Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHỦ ĐỀ 4: CHIA ĐƠN THỨC, ĐA THỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Chia đơn thức cho đơn thức
* Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :
+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
* Với mọi x ≠ 0, m, n ∈ N ta có :
xm : xn = xm-n (nếu m > n)
xm : xn = 1 (nếu m = n)
(xm)n = xm.n
x0 = 1 ; 1n = 1
(-x)n = xn nếu n là một số chẵn
(-x)n = -xn nếu n là số lẻ
(x – y)2 = (y – x)2
(x – y)n = (y – x)n với n là số chẵn
2. Chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
3. Định lý Bezout
Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a là f(a)
Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0
Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức.
a) 10x3y2z : (-4xy2z) f) (−35xy5z) : (−12xy4)
b) 32x2y3z4 : 14y2z g) x3y4 : x3y
c) 25x4y5z3 : (-3xy2z) h) 18x2y2z : 6xyz
d) 5x3y2z : (-2xyz) i) 27x4y2z : 9x4y
e) (-12x5y4) : (-4x2y) k) 5x3y : 23xy
Bài toán 2 : Thực hiện phép tính.
a) (4x5 – 8x3) : (-2x3)
b) (9x3 – 12x2 + 3x) : (-3x)
c) (xy2 + 4x2y3 – 3x3y4) : (-2xy2)
d) (-3x2y3 + 4x3y4 – y4y5) : (-x2y3)
e) [2(x – y)3 – 7(y – x)2 – (y – x)] : (x – y)
f) [3(x – y)5 – 2(x – y)4 + 3(x – y)2] : [5(x – y)2]
Bài toán 3 : Thực hiện phép chia.
a) (2x3 – 5x2 – x + 1) : (2x + 1)
b) (x3 – 2x + 4) : (x + 2)
c) (6x3 – 19x2 + 23x – 12) : (2x – 3)
d) (x4 – 2x3 – 1 + 2x) : (x2 – 1)
e) (6x3 – 5x2 + 4x – 1) : (2x2 – x + 1)
f) (x4 – 5x2 + 4) : (x2 – 3x + 2)
g) ( x3 – 2x2 – 5x + 6 ) : ( x + 2 )
h) ( x3 – 2x2 + 5x + 8) : ( x + 1 )
Phương pháp giải :
Từ điều kiện đề bài trên, ta đặt phép chia A : B được kết quả là thương Q và dư R.
Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết.
a) A = x4 + 3x3 + 2x2 – x – 4 và B = x2 – 2x + 3
b) A = 2x3 – 3x2 + 6x – 4 và B = x2 – x + 3
c) A = 2x4 + x3 + 3x2 + 4x + 9 và B = x2 + 1
d) A = 2x3 – 11x2 + 19x – 6 và B = x2 – 3x + 1
e) A = 2x4 – x3 – x2 – x + 1 và B = x2 + 1
I/ Phương pháp giải:
* Thực hiện phép chia A : B để tìm biểu thức dư R theo m
Để A chia hết cho B thì R = 0 => m =
* Tìm số nguyên n để A chia hết cho B (với A , B là các biểu thức theo n)
- Thực hiện A : B tìm số dư là số nguyên k, thương là biểu thức Q
- Viết A = Q.B + k
- Để A chia hết cho B ⬄ k chia hết cho B ⬄ B là Ư(k) => n =
II/ Các ví dụ.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n3 – 4n2 – n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1.
Giải
Thực hiện phép chia 4n3 – 4n2 – n + 4 cho 2n + 1, ta được :
4n3 – 4n2 – n + 4 = (2n + 1).(n2 + 1) + 3
Từ đó, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n + 1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n + 1 là ước của 3, ta được :
2n + 1 = 3 n = 1
2n + 1 = 1 n = 0
2n + 1 = -3 n = -2
2n + 1 = -1 n = -1
Vậy n = 1, n = 0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 2: Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết
A = 8x2 – 26x + m và B = 2x – 3
Giải
A : B được thương là 4x – 7 và số dư là m – 21
Để A chia hết cho B thì m – 21 = 0 ⬄ m = 21
III/ Vận dụng.
Bài toán 5: Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết.
b) A = x3 + 4x2 + 4x + m và B = x + 3
c) A = x3 – 13x + m và B = x2 + 4x + 3
d) A = x4 + 5x3 – x2 – 17x + m + 4 và B = x2 + 2x – 3
e) A = 2x4 + mx3 – mx – 2 và B = x2 – 1
Bài toán 6 : Cho các đa thức sau:
A = x3 + 4×2 + 3x – 7 B = x + 4
a) Tính A : B
b) Tìm x ∈ Z sao cho A chia hết cho B
Bài toán 7 : Tìm x, biết.
a) (8x2 – 4x) : (-4x) – (x + 2) = 8
b) (2x4 – 3x3 + x2) : (-x2) + 4(x – 1)2 = 0
Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B biết.
a) A = 8n2 – 4n + 1 và B = 2n + 1
b) A = 3n3 + 8n2 – 15n + 6 và B = 3n – 1
c) A = 4n3 – 2n2 – 6n + 5 và B = 2n – 1
Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a là f(a)
Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0
Bài toán 9 : Không làm phép chia hãy tìm số dư khi :
a) Khi f(x) = x3 + 2x2 – 4x + 3 chia cho x – 2
b) Khi f(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 chia cho x + 1
c) Khi f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 5 chia cho x – 2
d) Khi f(x) = x27 + x9 + x3 + x chia cho x – 1
Bài toán 10 : Chứng minh :
a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1
b) x2012 + x2008 + 1 chia hết cho x2 + x + 1
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1
CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
a) b) c)
d) e) f)
a) b) c)
d) e)
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
k) l)
a) b) c)
d) e)
a) b)
c) d)
e)
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2
CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
a) b)
c) d)
e)
a)
b)
c)
d)
a)
b)
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
ĐS: a)
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
Bài 7: Cho biết đa thức chia hết cho đa thức . Tìm đa thức thương:
a) , ĐS:
b) , ĐS:
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:
.
ĐS: .
Bài 9: Với giá trị nào của a và b thì đa thức chia hết cho đa thức .
ĐS: .
Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) b) c)
d) e)
Bài 11: Tìm các giá trị a, b, k để đa thức chia hết cho đa thức :
a) , . ĐS: .
b) , . ĐS: .
Bài 13: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức chia hết cho nhị thức .
ĐS: .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới