Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHỦ ĐỀ 5. HÌNH CHỮ NHẬT.
TÍNH CHẤT CỦA CÁC ĐIỂM CÁCH ĐỀU
MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.
A. LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông (h.5.1)
Hình 5.1 Hình 5.2
2. Tính chất
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (h.5.2).
3. Dấu hiệu nhận biết
• Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật;
• Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật;
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật;
• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
4. Áp dụng vào tam giác (h.5.3)
ΔABC: MB = MC
Hình 5.3
5. Tính chất các điểm cách đều một đường thẳng cho trước (h.5.4)
Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.
Hình 5.4
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
I. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy một điểm M. Trên tia AM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của N trên đường thẳng BC và CD. Chứng minh rằng ba điểm M, E, F thẳng hàng.
Giải
* Tìm cách giải
Xét ΔCAN, đường thẳng EF đi qua trung điểm của CN, muốn cho EF đi qua trung điểm M của AN ta cần chứng minh EF // AC.
* Trình bày lời giải
Tứ giác ENFC có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AC và BD và K là giao điểm của EF và CN.
Theo tính chất hình chữ nhật ta có:
OA = OB = OC = OD; KC = KN = KE = FF.
Xét ΔCAN có OM là đường trung bình nên OM // CN, đo đó BD // CN.
ΔOCD, ΔKCF cân, suy ra
Mặt khác, (cặp góc đồng vị) nên
Suy ra AC // EF.
Xét ΔCAN có đường thẳng EF đi qua trung điểm K của CN và EF // AC nên EF đi qua trung điểm của AN, tức là đi qua M. Vậy ba điểm M, E, F thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN. Chứng minh rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật.
Giải
* Tìm cách giải
Dễ thấy tứ giác AKDH có hai góc vuông là nên chỉ cần chứng minh tứ giác này có một góc vuông nữa là thành hình chữ nhật.
* Trình bày lời giải
ΔABC cân tại A, AH là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, đường phân giác.
Do đó và
Ta có AH // DN (vì cùng vuông góc với BC)
(cặp góc đồng vị); (cặp góc so le trong).
Do đó (vì
Vậy ΔAMN cân tại A mà AK là đường trung tuyến nên AK cũng là đường cao,
Tứ giác AKDH có nên nó là hình chữ nhật.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh huyền BC lấy điểm D. Vẽ DH ⊥ AB, DK ⊥ AC. Biết AB = a, tính giá trị lớn nhất của tích DH . DK.
Giải
* Tìm cách giải
Ta thấy DH + DK = AB (không đổi). Dựa vào các hằng đẳng thức ta có thể tìm được mối quan hệ giữa tích DH . DK với tổng DH + DK. Mối quan hệ này được biểu diễn như sau:
Ta có (x – y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔ x2 + y2 + 2xy ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy
* Trình bày lời giải
Tứ giác AHDK có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Tam giác HBD có nên là tam giác vuông cân. Ta đặt DH = x, DK = y thì HB = x, AH = y và x + y = a.
Ta có (không đổi).
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y ⇔ D là trung điểm của BC.
Vậy giá trị lớn nhất của tích DH . DK là khi D là trung điểm của BC.
Ví dụ 4. Cho hình thang ABCD, Trên cạnh AD có một điểm H mà AH < DH và Chứng minh rằng trên cạnh AD còn một điểm K sao cho
Giải
* Tìm cách giải
Giả sử đã chứng minh được thì ΔBHC và Δ BKC là hai tam giác vuông chung cạnh huyền BC nên hai đường trung tuyến ứng với BC phải bằng nhau. Do đó cần chứng minh hai đường trung tuyến này bằng nhau.
* Trình bày lời giải
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khi đó MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra MN // AB
⇒ MN ⊥ AD (vì AB ⊥ AD).
Trên cạnh AD lấy điểm K sao cho DK = AH ⇒ MK = MH.
ΔNHK có NM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân ⇒ KN = HN.
Xét ΔHBC vuông tại H có (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Suy ra (vì KN = HN).
Do đó ΔKBC vuông tại K
Ví dụ 5. Cho đường thẳng xy. Một điểm A cố định nằm ngoài xy và một điểm B di động trên xy. Gọi O là trung điểm của AB. Hỏi điểm O di động trên đường nào?
Giải
Vẽ AH ⊥ xy, OK ⊥ xy.
Ta có AH là một đoạn thẳng cố định.
Xét ΔABH có OK // AH và OA = OB nên KH = KB.
Vậy OK là đường trung bình suy ra (không đổi).
Điểm O cách đường thẳng xy cho trước một khoảng không đổi là nên điểm O di động trên đường thẳng a // xy và cách xy là (đường thẳng a và điểm A cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ xy).
II. LUYỆN TẬP.
• Tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật
• Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông
• Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới