Đề thi olympic toán 11 sở gd&đt quảng nam 2021 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

NĂM 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi : TOÁN LỚP 11

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Ngày thi : 20/3/2021

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

NĂM 2021

Môn thi: TOÁN – Lớp 11

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

(Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang)

Câu 1 (3,0 điểm)

a

1,5

0.25

0.25

0.25

(0.25) (0.5)

0.75

b

1,5

0.25

0.25

0.25

0.25

().

Vậy phương trình có nghiệm là:

0.5

Câu 2 (4,0 điểm)

a

Cho dãy số gồm có ba số hạng theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Nếu ta trừ số hạng thứ ba cho 4 thì dãy thu được là một cấp số cộng. Nếu trừ số hạng thứ hai và thứ ba của cấp số cộng vừa thu được cho 1 thì dãy thu được lại là một cấp số nhân. Tìm dãy số .

2,0

theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

0.25

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

0.25

theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

0.25

+ Ta có hệ

Từ (1) và (3) suy ra

Từ (2) và (4) suy ra

0.5

Thay (4), (5) vào (1) thu được PT:

Vậy có 2 dãy số thỏa đề bài là 1; 3; 9 hoặc

0.5

0,25

b

Dãy số biết: và .

Chứng tỏ rằng . Tính tổng

2,0

Từ công thức xác định của dãy ta có:

Thay ta được: (và suy ra )

0.25

0,25

Giả sử

Suy ra

Vậy.

0.5

Tính

Từ suy ra

Suy ra

0.25

0.25

0,25

0.25

Câu 3 (6,0 điểm)

a

Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng:

2,0

Xét khai triển: (1)

0.5

Mặt khác: (2)

0.75

Hệ số của trong (1) là

0.25

Hệ số của trong (2) là

0.25

Vậy:

0.25

b

Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên từ ra một số. Tính xác suất để số được chọn có đúng ba chữ số giống nhau.

2,0

- Số phần tử của không gian mẫu là

Gọi A là biến cố: “số được chọn có đúng 3 chữ số giống nhau”.

0.5

- Có cách chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để đặt 3 chữ số giống nhau. Có 6 cách chọn 1 trong 6 chữ số đặt vào 3 vị trí được chọn( gọi số xuất hiện 3 lần là a); 5 cách chọn b; 5 cách chọn c

Số có 5 chữ số thỏa yêu cầu đề bài ( bao gồm cả số 0 đứng đầu) là: .6.5.5

0.5

* Trường hợp có số 0 đứng đầu, ta xét 4 số còn lại:

Khả năng 1: (Có 3 số giống nhau khác 0) có vị trí đặt 3 số giống nhau; có 5 cách chọn 3 số giống nhau a; 5 cách chọn b( b khác a)

Trường hợp này có

0.25

* Khả năng 2: (3 số giống nhau là 3 số 0).

Có cách chọn 2 vị trí để đặt thêm 2 số 0; có 5 cách chọn b; 5 cách chọn c

Trường hợp này là:

0.25

.6.5.5- - = 1250

0.25

Vậy xác suất của biến cố A là

0.25

c

Cho hàm số .

Tìm giá trị của tham số a để hàm số liên tục tại .

2,0

0,25

0,25

0,5

0,5

Để liên tục tại thì

0,25

Suy ra

0,25

Câu 4 (3,0 điểm)

a

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn và với phương trình . Biết rằng phép vị tự tâm A(0;1) tỉ số biến đường tròn thành đường tròn . Viết phương trình đường tròn .

1,5

+ Phép vị tự tâm A tỉ số k = 2 biến thành

Phép vị tự tâm A tỉ số biến thành

0.25

+ Đường tròn có tâm , bán kính .

0.25

+ Gọi đường tròn có tâm , bán kính là ảnh của đường tròn qua phép vị tự .

0.25

+

0.25

+ . Tính được điểm I (1; 0)

0.25

Phương trình đường tròn là : .

0.25

b

Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC đều. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho

1,5

Trong hình vẽ bên, xét phép quay tâm A, góc quay . Ta có :

Suy ra các tam giác AMM’, ACD đều

0,25

Giả thiết :

0,25

0,25

Mặt khác có

Suy ra

0.25

0.25

Vậy tập hợp những điểm M là phần nằm trong tam giác của cung chứa góc chắn trên đoạn BC

0.25

Câu 5 (4,0 điểm)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có và góc . Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

a) Chứng minh MB vuông góc với MA’.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) theo .

(Hình vẽ phục vụ câu a - 0,25 điểm)

a

Chứng minh MB vuông góc với MA’.

1,75

+ Xét tam giác ABC, theo định lí hàm số Cosin ta có:

0,5

+ Xét tam giác vuông BCM có:

0,25

+ Xét tam giác vuông A’C’M có:

0,25

+ Xét tam giác vuông A’AB có:

0,25

Suy ra hay

0,5

b

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM) theo .

2,0

0,25

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A’BM).Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên MA’ và BM. Suy ra AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM).

0,25

Ta có

0,25

Suy ra:

0,25

Tính AE: có

Tính AF: Xét tam giác ABM , có , AB=a, AM=A’M=3a

Suy ra : và

Suy ra :

0,25

0,25

0,25

0,25

Vậy