Đề thi olympic toán 10 quảng nam 2021 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi : TOÁN 10

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 20/03/2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

NĂM 2021

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN 10

(Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang)

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1

(5,0 điểm)

a) Giải phương trình

2,5

Điều kiện:

Đặt

Phương trình (2) trở thành:

(thỏa).

b) Giải hệ phương trình

2,5

Điều kiện

Khi đó pt thứ hai viết lại:

Suy ra được nghiệm của hệ: (5 ; 20).

Câu 2

(4,0 điểm)

1. Cho hàm số có đồ thị (C).

Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) có tung độ bằng

2,0

Vậy có hai điểm thỏa đề

b) Cho parabol :. Tìm các hệ số để đi qua và cắt trục hoành tại hai điểm sao cho tam giác đều, với là đỉnh của

2,0

▪ Parabol đi qua nên (1)

▪ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục hoành là (*)

(P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt B, C

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

▪ Parabol (P) có đỉnh

▪ Giả sử :; trong đó là hai nghiệm của pt (*)

Tam giác IBC đều khi

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ : hoặc .

Câu 3

(4,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng

1,5

Dấu “ = ” xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng là

1. Cho hai số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2.5

Đặt , ta có:

.

Suy ra (dấu “=” xảy ra khi ).

(bất đẳng thức Côsi)

(bất đẳng thức với )

Suy ra: , . Vậy khi .

Câu 4

(3,0 điểm)

a) Cho hình vuông có cạnh bằng là trung điểm của nằm trên cạnh sao cho là trung điểm của Hai điểm lần lượt là trọng tâm của hai tam giác Hãy biểu thị theo hai vectơ chứng minh vuông góc với

1,5

Suy ra vuông góc với

b) Cho tam giác có Điểm nằm trên cạnh sao cho Tính

1,5

Cách khác :

Câu 5

(4,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm và đường thẳng (d) có phương trình . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng (d) tại

1,5

+ Gọi là tâm của đường tròn (C).

+ (d) có một vectơ chỉ phương là

+ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) tại nên

+ Đường tròn (C) đi qua A(3;1) nên

Từ (1) và (2) suy ra. Suy ra

Bán kính của đường tròn là

Suy phương trình đường tròn (C):

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác vuông cân tại B. Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC và là trọng tâm của tam giác Điểm E thuộc cạnh AC sao cho ( khác ) và đường thẳng có phương trình . Điểm M thuộc đường thẳng , B thuộc đường thẳng và A có hoành độ lớn hơn Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

2,5

(HV: 0,25 điểm)

Chứng minh được tứ giác BINE nội tiếp và suy ra .

Viết được phương trình đường thẳng BI là

Mặt khác B thuộc ,suy ra

M thuộc ⇒

. Vậy

Suy ra ptđt AC là