156: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn . Tìm tọa độ tâm của đường tròn .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Các điểm thuộc đường tròn có tọa độ thỏa mãn hệ:

Hay luôn nằm trên mặt phẳng . Suy ra tâm của đường tròn hình chiếu vuông góc của ( là tâm của mặt cầu nên mặt phẳng

+ Phương trình đường thẳng là: . Suy ra, tọa độ của là nghiệm của hệ . Chọn D

Phân tích:Bài toán trên có thể giải quyết bằng cách khác : Tìm tâm bằng cách tính tỉ lệ chia đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu. Ở lời giải trên, ta sử dụng một kỹ thuật quen thuộc trong việc tìm phương trình của « phần chung » của các đường, mặt bậc : Ta thường khéo léo kết hợp hai phương trình để tạo ra phương trình của phần tương giao (Ở bài này (hoặc các bài về tương giao của hai đường tròn trong phẳng) thì ta trừ hai phương trình cho nhau, ta sẽ thu được phương trình một mặt phẳng ( hoặc một đường thẳng))

Câu 157: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu và điểm . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ tới mặt cầu đã cho luôn thuộc vào đường tròn . Tìm tâm và bán kính của đường tròn

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: Ta có

có tâm , bán kính . Gọi là một tiếp điểm. Sử dụng định lý Pytago, ta dễ dàng tính được .

+ Do nên ta có: .

+ .

Vậy

Cách 2: Gọi là một tiếp điểm,

. Vậy tọa độ của là nghiệm của hệ . Hay

Vậy: , là hình chiếu vuông góc của lên . Tọa độ của là nghiệm của hệ:

Câu 158: Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm , , . Biết điểm nằm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng .

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C.

Gọi là trọng tâm .

Do đó nhỏ nhất khi nhỏ nhất.

Mà nên nhỏ nhất khi khi đó là hình chiếu vuông góc của lên .

Câu 159: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và hai điểm , . Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

A.. B. . C.. D..

Lời giải

Chọn B.

Vì thuộc đường thẳng nên .

Ta có

,.

Vậy hay .

Bài phát triển

Hai bài ở trên là bài toán cực trị hình học tìm nằm trên đường thẳng hay mặt phẳng, dạng này ra rất nhiều trong các đề thi thử gần đây và cũng đã có khá phong phú bài tập. Bên dưới, em phát triển một bài tìm nằm trên mặt cầu. Kỹ thuật dùng là hình học kết hợp với biến đổi tí về đại số. Ý tưởng tạo ra bài đó là khi (với là một số thích hợp) thì sẽ di động trên mặt cầu.

Câu 160: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu , và . Cho là điểm di động trên mặt cầu sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A.

có tâm .

Ta có nằm ngoài khối cầu.

nằm ngoài khối cầu.

Ta có

với .

Ta có nằm bên trong khối cầu.

Ta có .

là giao điểm của đoạn thẳng và mặt cầu (nghĩa là nằm giữa ).

Phương trình đường thẳng là .

.

Vậy .

Do nằm giữa nên (do cùng hướng ).

Câu 161: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm Điểm thuộc sao cho nhỏ nhất. Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

nằm cùng phía so với mặt phẳng

Đường thẳng đi qua và vuông góc với có phương trình

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng thì

Ta có phương trình

Tọa độ điểm đối xứng với qua là:

Ta có

Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi thẳng hàng

Do đó

Đường thẳng có phương trình là

Ta có phương trình

Vậy

Câu 162: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm Điểm thuộc . Tìm giá trị lớn nhất của .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

nằm khác phía so với

Tọa độ điểm đối xứng với qua là:

Ta có

Vậy lớn nhất khi và chỉ khi thẳng hàng.

Câu 163: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và điểm Điểm thuộc sao cho nhỏ nhất. Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

nằm khác phía so với

Ta có

Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi thẳng hàng

Do đó

Đường thẳng có phương trình là

Ta có phương trình

Vậy

Câu 164: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm , . Gọi là mặt cầu đường kính . Mặt phẳng vuông góc với đoạn tại sao cho khối nón đỉnh và đáy là hình tròn tâm (giao của mặt cầu và mặt phẳng ) có thể tích lớn nhất, biết rẳng với . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

, là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng suy ra phương trình mặt phẳng có dạng .

Gọi là tâm mặt cầu thì là trung điểm của suy ra , bán kính mặt cầu .

Đặt suy ra .

Thể tích khối nón

.

Dấu bằng xảy ra khi .

Ta có hệ:.

Vậy .

Suy ra: .

Câu 165: Trong không gian cho đường thẳng , và điểm và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng nằm trong cắt sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất.

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta cóđiểm thuộc . Gọi suy ra tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

Đường thẳng cắt mà nên đi qua . Khi đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì đi qua và vuông góc với . Suy ra đi qua và có VTCP là là VTCP nên .

Câu 166: Trong không gian với hệ trục tọa độ , gọi là đường thẳng đi qua điểm , song song với mặt phẳng và có tổng khoảng cách từ các điểm tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vectơ chỉ phương của là vectơ nào sau đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Phân tích

+ nằm trong mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng ;

+ là trung điểm của nên ;

+ Nhận thấy không đổi và ;

Do đó tổng khoảng cách nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Khi đó nằm trong mặt phẳng chứa và vuông góc với .

Giải:

Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với ta có

là giao tuyến của và nên 🡪 chọn B.

Câu 167: Cho mặt phẳng và hai điểm , . Trong các đường thẳng đi qua và song song với , hãy tìm một vevtơ chỉ phương của đường thẳng mà khoảng cách từ đến đường thẳng đó nhỏ nhất?

A. B. C. D.

Câu 168: Trong không gian với hệ trục tọa độ gọi là đường thẳng đi qua , vuông góc với đường thẳng và cách điểm một khoảng cách nhỏ nhất.

A. B. C. D. .

Câu 169: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật với . Gọi là tập các điểm nằm bên trong ( kể cả trên cạnh) của hình chữ nhật . Lấy ngẫu nhiên một điểm . Xác suất để bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 170: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật với . Gọi là tập các điểm nằm bên trong ( kể cả trên cạnh) của hình chữ nhật . Lấy ngẫu nhiên một điểm . Xác suất để bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 171: Trong không gian cho mặt cầu . Cho là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu . Tích tất cả các giá trị mà có thể nhận được bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

“Nhận xét: Dùng điều kiện tiếp xúc của mặt cầu với đường thẳng”

Mặt cầu có tâm và bán kính

Đặt và

Gọi

Chọn và .

Ta có: qua và có VTCP

tiếp xúc với mặt cầu

Suy ra tích các giá trị bằng 

Câu 172: Trong không gian cho mặt cầu . Cho là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu . Tổng tất cả các giá trị mà có thể nhận được bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 173: Trong không gian cho mặt cầu . Cho là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu . Tổng bình phương tất cả các giá trị mà có thể nhận được bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 174: Trong không gian , cho ba điểm , điểm thay đổi trên mặt phẳng , là điểm trên tia sao cho . Biết khi thay đổi thì điểm luôn nằm trên mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

* Phân tích:

Trước khi tìm ra bán kính đường tròn thì hiểu rằng đây là bài toán quỹ tích, cần chỉ ra quỹ tích của điểm . Theo giả thiết thì từ tọa độ của ta có thể suy ra được tọa độ của điểm , mặt khác lại chạy “tung tăng” trên mặt phẳng , từ đó liên hệ ra quỹ tích của điểm .

* Giải

Giả sử . Do thẳng hàng và thuộc tia nên suy ra:

.

Do .

Vậy thuộc mặt cầu cố định bán kính .

Câu 175: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và mặt phẳng . Một mặt cầu đi qua tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm . Biết thuộc một đường tròn cố định, tính bán kính của đường tròn đó.

A. . B. . C. . D. .

Câu 176: Trong không gian , cho ba điểm và mặt phẳng Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên và điểm trên tia sao cho tứ giác là hình thoi. Tọa độ của điểm là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

* Phân tích:

- Tham số hóa tọa độ điểm

- Từ điều kiện tứ giác là hình thoi suy ra, suy ra theo tham số.

- Từ điều kiện thuộc suy ra mối quan hệ của 2 tham số.

- Từ điều kiện tứ giác là hình thoi suy ra 2 cạnh kề bằng nhau suy ra .

* Giải

Ta có

Và

Vì tứ giác là hình thoi nên suy ra

Mà

Vì tứ giác là hình thoi nên suy ra .

Từ (1) và (2) tìm được suy ra

Câu 177: Trong không gian , cho ba điểm và mặt phẳng Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên

và điểm trên tia sao cho tứ giác là hình thoi. Tọa độ của điểm là

A. B. C. D.

Câu 178: Trong không gian , cho ba điểm và mặt phẳng Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên

và điểm trên tia sao cho tứ giác là hình thoi. Tọa độ của điểm là

A. B. C. D.

Câu 179: Trong không gian , cho ba mặt phẳng , , . Một đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng lần lượt tại các điểm . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

* Phân tích:

Ta nhận thấy ba mặt phẳng là ba mặt phẳng phân biệt và song song với nhau. Dựa vào chỉ số của ba mặt phẳng ta nhận thấy mặt phẳng nằm giữa hai mặt phẳng .

+) Ba mặt phẳng song song với nhau ta nghĩ đến định lý Ta let để có thể rút ra được mối quan hệ giữa . Từ đó đánh giá được giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

* Giải

Ba mặt phẳng cùng có véc tơ pháp tuyến là nên chúng song song với nhau. Khi đó ta có ; ; .

Dựng đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng . Đường thẳng đó cắt mặt phẳng lần lượt tại . Khi đó ta có .

Xét có nên .

Khi đó .

Dấu xảy ra .

Câu 180: Trong không gian , cho ba mặt phẳng , , . Một đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng lần lượt tại các điểm . Độ dài đoạn nằm trong khoảng nào khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ba mặt phẳng cùng có véc tơ pháp tuyến là nên chúng song song với nhau. Khi đó ta có ; ; .

Dựng đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng . Đường thẳng đó cắt mặt phẳng lần lượt tại . Khi đó ta có .

Xét có nên .

Khi đó .

Dấu xảy ra .

Câu 181: Trong không gian , cho ba mặt phẳng . Một đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng lần lượt tại các điểm . Tính cosin góc tạo bởi và mặt phẳng khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ba mặt phẳng cùng có véc tơ pháp tuyến là nên chúng song song với nhau. Khi đó ta có ; ; .

Dựng đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng . Đường thẳng đó cắt mặt phẳng lần lượt tại . Khi đó ta có .

Xét có nên .

Khi đó .

Dấu xảy ra . Khi đó nên .

Câu 182: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp chữ nhật có trùng với gốc tọa độ. Cho ,, với . Gọi là trung điểm của cạnh . Xác định tỉ số để vuông góc .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn A

Phân tích bài: Phương pháp tọa độ luôn mang đến hiệu quả cao khi sử dụng. Thay vì tư duy tìm lời giải ta chuyển sang kĩ thuật tính toán.

Chú ý: Đề bài đã chọn sẵn hệ trục tọa độ với trùng với gốc tọa độ, trục trùng với , trục trùng với và trục trùng với . Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng .

Ta có

Khi đó ( Do ).

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài ta được tỉ số .

Câu 183: Trong mặt phẳng toạ độ , cho mặt cầu , với . Biết mặt cầu cắt mặt phẳng toạ độ theo đường tròn có bán kính và mặt cầu đi qua điểm . Tính tổng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi là tâm của mặt cầu , vì cắt mặt phẳng toạ độ theo đường tròn có bán kính bằng nhau .

Mặt khác: đi qua điểm

Với , khi đó ta có:

Câu 184: Trong mặt phẳng toạ độ , cho mặt cầu , với . Biết mặt cầu cắt mặt phẳng toạ độ theo đường tròn có bán kính bằng nhau và mặt cầu đi qua điểm điểm ; . Tính tổng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi là tâm của mặt cầu , vì cắt mặt phẳng toạ độ theo đường tròn có bán kính bằng nhau

Mặt khác: đi qua điểm ;

, khi đó ta có:

Câu 185: Trong mặt phẳng toạ độ , cho mặt cầu , với . Biết mặt cầu cắt mặt phẳng toạ độ theo đường tròn có bán kính và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng . Tính tổng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi là tâm của mặt cầu , vì cắt mặt phẳng toạ độ theo đường tròn có bán kính bằng nhau .

Mặt khác: tiếp xúc với mặt phẳng

Với , khi đó ta có:

Câu 186: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình và điểm . Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. B. C. D.

Lời giải

Đáp án B

Tâm và bán kính mặt cầu

Gía trị nhỏ nhất xảy ra trong trường hợp

Đặt

Xét trên

khi

Vậy GTNN khi .

Phân tích ý tưởng:

- Bài này cái cốt lõi thực hiện được chính là sử dụng ý tưởng phương tích của một điểm đối với mặt cầu.

- Tuy nhiên bài này có lỗi mà học sinh kể cả giáo viên hay mắc phải là xét dấu bằng khi đánh giá bất đẳng thức cô-si . Tuy nhiên điều này không thể xảy ra dấu bằng được vì điều kiện để đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt thì ta có khống chế điều kiện là: .

Câu 187: Trong không gian cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi là mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của và đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng . Gọi là tâm của mặt cầu . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1 :

Ta có phương trình của mặt cầu có dạng :

mặt cầu có tâm , bán kính

tiếp xúc với mặt phẳng nên

suy ra . Vậy .

Tổng quát

+ Phương trình mặt cầu đi qua giao tuyến của một mặt cầu

và mặt phẳng có dạng

( là tham số )

+ Căn cứ vào các giả thiết của bàn toán ta tìm các điều kiện về tâm, bán kính, khoảng cách … ta lập được phương trình để tìm tham số .

Cách 2:

Có tâm , bán kính  ;

Ta có bán kính của đường tròn giao tuyến của và là

là mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của và nên :

+ Tâm là tâm của mặt cầu nằm trên đường thẳng qua và vuông góc với có phương trình

Suy ra .

+ Bán kính của là (1)

Do tiếp xúc với mặt phẳng nên (2)

Từ (1), (2) ta có

suy ra . Vậy .

Tổng quát

Với dạng toán viết PT là mặt cầu chứa đường tròn thiết diện của và

và mặt phẳng

+ Trước hết ta tìm được tâm và bán kính của đường tròn thiết diện.

+ Tâm là tâm của mặt cầu nằm trên đường thẳng qua và vuông góc với có phương trình tham số . Tham số hóa tọa độ điểm , căn cứ vào các giả thiết bài toán ta lập các PT tìm tham số từ đó suy ra tọa độ tâm .

Câu 188: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt phẳng . Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Gọi là trọng tâm tam giác , ta có .

Theo đề bài, ta có

.

Vì là một hằng số nên ta có đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất hay là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Gọi là đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng , ta có .

Phương trình đường thẳng là . Thế , , từ phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng , ta được: .

Suy ra .

Vậy .

Tổng quát, ta có bài toán: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm trên mặt phẳng sao cho biểu thức

1) Đạt giá trị nhỏ nhất nếu .

2) Đạt giá trị lớn nhất nếu .

Phương pháp: Gọi là điểm thỏa mãn . Khi đó điểm xác định. Ta có:

.

Do không đổi nên ta có:

1) đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị nhỏ nhất hay là hình chiếu của trên mặt phẳng .

2) đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị lớn nhất đạt giá trị nhỏ nhất hay là hình chiếu của trên mặt phẳng .

Chú ý: Trong trường hợp bài toán cho tìm điểm trên đường thẳng thì khi đó là hình chiếu của trên đường thẳng .

