Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHỦ ĐỀ 6. HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
• Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (h.6.1).
• Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau (h.6.2).
Hình 6.1 Hình 6.2
2. Tính chất
* Trong hình thoi:
• Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau;
• Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi;
* Hình vuông có đủ các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
3. Dấu hiệu nhận biết
* Nhận biết hình thoi:
• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;
• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi;
• Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
* Nhận biết hình vuông:
• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông;
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông;
• Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông;
• Hình thoi có một góc vuông là hình vuông;
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
I. MỘT SỐ VÍ DỤ.
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD, độ dài mỗi cạnh là 13cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ OH ⊥ AD. Biết OH = 6cm, tính tỉ số của hai đường chéo BD và AC.
Giải
* Tìm cách giải
Vẽ thêm BK ⊥ AD để dùng định lí đường trung bình của tam giác, định lí Py-ta-go tính bình phương độ dài của mỗi đường chéo.
* Trình bày lời giải
Vẽ BK ⊥ AD.
Xét ΔBKD có OH // BK (vì cùng vuông góc với AD) và OB = OD nên KH = HD.
Vậy OH là đường trung bình của ΔBKD.
Suy ra do đó BK = 12cm.
Xét ΔABK vuông tại K có AK2 = AB2 – BK2 = 132 – 122 = 25 ⇒ AK = 5cm do đó KD = 8cm.
Xét ΔBKD vuông tại K có BD2 = BK2 + KD2 = 122 + 82 = 208.
Xét ΔAOH vuông tại H có OA2 = OH2 + AH2 = 62 + 92 = 117.
Do đó
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi.
Giải
* Tìm cách giải
Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được tứ giác DNGM là hình bình hành. Sau đó chứng minh hai cạnh kề bằng nhau.
* Trình bày lời giải
ΔABE = ΔACF (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ AE = AF và BE = CF.
Vì H là trực tâm của ΔABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.
Xét ΔEBC có GN // BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC.
Chứng minh tương tự ta được MF = MB.
Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nên tứ giác DNGM là hình bình hành.
Mặt khác, DM = DN (cùng bằng của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi.
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên đường chéo AC. Vẽ ME ⊥ AD, MF ⊥ CD và MH ⊥ EF. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên AC thì đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định.
Giải
* Tìm cách giải
Vẽ hình chính xác ta thấy đường thẳng MH đi qua một điểm cố định là điểm B. Vì thế ta sẽ chứng minh ba điểm H, M, B thẳng hàng bằng cách chứng minh
* Trình bày lời giải
Gọi N là giao điểm của đường thẳng EM với BC.
Khi đó BN = AE; AE = ME (vì ΔAEM vuông cân) suy ra BN = ME.
Chứng minh tương tự ta được MN = MF.
Nối MB ta được ΔBMN = ΔEFM (c.g.c).
Suy ra do đó
Từ đó ba điểm H, M, B thẳng hàng.
Vậy đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định là điểm B.
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho chu vi các tam giác CMN bằng 2a. Chứng minh rằng góc MAN có số đo không đổi.
Giải
* Tìm cách giải
Vẽ hình chính xác ta luôn thấy Vì vậy ta vẽ hình phụ tạo ra góc 90o rồi chứng minh bằng nửa góc vuông đó.
* Trình bày lời giải
Trên tia đối của tia DC lấy điểm E sao cho DE = BM.
ΔBAM = ΔDAE (c.g.c) suy ra AM = AE và
Ta có
hay
Theo đề bài, CM + CN + MN = 2a mà CM + CN + MB + ND = 2a
nên MN = MB + ND hay MN = DE + ND = EN.
ΔMAN = ΔEAN (c.c.c)
Vậy góc MAN có số đo không đổi.
Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Qua N vẽ một đường thẳng vuông góc với MP cắt AD tại Q. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
Giải
* Tìm cách giải
Từ giả thiết ta nghĩ đến việc chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra bốn cạnh của tứ giác MNPQ bằng nhau, ta được tứ giác này là hình thoi. Sau đó chứng minh hai đường chéo bằng nhau để được hình vuông.
* Trình bày lời giải
Vẽ ME ⊥ CD, NF ⊥ AD.
Gọi O là giao điểm của ME và NF.
Ta có AB = BC = CD = DA mà AM = BN = CP nên BM = CN = DP.
Dễ thấy tứ giác AMOF là hình vuông.
ΔEMP và ΔFNQ có:
ME = NF (bằng cạnh hình vuông);
(hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
⇒ ΔEMP = ΔFNQ (g.c.g) ⇒ MP = NQ và EP = FQ.
Ta có DE = AM = AF ⇒ DP = AQ do đó DQ = CP.
Các tam giác BNM, CPN, DQP và AMQ bằng nhau suy ra MN = NP = PQ = QM.
Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi. Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.
II. LUYỆN TẬP
• Hình thoi
• Hình vuông
a) Ba đường thẳng AH, DE và FG đồng quy;
b) Ba đường thẳng AH, BF và CD đồng quy.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới