Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

PHẦN 3

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 1

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình thang cong

Dạng 1: Cho hàm số liên tục trên . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox () và hai đường thẳng và là:

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : .

Chú ý: có 2 cách tính tích phân

+ Cách 1: Nếu trên đoạn hàm số không đổi dấu thì:

+ Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi khử trị tuyệt đối.

Dạng 2: Cho hàm số liên tục trên . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Oy () và hai đường thẳng và là:

2. Diện tích hình phẳng

Dạng 1: Cho 2 hàm số và liên tục trên . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và và hai đường thẳng và là:

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .

Dạng 2: Cho hai hàm số và liên tục trên . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là: .

Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình

Phương pháp giải:

Bước 1. Giải phương trình . Giả sử ta tìm được là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình .

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : trên đoạn .

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: .

Dạng 3: Cho hai hàm số và liên tục trên . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và và hai đường thẳng và là:

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .

Dạng 4: Cho hai hàm số và liên tục trên . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là: .

Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình

Phương pháp giải:

Bước 1. Giải phương trình . Giả sử ta tìm được là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình .

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : trên đoạn .

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: .

Dạng 5: khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa vào đồ thị để tính.

Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số , và liên tục trên . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số , và là:

Với: + là nghiệm phương trình:

+ là nghiệm phương trình:

+ là nghiệm phương trình:

Trong đó:

Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:

1. Diện tích S của miền giới hạn:

2. Diện tích S của miền giới hạn:

3. Diện tích S của miền giới hạn:

DẠNG 1

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

• 1. Cho hàm số liên tục trên đoạn và cắt trục hoành tại điểm (như hình vẽ). Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A. B.

C. D.

• 1. Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần có đánh dấu gạch trong hình) là:

A. B.

C. D.

• 1. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành và hai đường thẳng (như hình vẽ).

Đặt Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

• 1. Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

A. B.

C. D.

• 1. Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:

A. B.

C. D.

• 1. Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong Hình 1) là:

A. B.

C. D.

• 1. Cho đồ thị hàm số . Diện tích của hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là:

A. .

B. .

C. .

D. .

• 1. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Diện tích hình phẳng (phần tô màu trong hình vẽ) được tính bằng công thức nào

A. B.

C. D.

• 1. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích (hình vẽ). Tìm để

A.

B.

C.

D.

• 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và trục hoành như hình vẽ.

A. . B. .

C. . D..

• 1. Cho hàm số liên tục trên , đồ thị hàm số như hình vẽ. Diện tích các hình phẳng A, B lần lượt là và . Biết , tính

A.

B.

C.

D.

• 1. Tính diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc toạ độ và hai đoạn thẳng và như hình vẽ bên ?

A..

B..

C..

D..

• 1. Cho đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ và có diện tích . Tính tích phân

A. B.

C. D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là:

A. B. C. D.

• 1. Tìm d để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , Ox, x =1, x = d (d >1) bằng 2:

A. B. e C. 2e D. e+1

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol bằng:

A. B. C. D.

• 1. Cho Parabol y = x² và tiếp tuyến At tại A(1 ; 1) có phương trình: y = 2x – 1. Diện tích của phần bôi đen như hình vẽ là:

y

x

A

1

-1

-1

-2

4

1

A. B. C. D. Một số khác

• 1. Cho ba đồ thị: và như hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị trên (phần gạch trong hình) là:

A. . B. . C. . D. .

• 1. Tính diện tích của phần hình phẳng gạch sọc (bên dưới) giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba và trục hoành.

A.. B..

C.. D..

• 1. Cho hàm số có đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

• 1. Cho đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ ở bên và có diện tích . Tính tích phân

A. B.

C. D.

• 1. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

và Tìm để diện tích của hình phẳng gấp

hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.

A. B.

C. D.

• 1. Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường và . Đường thẳng chia (H) thành hai phần có diện tích và như hình vẽ bên.

Tìm k để .

A. . B. . C. . D. .

• 1. Cho hàm số có đồ thị với là tham số thực. Giả sử cắt trục tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :

Gọi , và là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm để .

A. . B. . C. . D. .

• 1. Parabol chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng thành hai phần có diện tích là và , trong đó . Tìm tỉ số

A. B. C. D.

• 1. Gọi là diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng với m < 2 và parabol (P) có phương trình . Gọi là diện tích giới hạn bởi (P) và Ox. Với trị số nào của m thì ?

A. . B. . C. . D. .

• 1. Cho hàm số có đồ thị . Biết rằng đồ thị tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành.

A. . B. . C. . D. .

• 1. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: , trục tung và trục hoành. Xác định để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau.

A. . B. . C. . D. .

• 1. Cho hai hàm số có đồ thị và liên tục trên . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và hai đường thẳngđược tính bởi công thức:

A. B.

C. D.

• 1. Cho và là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử: và , với , là các nghiệm của phương trình . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức:

hoặc

Nhận xét nào sau đây đúng nhất?

A. đúng nhưng sai. B. đúng nhưng sai.

C. Cả và đều đúng. D. Cả và đều sai.

• 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 – x² và y = x.

A. 5 B. 7 C. D.

• 1. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. B. C.. D.

• 1. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và Công thức tính diện tích của là công thức nào trong các công thức dưới đây?

A. B. C. D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành là:

A. B. C. D.

• 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và .

A. B. C. D.

• 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường

A. B. C. D.

• 1. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số , trục và hai đường thẳng bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D.

• 1. Tính diện tích hình phẳng tạo bởi các đường: Parabol và 2 tiếp tuyến tại các điểm nằm trên .

A. B. C. D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và trục hoành bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và trục Ox và đường thẳng bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và trục Ox bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D.

• 1. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Giá trị cần tìm là:

A.. B. . C. . D. .

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , nhận giá trị nào sau đây:

A. . B. . C. . D. .

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng là:

A. B. C. D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và là:

A. . B. . C. . D. .

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục Ox được tính bởi công thức

A. B.

C. D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , tiếp tuyến với nó tại điểm và trục là giá trị nào sau đây?

A. . B. . C.. D..

• 1. Cho hàm số có đồ thị . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng có đồ thị . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , đường thẳng và trục tung. Giá trị củalà:

A.. B.. C.. D..

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng , đường thẳng và trục tung được tính như sau:

A. . B. C. D.

• 1. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình và bằng:

A. B. . C. D.

• 1. Với giá trị nào của để diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , đường tiệm cận xiên của và hai đường thẳng bằng ?

A. . B. . C. . D. .

• 1. Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng có dạng (với là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa và là:

A. B. . C. D.

• 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số , trục và đường thẳng bằng với , , là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của là

A. . B. . C. . D. .

• 1. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành, trục tung và đường Tìm giá trị của để đường thẳng chia hình phẳng thành hai phần có diện tích bằng nhau

A. B. C. . D.

DẠNG 2

ỨNG DỤNG THỰC TẾ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

• 1. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là . Kinh phí để làm mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A. . B. . C. . D. .

• 1. Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là , người ta làm một con đường nằm trong sân (Như hình vẽ).

Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là . Kinh phí cho mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A. B. C. D.

• 1. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng (m). Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là đồng/m². Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A. (đồng). B. (đồng). C. (đồng). D. (đồng).

• 1. Cô Minh Hiền có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục bé bằng. Cô Minh Hiền muốn trồng hoa trên một dải đất rộng và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là đồng/. Hỏi Cô Minh Hiền cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A. đồng. B. đồng.

C. đồng. D. đồng.

• 1. Một mảnh vườn hình tròn tâm bán kính . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng nhận làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là đồng. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

A. đồng.

B. đồng.

C. đồng.

D. đồng.

• 1. Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi cạnh , , đường trung bình của mảnh đất hình chữ nhật và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết , . Tính diện tích phần còn lại.

A. . B. .

C. . D. .

• 1. Thầy Hiền muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của rào sắt là đồng. Hỏi Thầy Hiền phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).