Câu 189: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt phẳng . Điểm nằm trên mặt phẳng thỏa mãn . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có , .

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua trung điểm của và nhận làm véc tơ pháp nên có phương trình là: .

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua trung điểm của và nhận làm véc tơ pháp nên có phương trình là: .

Do nên thuộc hai mặt phẳng trên, mặt khác thuộc nên tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

. Vậy .

Cách khác:

Ta có suy ra tam giác đều. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trọng tâm của tam giác.

Do nên nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác , trục này là đường thẳng đi qua và nhận véc tơ là véc tơ chỉ phương nên có phương trình là: .

Mặt khác . Suy ra .

Câu 190: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng . Biết rằng khi thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua điểm và tiếp xúc với đường thẳng . Tìm bán kính của mặt cầu đó.

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn A

Ta thấy đường thẳng luôn đi qua điểm và luôn nằm trên mặt phẳng . Do đó mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm thì tiếp xúc với đường thẳng .

Mặt cầu cần tìm có tâm thuộc đường thẳng .

Ta có: hay .

Khi đó .

Nhận xét

Cách làm không thay đổi khi đường thẳng đi qua một điểm cố định và nằm trên một mặt phẳng cố định.

Câu 191: Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho điểm và hai đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng , cắt đường thẳng và lần lượt tại và sao cho và điểm có hoành độ nguyên.

A. . B. .

C. . D. .

Phân tích: Tham số hóa tọa độ điểm , điểm theo các tham số , ; do nên , đưa về một ẩn và thay vào giả thiết .

Lời giải

Chọn B.

Gọi , .

Do song song với mặt phẳng nên

.

Khi đó, , .

Theo giả thiết, .

Với (loại).

Với , .

Đường thẳng cần tìm qua , nhận là véc tơ pháp tuyến nên có phương trình .

Câu 192: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba mặt phẳng , và và đường thẳng . Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng , . Biết rằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , cắt cả hai đường thẳng và lần lượt tại , . Đường thẳng đi qua điểm nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Có .

Đường thẳng qua , nhận là véc tơ chỉ phương nên có phương trình .

Gọi , là véc tơ chỉ phương của .

Do nên cùng phương với , suy ra

.

Đường thẳng qua , nhận là véc tơ chỉ phương nên có phương trình .

Ta thấy thuộc đường thẳng nên chọn đáp án A.

Câu 193: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng và . Gọi là đường thẳng song song với và cắt lần lượt tại hai điểm sao cho ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi , .

có vectơ chỉ phương

có vectơ pháp tuyến

Vì nên . Khi đó

Dấu xảy ra khi . Vậy ngắn nhất khi

Đường thẳng đi qua điểm và vec tơ chỉ phương

Vậy phương trình của là .

Câu 194: Cho Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu , và hai điểm , . Các mặt phẳng , cùng chứa đường thẳng và hai mặt phẳng này lần lượt tiếp xúc với mặt cầu tại các điểm , . Điểm nào trong số các điểm sau đây nằm trên đường thẳng .

A. . B. . C. . D. .

Phân tích

Gọi là hình chiếu của lên đường thẳng và .

Do nên để viết được phương trình đường thẳng ta cần tìm tọa độ điểm và điểm . Từ đó suy đáp án đúng.

Lời giải

Chọn A.

Ta có có tâm và bán kính

Đường thẳng đi qua hai điểm có phương trình

Mặt phẳng đi qua và vuông góc với nên có phương trình .

Gọi là giao điểm của và . Khi đó .

Gọi là giao điểm của và . Khi đó

Ta có nên . Do đó .

vuông góc với và nên có vectơ chỉ phương

Phương trình . Vậy khi ta được đáp án A.

Câu 195: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có tâm và có bán kính . Xét đường thẳng , là tham số thực. Giả sử , là mặt phẳng chứa và tiếp xúc với lần lượt tại , . Khi độ dài đoạn ngắn nhất hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng thiết diện đi qua tâm cắt đường thẳng tại .

Gọi . Suy ra .

Ta có , , suy ra .

Xét hàm số ; ; .

Bảng biến thiên

Suy ra khi . Đường thẳng có phương trình là .

Khoảng cách .

Câu 196: Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi , lần lượt là hai mặt phẳng chứa và tiếp xúc với mặt cầu tại và . Độ dài đoạn bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Cắt mặt cầu theo giao tuyến chứa đoạn được như hình vẽ.

;

Câu 197: Cho mặt cầu có tâm , bán kính là và mặt cầu có tâm và bán kính bằng .Biết tập hợp các điểm trong không gian mà độ dài tiếp tuyến kẻ tù tới và bằng nhau là một mặt phẳng ( còn gọi là mặt phẳng đẳng phương ) .Viết phương trình mặt mặt phẳng đó .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Mặt phẳng đẳng phương là mặt phẳng tập hợp tất cả các điểm có cùng phương tích với hai mặt cầu không đồng tâm . Và mặt đẳng phương vuông góc với trục nối hai tâm của mặt cầu .

Gọi là mặt phẳng đẳng phương của và nhận là vectơ pháp tuyến .

Mặt khác mặt phẳng đẳng phương của và đi qua một điểm thuộc có cùng phương tích với hai mặt cầu .

Phương trình đường thẳng : tọa độ điểm

Mà

.

Vậy tọa độ điểm là :

: .

Câu 198: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng cố định khi thay đổi. Đường thẳng đi qua vuông góc () và cách một khoảng lớn nhất có vecto chỉ phương .Tính ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Cho có mặt phẳng

Cho có mặt phẳng

Suy ra có VTCP

Gọi là hình chiếu của trên thì , có Do đó đẳng thức xảy ra khi có VTCP . Vậy .

Phân tích:

Đây là dạng toán: Cho họ mặt phẳng luôn tìm được đường thẳng cố định khi thế các giá trị rồi lấy tích có hướng lại sẽ được VTCP của đường thẳng cố định đó. Tiếp theo là dạng toán lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng , đi qua điểm cho trước sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất? nhỏ nhất?

Phương pháp giải:

Kẻ và cố định.

Ta có . Khi đó đường thẳng nằm trong , đi qua và vuông góc với , suy ra có một VTCP là

Mặt khác, Khi đó đường thẳng nằm trong , đi qua và đi qua hình chiếu của , suy ra có một VTCP là

Câu 199: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng cố định khi thay đổi. Đường thẳng đi qua vuông góc () và cách một khoảng lớn nhất có vecto chỉ phương .Tính ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

có VTCP

.d có VTCP

Câu 200: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của để phương trình là phương trình mặt cầu sao cho qua , có duy nhất một mặt phẳng cắt theo một giao tuyến có bán kính bằng ?

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có nên để có đúng duy nhất một mặt phẳng qua và cắt theo một đường tròn có bán kính khi và chỉ khi .

Vậy . Vậy có hai giá trị .

Câu 201: Phương trình mặt phẳng qua đường thẳng và cách điểm một khoảng cách lớn nhất đi qua điểm nào sau đây?

A. . B. C. . D.

Lời giải

Gọi , . Phương trình mặt phẳng cần tìm nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến. .

Câu 202:Trong không gian , cho ba điểm , , . Mặt phẳng qua và thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn .

TH 1: cùng phía so với .

Gọi thõa mãn .

Có . khi .

TH 2: khác phía so với .

Gọi .

Gọi thỏa mãn

Có . khi .

Từ hai trường hợp suy ra khi đạt giá trị lớn nhất. Ta có .

Câu 203: Cho mặt cầu có tâm , bán kính là và mặt cầu có tâm và bán kính bằng . Biết rằng tập hợp các điểm trong không gian mà độ dài tiếp tuyến kẻ từ đến bằng nhau là một mặt phẳng (còn gọi là mặt phẳng đẳng phương). Viết phương trình của mặt phẳng đó

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi lần lượt là tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ tới mặt cầu tâm .

Khi đó ta có .

.

Câu 204: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho điểm và đường thẳng . Gọi Tải tài liệu này file docx word pdf