Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1
NGUYÊN HÀM
I. Định nghĩa:
Giả sử liên tục trên khoảng , khi đó hàm số là một nguyên hàm của hàm số khi và chỉ khi , .
Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì ,
II. Vi phân:
Giả sử xác định trên khoảng và có đạo hàm tại điểm .
Vi phân của hàm số là:
Quan hệ giữa đạo hàm − nguyên hàm và vi phân:
III. Các tính chất của nguyên hàm
1. Nếu là hàm số có nguyên hàm thì : ;
2. Nếu có đạo hàm thì:
3. Phép cộng, phép trừ:
4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: , ∀k ≠ 0
IV. Phương pháp tính nguyên hàm:
1. Phương pháp đổi biến số:
Nếu và có đạo hàm liên tục thì:
2. Phương pháp từng phần
Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì:
Hay:
V. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp | Nguyên hàm hàm số thường gặp | Nguyên hàm của hàm số hợp |
VI. Vi phân
+ Cho hàm số có đạo hàm tại vi phân của hàm số tại điểm là :
.
+ Cho hàm số có đạo hàm thì tích được gọi là vi phân của hàm số Kí hiệu : hay .
VII. Các quy tắc tính đạo: Cho là hằng số .
Nếu |
VIII. Các công thức tính đạo:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp | Đạo hàm của hàm số hợp |
IX. Nguyên hàm mở rộng
| |
| |
X. Lượng giác
1. Hệ thức cơ bản:
•
•
•
•
•
2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau | Góc bù nhau | Góc phụ nhau |
Góc hơn kém | Góc hơn kém |
Để thuộc các công thức trên chỉ cần hiểu và thuộc câu thần chú sau:
cos đối, sin bù, phụ chéo
kém tan, cot, kém chéo cos
3. Công thức lượng giác
a. Công thức cộng
Hệ quả: |
b. Công thức nhân đôi
Công thức nhân đôi | Công thức hạ bậc | Công thức nhân ba |
sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31 hoặc: sin thì 3sin 4sỉn , cos thì 4 cổ 3cô |
c. Công thức biến đổi tích thành tổng
d. Công thức biến đổi tổng thành tích
|
|
Chú ý:
|
PHẦN 1
NGUYÊN HÀM
VẤN ĐỀ 1
Lý thuyết
A. xác định trên . B. có giá trị lớn nhất trên .
C. có giá trị nhỏ nhất trên . D. liên tục trên .
A. Chỉ có duy nhất một hằng số sao cho hàm số là một nguyên hàm của hàm trên
B. Với mỗi nguyên hàm của trên thì tồn tại một hằng số sao cho với thuộc .
C. Chỉ có duy nhất hàm số là nguyên hàm của trên
D. Với mỗi nguyên hàm của trên thì với mọi thuộc và bất kỳ.
A. B.
C. D.
A.. B.
C. D.
(I). là một nguyên hàm của
(II). là một nguyên hàm của với .
(III). là một nguyên hàm của
Các mệnh đúng là
A.(I). B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II).
A. Nếu là một nguyên hàm của trên và là hằng số thì .
B. Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên .
C. là một nguyên hàm của trên .
D. .
(I) Mọi hàm số liên tục trên đoạn đều có đạo hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số liên tục trên đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
A. Với mọi , ta có .
B. Với mọi , ta có .
C. Với mọi , ta có .
D. Với mọi , ta có , ngoài ra và .
(I) là nguyên hàm của trên nếu và chỉ nếu .
(II) Nếu liên tục trên thì có nguyên hàm trên .
(III) Hai nguyên hàm trên của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Không có câu nào sai. B. Câu (I) sai. C. Câu (II) sai. D. Câu (III) sai.
A. trên khoảng .
B. trên khoảng , với là hằng số.
C. với mọi thuộc giao của hai miền xác định, là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
(I) ,
trong đó và tương ứng là nguyên hàm của .
(II) Mỗi nguyên hàm của là tích của với một nguyên hàm của .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.
A. . B. .
C. . D. ( là hằng số).
A. Nếu thì .
B. .
C. Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì là một nguyên hàm của hàm số .
D. với .
A..
B.Nếu và đều là nguyên hàm của hàm số thì là hằng số.
C. là một nguyên hàm của
D. là một nguyên hàm của
VẤN ĐỀ 2
Tính nguyên hàm của một số hàm số đa thức
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A.
B.
C.
D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D. Không tính được
A. B. C. D.
A. B. C. D. Không được tính
A. B. C. D.
A.. B.. C.. D..
A. B..
C.. D..
A.. B.. C.. D..
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
VẤN ĐỀ 3
Tính nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ
A. F(x) = B. F(x) =
C. F(x) = D. F(x) =
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. Đáp án khác. C. D.
A. Một kết quả khác B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.. C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A.. B.. C.. D..
A. B.. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. +C B. +C C. +C D. +C
A.. B..
C.. D..
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. . B..
C. . D. .
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A.. B. C.. D..
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D. Một kết quả khác.
A. 2ln2 B. ln2 C. -2ln2 D. –ln2
A. B. C. D.
A. B. C. D. Một kết quả khác
(I)
(II) Nguyên hàm của các hàm số theo thứ tự là:
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là:
Nếu sai, thì sai ở phần nào?
A. I B. I, II C. II, III D. III
A.. B.. C.. D..
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. . B. .
C. . D. .
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. .
C. D.
A. B. .
C. D.
VẤN ĐỀ 4
Tính nguyên hàm của một số hàm số vô tỉ
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. B. C. D.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. B.
C. D.
A. B. Đáp án khác
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D. Đáp án khác.
A. B. C. D.
A. B. C. D..
A.. B.. C.. D..
A. B. C. . D.
A. B. Một đáp số khác C. D.
A. x = 0 B. x = 1 C. x = -1 D.
(I) Đặt u = 1 - x ta được
(II) Suy ra
(III): Vậy nguyên hàm
(IV) Thay u = 1 - x ta được:
Lập luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
A. II B. III C. I D. IV
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B..
C.. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. .
C. D.
A. B. .
C. D.
A. B. C. D.
A.
B.
C.
D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
VẤN ĐỀ 5
Tính nguyên hàm của một số hàm số mũ và logarit
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A.. B..
C.. D..
A. . B. .
C. . D. .
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. F(x) = B. F(x) =
C. F(x) = D. F(x) =
A. B.
C. D. Một kết quả khác
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. . B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. . C. . D. .
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C.D.
A. B. C. D.
A.. B. . C. . D..
A. . B. C. D.
A. . B. . C. D.
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A.. B. . C. D.
A. B. C. D.
A.. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. là hàm chẵn B. là hàm lẻ
C. là hàm tuần hoàn chu kỳ D. không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A.. B.. C.. D..
A. là một nguyên hàm của
B. là một nguyên hàm của
C. là một nguyên hàm của
D. là một nguyên hàm của
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D. Đáp án khác.
A. B. C. D.
A. B. C. D. .
VẤN ĐỀ 6
Tính nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
A. là một nguyên hàm của hàm số .
B.Nếu và đều là nguyên hàm của hàm số thì có dạng với là các hằng số,
C.
D. Nếu thì .
A. Nếu thì .
B. Nếu và đều là nguyên hàm của hàm số thì có dạng ( là các hằng số và ).
C. là một nguyên hàm của .
D. .
A. Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì mọi nguyên hàm của đều có dạng ( là hằng số).
B. .
C. là một nguyên hàm của hàm số .
D. là một nguyên hàm của hàm số .
(I) .
(II) .
(III).
Số mệnh đề đúng là:
A. . B. . C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. B. C. D.
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. . B. .
C. . D. .
A. sin3x + sin5x + C B.
C. sin3x − sin5x + C D.
A. B. C. 4 D. 2
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. Cả (A), (B) và (C) đều đúng
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. và . B. và .
C. và . D. và .
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D. Đáp án khác
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. ln B. ln C. -ln|cosx| + C D. ln
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. . D.
A. B. C. D.
A. . B.
C. D.
A. B. sin3x + sin5x + C
C. D. sin3x − sin5x + C
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D. Đáp án khác.
A. . B. .
C. . D. .
là hàm số nào sau đây?
A.. B. .
C. . D. .
(I) .
(II) .
(III).
Số mệnh đề đúng là:
A. . B. . C. . D. .
A. ;
B. ;
C. ;
D. ;
A.. B..
C.. D..
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. Đáp án khác
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. F(x) = B. F(x) =
C. F(x) = D. F(x) =
A. B.
C. D.
A. F(x) = B. F(x) =
C. F(x) = D. F(x) =
A. B.
C. D.
A. B. Đáp án khác C. D.
A. B. C. D.
+ Bước 1: Đặt , ta có
+ Bước 2:
+ Bước 3: Kết luận
Hỏi bạn Minh Hiền sai ở bước nào?
A.Bước 1 B.Bước 2 C.Bước 3 D.Không sai.
A.. B. C.. D..
A.. B. C.. D..
A.. B. C.. D..
A. Dùng phương pháp đổi biến số đặt .
B. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt .
C. Dùng phương pháp đổi biến số đặt .
D. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt .
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. 2cosucosv B. -cosucosv C. cosu + cosv D. cosucosv
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. và B. và C. và D. và
Khi đó phương trình F1(x) = F2(x) có nghiệm là:
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. 8 B. 4 C. 0 D. 2
A. B. C. Cả 3 đều sai. D.
A. B.
C. D.
A. là một nguyên hàm của hàm số
B. Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng (C là hằng số)
C.
D. là một nguyên hàm của
A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt
B. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt
C. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt
D. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt
A.. B.. C.. D..
A.. B.. C.. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C.. D..
A.. B.. C.. D..
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A. B. C. D.
A.. B..
C.. D..
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới