Ôn thi hsg toán 6 chủ đề: dãy số viết theo quy luật

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN

CHỦ ĐỀ 4. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT: DÃY CỘNG VÀ CÁC DÃY KHÁC

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

- Dãy cộng là dãy số có mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng liền trước nó cùng một số đơn vị.

- Dãy cộng là dãy số cách đều

- Một số phương pháp giải:

Phương pháp 1:

+ Tính số các số hạng trong tổng theo công thức :

+ Nhóm hai số hạng thành một cặp sao cho giá trị trong mỗi cặp bằng nhau. (Lưu ý có thể nhóm vừa hết các số hạng thành các cặp nếu số số hạng là số chẵn hoặc còn thừa một số hạng nếu số số hạng là số lẻ). Cách tính số hạng thứ n trong dãy là:

+ Tính tổng dựa vào giá trị của một cặp và số cặp vừa nhóm. Lưu ý khi tìm số cặp mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số hạng dư đó vào.

Phương pháp 2:

+ Dựa vào công thức:

Phương pháp 3:

+ Dựa vào bài toán Gau-xơ :

Viết tổng theo thứ tự ngược lại và tính + . Từ đó tính được tổng .

Phương pháp 4:

+ Phương pháp khử liên tiếp: Tách một số hạng thành một hiệu trong đó số trừ của hiệu trước bằng số bị trừ của hiệu sau: a₁ = b₁ – b₂ , a₂ = b₂ – b₃ , ..., a_n = b_n – b_{n+ 1} ^.

Khi đó ta có ngay A_n = ( b₁ – b₂ ) + ( b₂ – b₃ ) + ...... + ( b_n – b_{n + 1} ) = b₁ – b_{n + 1}

Phương pháp 5: Phương pháp dự đoán và quy nạp.

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1:Tính tổng các số hạng cách đều

I.Phương pháp giải

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy:

Bước 2: Tính tổng của dãy:

(quy tắc dân gian: dĩ đầu, cộng vĩ, chiết bán, nhân chi)

Với dãy số tăng dần ta có:

Ở các bài tập dưới đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp đó là dãy tăng dần.

*) Chú ý: Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n là:

II.Bài toán

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số? Tính tổng của chúng.

Lời giải:

Cách 1:

Các số tự nhiên có hai chữ số là

Số các số này là: (số)

Ta có:

Cộng với và áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng ta được:

Nên

Cách 2:

Số số hạng của dãy: (số hạng)

(khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là 10, số hạng cuối của dãy là 99)

Tổng của dãy:

Bài 1: Tính giá trị của biết .

Lời giải:

Dãy số trên có số số hạng là (số hạng)

Giá trị của là

Đáp số:

Bài 3: Cho dãy số: Tìm số hạng thứ của dãy số trên?

*) Phân tích: Từ công thức

Ta có:

Lời giải:

Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là

Đáp số: 4028

Bài 4: Tính tổng số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là ?

*) Phân tích: Với dãy số tăng dần ta có:

Lời giải:

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:

Tổng của 50 số lẻ cần tìm là

Đáp số: 98500

Bài 5: Một dãy phố có nhà. Số nhà của nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của số nhà của dãy phố đó bằng . Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?

*) Phân tích: Dựa vào công thức với dãy số có quy luật tăng dần:

Bước 1:

Suy ra:

Bước 2:

Suy ra:

Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.

Lời giải:

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là (bài toán tổng hiệu quen thuộc)

Đáp số: 47

Bài 6: Tính tổng của số lẻ liên tiếp đầu tiên.

*) Phân tích:

Để giải bài toán ta cần xác định được quy luật cách đều của các số lẻ liên tiếp. Tuy nhiên các số hạng trong tổng đã biết nên ta chỉ cần áp dụng công thức tính tổng như đã nêu trong phương pháp

Lời giải:

Tổng 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

Cách 1: Tính tổng theo công thức trong phương pháp

Các số hạng liên tiếp trong tổng cách đều nhau một giá trị và trong tổng có 21 số hạng nên:

Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành những cặp số có tổng bằng nhau, ta thấy:

Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng là 42

Số cặp số là: (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 21

Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

Bài 7: Tính tổng của .

*) Phân tích:

Nhận thấy dãy số là dãy số tự nhiên cách đều. Khoảng cách giữa hai số hạng liền kề là 1. Để tính tổng ta vận dụng cả bốn phương pháp đầu đã nêu đều được cụ thể ta có các cách giải sau:

Lời giải:

Cách 1: Tổng có số số hạng là: (số hạng)

Do đó ta có thể chia thành 1010 cặp và dư 1 số hạng chẳng hạn số 2021

Cách 2:

Tổng có số số hạng là:

Tính tổng:

Cách 3: Tính

Cách 4: Trước hết ta tách số hạng đầu tiên của (là số 1) thành một hiệu trong đó có một số hạng là tích của hai số hạng liên tiếp trong tổng (một thừa số là số hạng đầu tiên 1):

Từ đó ta có thể tách các số hạng còn lại của tổng A thành các hạng tử mà khi tính tổng A các hạng tử có thể triệt tiêu hàng loạt:

Do đó:

Cách 5: Từ cách phân tích để có lời giải cách 4 trên chúng ta cũng có thể nghĩ đến trình bày bài toán theo cách sau gọn hơn:

Nhận xét: Ở cách 5 dùng phương pháp khử liên tiếp. Mỗi số hạng của A (chỉ có một thừa số ) và khoảng cách giữa hai số hạng là 1 ta đã nhân A với 2 lần khoảng cách

Bài 8: Tính tổng .

Lời giải:

Cách 1:

Ta có:

Cách 2:

Cách 3:

Bài 9: Tính tổng .

Lời giải:

Tổng có: (số hạng)

Bài 10: Tính tổng .

Lời giải:

Tổng có: (số hạng)

Bài 11: Tính tổng .

*) Phân tích:

Đây là ví dụ mà các số hạng trong tổng vừa là số nguyên, vừa là phân số. Để tìm ra quy luật của các số hạng trong tổng ta cần viết các số nguyên trong tổng dưới dạng phân số có mẫu số là 2. Khi đó ta có tổng các phân số có cùng mẫu số, và tổng các tử số chính là tổng các số tự nhiên liên tiếp

Lời giải:

Ta có:

Xét tổng là tổng của 19 số tự nhiên liên tiếp

Ta có tổng .

Bài 12: Tính tổng .

Lời giải:

Các số hạng cách đều nhau một giá trị

Tổng này có số hạng

Bài 13: Tính tổng .

Lời giải:

Các số hạng cách đều nhau một giá trị

Tổng này có số hạng

Bài 14: Tính tổng .

Lời giải:

Tổng A có (số hạng)

Bài 15: Cho .

a) Tính tổng trên.

b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên.

Lời giải:

+ Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99.

+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2

+ có số số hạng được tính bằng cách

Tổng của dãy:

b) Số hạng thứ 33 của tổng trên là :

Bài 16: Cho dãy số

a) Nêu quy luật của dãy số trên.

b) Viết tập hợp gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy số đó, bắt đầu từ số hạng thứ năm.

c) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số.

Lời giải:

Xét dãy số

a) Quy luật: Dãy số cách đều với khoảng cách 5

b)

c) Gọi số hạng thứ 100 của dãy là , ta có:

. Do vậy tổng 100 số hạng đầu của dãy là:

Bài 17: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên

a) Hỏi các chữ số đơn vị của các số đứng ở hàng thứ bao nhiêu?

b) Chữ số viết ở hàng thứ là chữ số nào?

Lời giải:

Viết liền nhau các số tự nhiên

a) 9 chữ số đầu tiên: .

44 số có hai chữ số tiếp theo: .

Chữ số hàng đơn vị của số ở hàng số:

Tương tự, chữ số hàng đơn vị của số ở hàng số ;

chữ số hàng đơn vị của số ở hàng số .

b) Ta có:

Khi đó số thứ 81 có 3 chữ số là: .

Chữ số viết ở hàng thứ là chữ số 1.

Bài 18: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Xét tổng là tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 105, các số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị

Tổng này có: số hạng

Ta có tổng

Bài 19: Tính tổng .

Lời giải:

*) Nhận xét: Như vậy tùy từng dạng bài và mức độ tiếp thu kiến thức của mỗi học sinh, thầy cô có thể vận dụng linh hoạt các phương pháp giải sao cho học trò dễ nhớ, phù hợp.

*) Mở rộng: Viết công thức tổng quát tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều sau:

Lời giải:

Bằng các cách tính tổng tương tự như bài toán 1 ta có:

Tuy nhiên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp qui nạp:

- Khi ta có: đúng.

- Giả sử bài toán đúng với , nghĩa là:

- Ta xét:

Tức là bài toán đúng với .

Vậy với mọi số tự nhiên khác , ta có:

Nhận xét: Ta có thể chứng minh bằng phương pháp qui nạp sau đó áp dụng để tính các tổng có dạng đó.

Dạng 2: Tổng có dạng

hoặc

I.Phương pháp giải

Bước 1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số ta được:

hoặc

Hoặc

Bước 2: Lấy vế với vế ta được:

Lấy vế với vế ta được:

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng .

*) Phân tích: Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với 2. Do đó nếu ta nhân 2 vào tổng thì ta có tổng với các số hạng từ 2 đến giống như trong tổng , khi đó nếu lấy số tổng trừ đi tổng thì các số hạng từ 2 đến bị triệt tiêu và tính được tổng .

Lời giải:

Ta có:

Nhân 2 vào tổng ta được

Bài 2: Tính tổng .

*) Phân tích: Kể từ số hạng thứ nhất, mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Do đó nếu ta nhân 2 vào tổng thì ta có tổng với các số hạng từ đến , giống như trong tổng , khi đó nếu lấy tổng trừ đi tổng thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu và tính được tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 2: Tính tổng .

*) Phân tích: Nhận thấy các số hạng từ đến đều có cùng tử số là 5, và kể từ số hạng thì các số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu nhân 7 vào tổng thì ta được tổng có các số hạng từ đến giống như trong tổng . Do đó nếu lấy tổng trừ đi tổng thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu, từ đó tính được tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 3: Tính tổng .

*) Phân tích: Nếu quy đồng phân số bài toán thì khá phức tạp. Nhận thấy các số đều chia hết cho 9, do đó ta sẽ phân tích các số này thành tích của 9 với một thừa số nào đó để xem có xuất hiện tổng theo quy luật hay không, từ đó có hướng tính .

Lời giải:

Ta có

Nhân 2 vào tổng ta được:

Nhân 18 vào tổng ta được:

Trừ tổng cho tổng ta được:

Bài 4: Tính tổng .

Ta có

Bài 5: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 6: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 7: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 8: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 9: Tính tổng .

*) Phân tích: là tổng của một dãy số mà các số hạng không cách đều. Nhận thấy mỗi số hạng đứng sau (kể từ số hạng thứ hai) trong tổng đều bằng số hạng đứng trước nhân với 2. Ta tính , từ đó tìm được .

Lời giải:

*) Mở rộng: Viết công thức tổng quát tính

*) Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ta có công thức tổng quát:

*) Khai thác các bài toán liên quan:

a) Viết công thức tính .

b) Chứng minh rằng: chia hết cho 2014.

Lời giải:

a) Từ kết quả bài toán mở rộng:

Từ đó ta có công thức: .

b) Nhận thấy. Với công thức đã tìm được ở câu , hơn nữa ta thấy có giá trị là số nguyên nên.

Vậy .

Bài 10: Tính tổng . Tìm chữ số tận cùng của.

* Phân tích: Với nhận xét trên ta nghĩ đến tìm ra hướng giải cho bài toán 5 như sau:

Lời giải:

+ Hướng giải 1: Nhận thấy có số hạng

Ta có

Mà có chữ số tận cùng là 4 (Vì có chữ số tận cùng là 1)

Từ và suy ra có chữ số tận cùng là 4.

+ Hướng giải 2: Ta có:

Ta thấy có chữ số tận cùng là 8

có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9.

Mà có 50 số hạng, mỗi số của là một số lẻ nên là số chẵn. Do đó có chữ số tận cùng là 4.

Dạng 3: Tổng có dạng

hoặc

I.Phương pháp giải

Bước 1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số ta được:

Hoặc

Bước 2: Lấy theo vế ta được (theo 1 và 3)

(theo 2 và 4)

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng .

*) Phân tích: Nhận thấy, kể từ số hạng thứ hai thì mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu ta nhân vào tổng , ta được tổng có các số hạng từ đến trừ cho tổng thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu và sẽ tính được tổng

Lời giải:

Ta có

Nhân vào tổng ta được:

Bài 2: Tính tổng .

*) Phân tích: Nhận thấy, kể từ số hạng thứ hai thì mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu ta nhân vào tổng , ta được tổng có các số hạng từ đến giống như trong tổng . Khi đó ta lấy tổng trừ đi tổng thì các số hạng tử đến bị triệt tiêu và sẽ tính được tổng

Lời giải:

Ta có:

Bài 3: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 4: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 5: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có:

Dạng 4: Tổng có dạng hoặc

I.Phương pháp giải

Bước 1: Nhân vào tổng ta được:

Bước 2: Lấy trừ đi tổng vế theo vế ta được:

(theo 1 và 3)

(theo 2 và 4)

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng .

*) Phân tích: Nhận thấy, kể từ số hạng thứ hai thì mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu ta nhân vào tổng S, ta được tổng có các số hạng từ . Đến giống như trong tổng . Khi đó ta lấy tổng trừ cho tổng thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu và sẽ tính được tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 2: Tính tổng .

*) Phân tích: Nhận thấy, kể từ số hạng thứ hai thì mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu ta nhân vào tổng , ta được tổng có các số hạng từ Đến giống như trong tổng . Khi đó ta lấy tổng trừ cho tổng thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu và sẽ tính được tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 3: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 4: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 5: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Vậy

Dạng 5: Tổng có dạng

hoặc .

I. Phương pháp giải

- Xét tổng , vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1 Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) ta được:

- Xét tổng

Với là tổng các số tự nhiên liên tiếp

(đã tính ở trên)

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng .

Lời giải:

Cách 1: Thực hiện phép tính:

Cách 2: Áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

Vậy .

Cách 3:

Cách 4:

Khai thác: Từ việc tính được tổng theo cách 2 hoặc 3 kết hợp với việc tính theo cách 4, ta sẽ tính được tổng các bình phương của dãy số lẻ liên tiếp. Ví dụ:

Qua đây chúng ta sẽ có hướng nghiên cứu dạng toán tính tổng các bình phương của dãy số lẻ cách đều.

Nhận xét: Qua cách giải bằng phương pháp khử liên tiếp ở bài toán 1 đã nhân hai vế của biểu thức với 1 số xác định là:

(Số các thừa số của tích ) . Khoảng cách giữa hai thừa số

Mở rộng: Viết công thức tổng quát tính:

Hướng giải: Dự đoán

Chứng minh: Dùng phương pháp quy nạp

+ Với . Vế trái: . Vế phải

Suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy bài toán đúng với .

+ Giả sử bài toán đúng với tức là ta đã có:

+ Ta phải chứng minh bài toán đúng với . Thật vậy:

Vậy

Bài 2: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Bài 3: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Dạng 6: Tổng có dạng

I. Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng ở dạng 5 là

Ta có

Với:

Trong đó tổng đã tính trong dạng 5 và tổng tính trong dạng 1

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng .

Lời giải:

Cách 1:

Cách 2:

Ta thấy:

Do đó .

Nhận xét: Theo cách 2 ta có

Mở rộng: Viết công thức tổng quát tính với mọi

a)

b)

Ta có công thức:

a)

b)

Bài 2: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Lại có

Bài 3: Tính tổng .

Lời giải:

Ta có

Trong đó

Vậy

Bài 4: Tính tổng .

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 thì ta có

Bài 5: Tính tổng .

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 thì ta có

.

Dạng 7: Tổng có dạng (k chẵn và k là số tự nhiên)

I.Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng ở dạng 5 là

*) Chú ý: Tính từ số hạng đến số hạng mà số số hạng là chẵn (tức là số số hạng của tổng là số lẻ) thì ta có thể ghép đủ cặp như trên, còn số số hạng là lẻ (tức là số số hạng của tổng là số chẵn) thì khi ghép cặp số ta còn thừa ra số hạng .

mà theo dạng 5 thì tổng

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 19 số hạng nên ta thêm số hạng ta được tổng có 20 số hạng và ghép được đủ 10 cặp số

Ta có

, theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 2: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 49 số hạng nên ta thêm số hạng ta được tổng có 50 số hạng và ghép được đủ 25 cặp số

Ta có

, theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 3: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 99 số hạng nên ta thêm số hạng ta được tổng có 100 số hạng và ghép được đủ 50 cặp số

Ta có

, theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 4: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 23 số hạng nên ta thêm số hạng ta được tổng có 24 số hạng và ghép được đủ 12 cặp số

Ta có

, theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 5: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 57 số hạng nên ta thêm số hạng ta được tổng có 58 số hạng, và ghép được đủ 29 cặp số

Ta có

, theo dạng 5 ta có:

Vậy

Bài 6: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 41 số hạng nên ta thêm số hạng ta được tổng có 42 số hạng, và ghép được đủ 21 cặp số

Ta có

, theo dạng 5 ta có:

Vậy

Bài 7: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 101 số hạng nên ta thêm số hạng ta được tổng có 102 số hạng, và ghép được đủ 51 cặp số

Ta có

, theo dạng 5 ta có:

Vậy

Bài 8: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 41 số hạng nên ta thêm số hạng ta được tổng có 42 số hạng, và ghép được đủ 21 cặp số

Ta có

, theo dạng 5 ta có:

Vậy

Bài 9: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 99 số hạng, nên khi thêm số hạng ta được tổng có 100 số hạng, và ghép được đủ 50 cặp số

Theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 10: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

Tổng này có 2009 số hạng, nên khi thêm số hạng ta được tổng có 2010 số hạng, và ghép được đủ 1005 cặp số

Theo dạng 5 ta có

Vậy

Dạng 8: Tổng có dạng ( là số tự nhiên lẻ )

I.Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng ở dạng 5 là

theo dạng 5 ta có

Áp dụng tính: xét

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 2: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 3: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 4: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 5: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 6: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

mà theo dạng 5 ta có

Vậy

Bài 7: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

theo dạng 5 ta có:

Vậy

Bài 8: Tính tổng

Lời giải:

Áp dụng tổng

theo dạng 5 ta có:

Vậy

Bài 9: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Áp dụng tổng

theo dạng 5 ta có

Áp dụng tổng

Theo dạng 5 ta có

Khi đó

Vậy

Bài 10: Biết .Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Dạng 9: Tổng có dạng Với

I. Phương pháp giải

- Với

Tổng , tính theo dạng 6 và 7

, tính theo dạng 1

- Với

Nhân cả 2 vế với rồi tách ở mỗi số hạng để tạo thành các số hạng mới tự triệt tiêu.

II. Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Lời giải:

Ta có:

Đặt

Ta có tổng B có dạng

Với , ta có

Vậy

Bài 2: Tính tổng

Lời giải:

Ta có:

Đặt

Ta có tổng B có dạng

Với , ta có

Vậy

Bài 3: Tính tổng

Lời giải:

Ta có:

Đặt

Ta có tổng B có dạng

Với , ta có

Vậy

Bài 4: Tính tổng

Lời giải:

Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 3, nhân cả 2 vế với 9 ta được:

Vậy

Bài 5: Tính tổng

Lời giải:

Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 3, nhân cả 2 vế với 9 ta được:

