Ôn thi hsg toán 6 chủ đề: tính tổng của dãy số tự nhiên

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN

CHỦ ĐỀ3: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ TỰ NHIÊN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. DÃY SỐ TỰ NHIÊN

+ Cho dãy số tự nhiên :

- : số hạng thứ 1 .

- : số hạng thứ 2 .

- : số hạng thứ 3 .

- : số hạng thứ .

- tổng dãy số tự nhiên có số hạng.

2. DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU

+ Dãy số tự nhiên cách đều: Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn luôn không đổi.

- (hằng số).

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều

I. Phương pháp giải

Cần tính tổng: . (1)

Với (các số hạng cách đều nhau một giá trị )

Số số hạng của tổng là với là số hạng thứ nhất; là số hạng thứ .

Tổng .

Số hạng thứ của dãy là .

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng .

Lời giải:

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài toán tổng quát: Tính tổng .

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài 2: Tính tổng .

Lời giải:

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài 3: Tính tổng .

Lời giải:

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài 4: Tính tổng .

Lời giải:

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài 5: Tính tổng .

Lời giải:

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài 6: Tính tổng các số tự nhiên có hai chữ số? .

Lời giải:

Cách 1:

Các số tự nhiên có hai chữ số là

Số các số này là: số

Ta có:

Cộng (1) với (2) và áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng ta được:

Nên

Cách 2:

Số số hạng của dãy:

(khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là 10, số hạng cuối của dãy là 99)

Tổng của dãy:

Bài 7: Tính tổng của 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên? .

Phân tích:

Để giải bài toán ta cần xác định được quy luật cách đều của các số lẻ liên tiếp. Tuy nhiên các số hạng trong tổng đã biết nên ta chỉ cần áp dụng công thức tính tổng như đã nêu trong phương pháp

Lời giải

Tổng 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

Cách 1: Tính tổng theo công thức trong phương pháp

Các số hạng liên tiếp trong tổng cách đều nhau một giá trị và trong tổng có 21 số hạng nên:

Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành những cặp số có tổng bằng nhau, ta thấy:

Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng là 42

Số cặp số là: (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 21

Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

Bài 9: Tính tổng .

Lời giải

Ta có

Xét tổng là tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 105, các số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị.

Tổng này có: số hạng.

Ta có tổng

Dạng 2: Tổng có dạng (1)

I. Phương pháp giải

TH 1: Nếu thì .

TH 2: Nếu để tính tổng ta làm như sau

Bước 1: Nhân hai vế của với số ta được

Bước 2: Lấy trừ vế theo vế ta được

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Vậy .

Bài 2: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Vậy .

Bài 3: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có .

Vậy .

Suy ra .

Bài 4: Tính tổng .

*) Phân tích: Đặt bài toán trở về dạng đã cho.

Kể từ số hạng thứ nhất, mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Do đó nếu ta nhân 2 vào tổng S thì ta có tổng với các số hạng từ đến , giống như trong tổng S, khi đó nếu lấy tổng trừ đi tổng thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu và tính được tổng S.

Lời giải:

Ta có

Bài 5: Tính tổng .

*) Phân tích: Nhận thấy các số hạng từ đến đều có cùng tử số là 5, và kể từ số hạng thì các số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu nhân 7 vào tổng S thì ta được tổng 7S có các số hạng từ đến giống như trong tổng S. Do đó nếu lấy tổng 7S trừ đi tổng S thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu, từ đó tính được tổng S.

Lời giải:

Ta có

Bài 6: Tính tổng .

*) Phân tích: Nếu quy đồng phân số bài toán thì khá phức tạp. Nhận thấy các số 18, 162, 1458 đều chia hết cho 9, do đó ta sẽ phân tích các số này thành tích của 9 với một thừa số nào đó để xem có xuất hiện tổng theo quy luật hay không, từ đó có hướng tính S

Lời giải:

Ta có

Nhân 2 vào tổng S ta được:

Nhân 9 vào tổng 2S ta được:

Trừ tổng 18S cho tổng 2S ta được:

Dạng 3: Tính tổng có dạng (1)

I. Phương pháp giải

Bước 1: Nhân hai vế của đẳng thức với ta được:

(2)

Bước 2: Lấy theo vế ta được:

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng sau:(1)

Lời giải:

Nhân vào hai vế với ta được: (2)

Lấy theo vế :

Bài 2: Tính tổng sau:(1)

Lời giải:

Đặt

Ta có:

Bài 3: Tìm giá trị của biết:

Lời giải:

Đặt (1)

Nhân vào hai vế với ta được: (2)

Lấy theo vế :

Vì .

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 4: Tìm giá trị của biết: , với

Lời giải:

Đặt (1).

Nhân cả hai vế của (1) với ta được: (2).

Lấy theo vế ta được:

Theo bài cho:

(thỏa mãn).

Vậy .

Bài 5: Chứng minh rằng: chia hết cho 26.

Lời giải:

Phân tích: Ta nhóm 2 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số .

Ta có:

Vậy chia hết cho .

Bài 6: Chứng minh rằng: chia hết cho 21.

Lời giải:

Phân tích: Ta nhóm 3 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 21.

Ta có:

Do đó: chia hết cho 21

Bài 7: Chứng minh rằng: chia hết cho 82.

Lời giải:

Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách đều để làm xuất hiện thừa số 82.

Ta có:

Vậy chia hết cho 82.

Bài 8: So sánh: với .

Lời giải:

Đặt

Vậy .

Ví dụ 9: So sánh: với .

Lời giải:

Đặt

Dạng 4: Tính tổng , với .

I. Phương pháp giải

Bước 1: Nhân cả 2 vế của với ta được:

Bước 2: Lấy ta được:

Vậy

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng .

Lời giải:

Áp dụng công thức với ta được:

.

Bài 2: Tính tổng .

Lời giải:

Áp dụng công thức với ta được :

.

Bài 3: Tính tổng .

*) Phân tích: Nhận thấy, kể từ số hạng thứ hai thì mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu ta nhân vào tổng S, ta được tổng có các số hạng từ Đến giống như trong tổng S. Khi đó ta lấy tổng trừ cho tổng S thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu và sẽ tính được tổng S.

Lời giải

Ta có

Bài 4: Tính tổng

Lời giải

Ta có

Bài 5: Tính tổng .

Phân tích:

+) Ta có: ;;;….;.

+) Tổng trên có 8 số hạng.

Lời giải:

Ta có:

Áp dụng công thức với ta được:

Vậy .

Dạng 5: Tổng có dạng: .

I. Phương pháp giải

Bài toán tổng quát:

Bài toán tổng quát:, .

(khoảng cách giữa các thừa số của mỗi số hạng là )

* Nhân với ba lần khoảng cách ta được: .

* Phân tích từng số hạng của tổng mới để xuất hiện các số hạng đối nhau:

Từ đó tính được tổng .

II. Bài toán

Bài 1:Tính tổng: .

Phân tích: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1.

Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của với 3 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 3 này được viết dưới dạng ở số hạng thứ nhất, ở số hạng thứ hai, ở số hạng thứ ba, …, ở số hạng cuối cùng.

Lời giải:

Ta có:

.

Suy ra: .

Bình luận: Ta thấy: là tích của ba thừa số, trong đó là hai thừa số của số hạng lớn nhất trong tổng, còn thừa số 100 bằng (bằng thừa số lớn nhất của cộng với khoảng cách giữa hai thừa số của mỗi số hạng trong ).

Bài 2: Tính tổng: .

Phân tích: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2. Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 6 này được viết dưới dạng ở số hạng thứ nhất, ở số hạng thứ hai, ở số hạng thứ ba, … ở số hạng cuối cùng.

Lời giải:

Ta có:

.

Suy ra: .

Bài 3: Tính tổng:

Lời giải:

Ta có

Bài 4: Chứng minh rằng với

Lời giải:

Ta có

Vậy

Dạng 6: Tổng có dạng:

I. Phương pháp giải

Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng :

Lời giải:

Mà (Theo dạng bài trước)

Vậy

Do đó, ta có công thức tính dãy số:

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng sau:

Lời giải:

Ta có

Lại có

Bài 2: Tính tổng sau:

Lời giải:

Ta có tổng

Trong đó

Vậy

Bài 3: Tính tổng sau:

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 thì ta có

Bài 4: Tính tổng sau:

Lời giải:

Áp dụng tổng

.

Bài 5: Tính các tổng sau:

Lời giải:

Tính

Áp dụng bài toán tổng quát

Ta thấy nên

Tính

Ta biến đổi về dạng tương tự như biểu thức ta có:

=

= (với )

Bài 6: Tính tổng sau:

Lời giải:

Ta biến đổi về dạng quen thuộc như biểu thức bằng cách thêm bớt tổng .

Dạng 7: Tính tổng có dạng với .

I. Phương pháp giải

Cách 1: Ta sẽ tính tổng dựa vào tổng dạng .

Trước hết ta xét tổng

.

.

Mặt khác .

.

Vậy .

Cách 2: Ta sẽ tính tổng dựa vào tổng dạng và công thức .

Ta chứng minh công thức như sau: (đpcm).

Nhận thấy tổng có số hạng, từ đó ta có:

.

.

.

Cách 3: Ta sẽ tính tổng dựa vào tổng dạng và tổng dạng .

Ta có

.

Đặt và .

Ta có:

.

Ta có: .

Số số hạng của tổng là: .

.

.

.

Vậy .

Cách 4: Ta sẽ tính tổng dựa vào tổng dạng và tổng dạng .

Đặt .

.

.

Đặt

.

.

Đặt .

Ta có là tổng của n số nguyên dương đầu tiên nên .

Suy ra

Vậy .

Xét

Vậy .

II. Bài toán

Bài 1. Tính tổng .

Phân tích: Đây là bài toán cụ thể của dạng này với .

Lời giải:

.

Ta chứng minh công thức sau: .

Ta có:

.

.

Bài 2: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng công thức ở trên với ta được:

Bài 3: Tính tổng

Lời giải:

Ta tính 2 tổng và

Theo công thức thu được

và

Ta có

Bài 4: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 99 số hạng nên ta thêm số hạng 0.1 ta được tổng có 100 số hạng, và ghép được đủ 50 cặp.

Ta có

, theo dạng 5 ta có

Bài 5: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 101 số hạng nên ta thêm số hạng 0.1 ta được tổng có 102 số hạng, và ghép được đủ 51 cặp

Ta có

, theo dạng 5 ta có:

Vậy

Bài 6: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 2009 số hạng, nên khi thêm số hạng ta được tổng có 2010 số hạng, và ghép được đủ 1005 cặp số

Ta có

Bài 6: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

theo dạng 5 ta có:

Bài 7: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

ta có:

Dạng 8: Tổng có dạng: (k lẻ và )

I. Phương pháp giải

Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng :

Ta có:

Suy ra:

Áp dụng tổng

=2.S

Suy ra: mà

Vậy

Áp dụng tính:

Xét:

Suy ra: .

Nên: .

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Phân tích: Tổng B có dạng với

Lời giải:

Áp dụng công thức: với .

Ta được:.

Bài 2: Tính tổng .

Phân tích: Tổng C có dạng với .

Lời giải:

Áp dụng công thức: với .

Ta được:.

Bài 3: Biết Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 4: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Áp dụng tổng

theo dạng 5 ta có

Áp dụng tổng

ta có

Khi đó

Dạng 9: Tổng có dạng

I. Phương pháp giải

Phương pháp giải: Đặt

Nhân cả hai vế với , rồi tách ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 2. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 6) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Cách 1: Ta có

Đặt

Tổng B có dạng

Với

Cách 2:

Vậy

Bài 2: Tính tổng

Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 3. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 9) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 3: Tính tổng

Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 2. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 6) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Cách 1:

Cách 2:

Ta có

Ta có:

Bài 4: Tính tổng

Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 4. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 12) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Dạng 10: Tổng có dạng

Trong đó .

I. Phương pháp giải

Nhân hai vế với , rồi tách ở mỗi số hạng trong tổng để số hạng trước và số hạng sau tạo thành những số tự triệt tiêu nhau.

.

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Phân tích: Vì khoảng cách giữa các số trong một số hạng là nên ta nhân vào hai vế để tính S.

Lời giải:

Bài 2: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có:

.

Do vậy .

Bài 3:Tính tổng .

Lời giải:

Ta có:

.

Do vậy .

Bài 4: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có:

Do vậy .

Bài 5:Tính tổng .

Lời giải:

Ta có:

.

Dạng 11: Tổng có dạng

I. Phương pháp giải

Phân tích công thức của từng số hạng trong tổng thành để thành tổng quen thuộc:

Cụ thể:

Do đó

Đặt

Khi đó

.

Tổng quát: với .

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Phân tích: Ta áp dụng dạng toán trên với

Lời giải:

Do đó

Đặt

Khi đó,

.

Bài 2:Tính tổng

Phân tích: Ta áp dụng dạng toán trên với

Lời giải:

Do đó

Đặt

.

Bài 3: Tính tổng

Phân tích: Phân tích ; ; ;...;.

Khi đó

Lời giải:

Ta có

Theo kết quả ví dụ 2 thì .

Bài 4: Tìm số nguyên x, biết:

Phân tích: Tính giá trị vế phải rồi thay vào tìm .

Lời giải:

Đặt

Do đó

Phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: nên

Theo bài toán ta có: hoặc

hoặc

Vậy

Bài 5: Không tính ra kết quả hãy so sánh và

Phân tích: Biến đổi biểu thức theo biểu thứcdựa vào cách làm trong hướng dẫn các ví dụ 1,2,3.

Lời giải:

Do đó

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG

Bài 1: Tính tổng .

Lời giải:

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài 2: Tính tổng .

Lời giải:

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài 3: Tính tổng .

Lời giải:

Số số hạng của dãy là .

Tổng .

Bài 4: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có .

Vậy .

Suy ra .

Bài 5: Chứng minh chia hết cho 40.

Lời giải:

Ta có .

Suy ra chia hết cho 40 vì .

Bài 6: Chứng minh rằng:

Lời giải:

Đặt (1). Nhân cả hai vế của (1) với ta được:

(2).

Lấy theo vế ta được:

Bài 7: So sánh: với .

Lời giải:

Đặt

Vậy .

Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho 37.

Lời giải:

Ta có:

Vậy chia hết cho 37

Bài 9: Cho

a) Tính giá trị của

b) Chứng minh chia hết cho .

Lời giải:

a) Áp dụng công thức với ta được :

b) Ta có:

Vậy chia hết cho .

Bài 10: Tính giá trị củabiểu thức

Lời giải:

Ta có

Bài 11: Cho , . Tìm để .

Lời giải:

Ta có: .

Do đó .

Bài 12: Cho . Chứng minh chia hết cho và chia hết cho .

Lời giải:

+ Ta có

Vậy chia hết cho

+ Ta có

Vậy chia hết cho .

Bài 13: Tính tổng:

Phân tích: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 3.

Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của với 9 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 9 này được viết dưới dạng ở số hạng thứ nhất, ở số hạng thứ hai, ở số hạng thứ ba, …, ở số hạng cuối cùng.

Lời giải:

Ta có:

.

Suy ra: .

Bài tập tương tự: Tính tổng: .

Hướng dẫn: Nhân với 12.

Đáp số: .

Bài 14: Tính tổng:

Phân tích: Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2.

Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số).

Lời giải:

Ta có:

.

Suy ra: .

Bài 15: Tính tổng:

Lời giải:

Ta có:

.

Bình luận: Trong bài tập 3, thừa số trong số hạng đứng trước không được lặp lại trong số hàng đứng sau, nên ta không nhân với ba lần khoảng cách giữa hai thừa số nữa mà tách một thừa số trong tích làm xuất hiện các tổng mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.

Bài toán tổng quát:

Bài 16: Tính tổng: .

Lời giải:

Cách 1: Ta có:

.

Cách 2: Ta có:

.

Bài tập tương tự: Tính tổng: ;

Hướng dẫn:

.

Bài 17: Tính

Lời giải:

Đặt: ;

Khi đó ta áp dụng công thức tổng quát để tính

Từ đó:

Ta có:

Bài 18: Tìm số tự nhiên biết tổng các bình phương các số tự nhiên từ đến là 506.

Lời giải:

Vì tổng tổng các bình phương các số tự nhiên từ đến là 506 nên

Bài 19: Tính tổng

Lời giải:

Bài 20: Tìm n nhỏ nhất sao cho tổng của n số chính phương lẻ đầu tiên chia hết cho 3

Lời giải:

Ta có

Mà nên trong 3 số chỉ có 1 số chia hết cho 3, mà muốn A chia hết cho 3 thì 1 trong 3 số trên phải chia hết cho 9. Để nhỏ nhất thì . Suy ra .

Vậy là số cần tìm.

Bài 21: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Bài 22: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Bài 23: Tính tổng

Phân tích: Sử dụng công thức với

Lời giải:

Áp dụng công thức: với . Ta được:

.

Mặt khác:

Suy ra: .

Bài 24: Tính tổng .

Phân tích: Sử dụng công thức .

Tính với .

Tính với .

Khi đó: .

Lời giải:

Áp dụng công thức: .

Đặt .

Đặt .

Khi đó: .

Bài 25: Tính tổng: .

Phân tích: Tổng F có dạng với .

Lời giải:

Áp dụng công thức: với .

Ta được: .

Bài 26: Tính tổng: .

Phân tích: Tổng .

Áp dụng dạng với .

Lời giải:

Áp dụng công thức: với , ta được:

.

Suy ra: .

Vậy .

Bài 27: Tính tổng .

Phân tích: Tính .

Tính .

Tính .

Lời giải:

Đặt .

Đặt .

Khi đó: .

Bài 28: Biết rằng . Tính tổng .

Lời giải:

Ta có: .

Suy ra: .

Mà .

Nên .

Vậy .

Bài 29: Tính tổng

Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài toán tổng quát: Tính tổng

Ta có:

Vậy: .

Bài 30: Tính tổng

Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 4. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 12) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 31: Tính tổng

Phân tích: Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 5. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 15) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 32: Tính tổng

Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 2. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 6) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 33: Tính tổng

Phân tích:Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 4. Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 12) rồi tách để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 34: Tính tổng

Phân tích: Ta áp dụng dạng toán trên với

Lời giải:

Bài 35: Tính tổng

Phân tích

Ta áp dụng dạng toán trên với

Khi đó:

Lời giải:

Bài 36: Tính tổng

Phân tích

Ta có

Ta tính hai tổng sau

Lời giải:

+) Tính tổng

.

Áp dụng ví dụ, ta tính được

Tương tự áp dụng công thức (*) với ta có

+) Tính

Bài 37: Tính tổng

Phân tích: Trong bài toán này, ta không nhân với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.

Lời giải:

Từ đó ta có,

Áp dụng bài 1, ta tính được

Ta chỉ cần đi tính

Do đó

Bình luận: Ta nhận thấy rằng cách tính là nhân với ở đó là khoảng cách giữa 2 số liên tiếp vì mỗi số hạng của có 3 thừa số, còn cách tính cũng tương tự. Tuy nhiên để tính ta nhân với 3 lần khoảng cách giữa 2 số liên tiếp vì mỗi số hạng của N có 2 thừa số.

Bài toán tổng quát: .

Bài tập tương tự

Tính

.

Bài 38: Tính tổng

Phân tích: Trong bài toán này, tương tự bài 4 ta không nhân với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Ở bài này ta tách với mỗi bình phương.

Lời giải:

Từ đó ta tính

+) Tính tổng

Áp dụng ví dụ , ta tính được .

+) Tính tổng .

Áp dụng Lý thuyết với

Áp dụng Lý thuyết, với (với mọi ), ta tính được

Vậy

Bài toán tổng quát:

Bài tập tương tự: Tính

Bài 39: Tính tổng

Lời giải:

.