Vậy

Bài 6: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Đặt

Tổng có dạng

Với

Vậy

Bài 7: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Đặt

Tổng B có dạng

Với

Vậy

Bài 8: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Đặt

Tổng B có dạng

Với

Vậy

Bài 9: Tính tổng

Lời giải:

Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 4 (trừ ra số hạng cuối cùng)

Nhân cả 2 vế với 12 ta được

Vậy

Dạng 10: Tính tổng có dạng

I.Phương pháp giải

Nhân cả hai vê với , rồi tách ở mỗi số hạng trong tổng để số hạng trước và số hạng sau tạo thành những số tự triệt tiêu nhau

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Lời giải:

Ta có khoảng cách giữa các thừa số bằng 1, nên nhân cả 2 vế với 4 ta được:

Vậy

Bài 2: Tính tổng

Lời giải:

Ta có khoảng cách giữa các thừa số bằng 1, nên nhân cả 2 vế với 4 ta được:

Vậy

Bài 3: Tính tổng

Lời giải:

Ta có khoảng cách giữa các thừa số bằng 1, nên nhân cả 2 vế với 4 ta được:

Vậy

Bài 4: Tính tổng

Lời giải:

Ta có khoảng cách giữa các thừa số bằng 2, nên nhân cả 2 vế với 8 ta được:

Chia cả 2 vế cho 8 ta được:

Vậy

Bài 5: Tính tổng

Lời giải:

Ta có khoảng cách giữa các thừa số bằng 2, nên nhân cả 2 vế với 8 ta được:

Chia cả 2 vế cho 8 ta được:

Vậy

Bài 6: Tính tổng

Lời giải:

Nhân hai vế với 5 ta được

Vậy

Dạng 11: Tính tổng có dạng

I.Phương pháp giải

- Với thì

- Với thì

- Với dạng toán phức tạp hơn như:

1) Nếu số hạng có dạng , thì ta dùng công thức

để viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số

2) Nếu số hạng có dạng thì ta dùng công thức

sau đó áp dụng tiếp công thức trong phần 1.

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 2: Tính tổng

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 3: Tính tổng

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 4: Tính tổng

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 5: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 6: Tính tổng

Lời giải:

Xét

Vậy

Bài 7: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 8: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 9: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 10: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 11: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 12: Tính tỉ số biết

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 13: Tính tỉ số biết

Lời giải:

Ta có

.

Vậy

Bài 14: Tính tỉ số biết

Lời giải:

Ta có

.

Vậy

Bài 15: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Xét

Khi đó

Vậy

Dạng 12: Tính tổng có dạng Với

I.Phương pháp giải

Áp dụng tổng

Trong mỗi số hạng, tách thừa số đầu và thừa số sau theo tổng và hiệu của thừa số giữa với 1.

Áp dụng công thức để nhân các số sau khi tách

Ta có:

Theo dạng 10 ta tính được

Theo dạng 1 ta tính được

Vậy

II.Bài toán

Bài 1: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Theo dạng 10 ta tính được

Khi đó

Vậy

Bài 2: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 3: Tính tổng

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 4: Tính tổng

Lời giải:

Ta có :

Vậy

Bài 5: Tính tổng

Lời giải:

Ta có :

Vậy

Bài 6: Tính tổng

Lời giải:

Ta có :

Vậy

PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Tính

( Đề khảo sát HSG toán 6 huyện Yên Mô năm học 2020 - 2021)

Lời giải:

Ta có

Vậy

Bài 2: Tính

Lời giải:

Từ 1 đến 50 có số số hạng là (số hạng)

Vậy

Bài 3: Tính

( Đề khảo sát HSG toán 6 Quận Hà Đông năm học 2020 - 2021)

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 4: Tính

( Đề khảo sát HSG toán 6 Nam Trực năm học 2020 - 2021)

Lời giải:

Ta có:

Vậy

Bài 5: Tính

( Đề khảo sát HSG toán 6 Yên Định năm học 2020 - 2021)

Lời giải:

Ta có

Vậy