Chuyên đề bài tập trắc nghiệm nguyên hàm tích phân và ứng dụng
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
Blank Page
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Chủ đề III
Vấn đề cần nắm:
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản
II. Hai phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm
III. Khái niệm và tính chất cơ bản tích phân
IV. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân
V. Ứng dụng hình học của tích phân
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên K. Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K nếu với mọi x thuộc K. |
Định lý 1
1. Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì với mỗi hằng số C, hàm cũng là một nguyên hàm của hàm trên K. 2. Đảo lại nếu và là hai nguyên hàm của hàm số trên K thì tồn tại hằng số C sao cho . |
Định lý 2
STUDY TIP
Từ định nghĩa nguyên hàm ta có được:
Nếu là một nguyên hàm của trên K thì mọi nguyên hàm của trên K đều có dạng , với C là một hằng số. |
Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.”
Từ hai định lý trên ta có
- Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì là họ tất cả các nguyên hàm của trên K. Kí hiệu
Chú ý
Biểu thức chính là vi phân của nguyên hàm của , vì
.
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
Tính chất 2
Từ đây ta suy ra hệ quả
Với ta có
Tính chất 3
II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 3
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên K và hàm số liên tục sao cho hàm hợp xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì |
STUDY TIP
Với phương pháp đổi biến ta cần chú trọng công thức mà suy ra từ định lý như sau:
Nếu , khi đó
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm . |
Lời giải
Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng .
Mà , do vậy
.
Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến.
Nếu tính nguyên hàm theo biến mới thì sau khi tính nguyên hàm xong, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi .
Dạng 2: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất x% = r mỗi tháng theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng. Tính số tiền cả gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn. |
Từ “STUDY TIP” ở bên ta thấy đưa về một ghi nhớ quan trọng: Trong cùng một kỳ hạn, lãi suất sẽ giống nhau mà không được cộng dồn vào vốn để tính lãi kép. Ví dụ kỳ hạn là 3 tháng thì lãi suất tháng 1 là ar, tháng 2, tháng 3 cũng là ar, sau hết kỳ hạn 3 tháng mà không rút ra thì số tiền lãi một kỳ hạn sẽ được cộng dồn vào tiền gốc.
Lời giải tổng quát
1. Đặt . 2. Biến đổi x và dx về u và du. 3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp , sau đó thay biến x vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả. |
Ta đến với ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm . |
Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp hơn là . Do vậy ta sẽ đặt để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng gợi ý các bước trên.
Lời giải
Đặt
ta có
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Định lý 4
Đẳng thức trong định lý 4 còn dc viết dưới dạng
Chú ý
Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì |
Nếu nguyên hàm có dạng thì ta có thể nghĩ đến phương pháp nguyên hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm .
Hàm dưới dấu tích phân | Cách đặt |
là đa thức, là hàm lượng giác |
|
là đa thức, |
|
là đa thức, |
|
là hàm lượng giác, |
|
là đa thức, |
|
là đa thức, , là các hàm lượng giác |
|
Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “Tìm ” thì ba bạn Huyền, Lê và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau
Bạn Huyền giải bằng phương pháp đổi biến số như sau: “Đặt , ta có: Vậy ” | Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần như sau: “Đặt . Ta có . Công thức nguyên hàm từng phần cho ta Giả sử F là một nguyên hàm của . Theo đẳng thức trên ta có . Suy ra . Điều này chứng tỏ là một nguyên hàm của . Vậy .” | Bạn Minh Hằng chưa học đến hai phương pháp trên nên làm như sau: “ ”. |
Kết luận nào sau đây là đúng?
STUDY TIP
Bài toán củng cố về định lý 1 đã nêu ở trên, và củng cố các cách giải nguyên hàm cơ bản.
A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai
B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng.
C. Ba bạn đều giải sai.
D. Ba bạn đều giải đúng.
Đáp án D.
Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích ở lời giải sau
Lời giải
Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số ; và đều là nguyên hàm của do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy ;
.
3. Bảng một số nguyên hàm mở rộng
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Các dạng toán về nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số trên . |
Các bài toán ở dạng 1 thì chỉ yêu cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm cơ bản thường gặp. Chú ý với các nguyên hàm hàm hợp để áp dụng đúng công thức!
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số . A. B. C. D. |
Đáp án B.
STUDY TIP
.
Lời giải
Ta có
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số . A. B. C. D. |
Đáp án A.
Lời giải
Ta có
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số . A. B. C. D. |
Đáp án B.
Lời giải
Ta có .
Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số là A. B. C. D. |
Đáp án D.
Lời giải
Đặt thì .
Khi đó
.
Thay ta được
STUDY TIP
Ở đây xuất hiện tích của nên ta áp dụng nguyên hàm từng phần.
Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số là A. B. C. D. |
Đáp án B.
Lời giải
Ta có . Đặt
Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có
.
Dạng 2: Chứng minh là một nguyên hàm của hàm trên . |
Sai lầm thường gặp là không biết cách đạo hàm hàm hợp. Ở đây ta cần đạo hàm như sau:
với lần lượt như thế ta sẽ ra được kết quả như bên.
Chú ý
Ví dụ 1: Cho . Hỏi là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. B. C. D. |
Đáp án D.
Lời giải
Để tìm là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo hàm từ đó suy ra .
Ta có
.
STUDY TIP
Công thức cần nhớ:
Ví dụ 2: Cho . Hỏi là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. B. C. D. |
Đáp án A.
Lời giải
Cách 1: Ta có
Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).
Áp dụng công thức trên ta có ngay .
Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc. |
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . A. B. C. D. |
Đáp án D.
Với các bài toán đơn giải như ở ví dụ 1, ta chỉ đi tìm nguyên hàm như thông thường, sau đó dùng điều kiện ràng buộc có sẵn để tìm hằng số C.
Lời giải
Ta có .
Do nên .
Vậy hàm số cần tìm là .
Ví dụ 2: Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. B. C. D. |
Đáp án A.
STUDY TIP
Rõ ràng trong bài toán này, việc sử dụng công thức nguyên hàm từng phần sẽ mang lại kết quả nhanh hơn. Do có sự xuất hiện của tích hai phần tử, nếu sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ xuất hiện ngay và kết hợp dữ kiện đề bài sẽ có ngay đáp án.
Lời giải
Ta có
Do nên . Vậy .
Ví dụ 3: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số ? A. B. C. D. |
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm .
Từ giả thiết, ta có
Suy ra .
Vậy
Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: . |
Ta có
Từ giả thiết: .
Vậy .
Ví dụ 4: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số . A. B. C. D. |
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm .
Từ giả thiết, ta có
.
Suy ra .
Vậy .
Đặt .
.
Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.
Ta có
Từ giả thiết:
.
Vậy .
Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để là một nguyên hàm của . |
Với các bài toán dạng này ta chỉ cần tìm đạo hàm của sau đó cho và sau đó sử dụng hệ số bất định để tìm giá trị của tham số.
Ví dụ 1: Tìm a, b, c, d để là một nguyên hàm của . A. B. C. D. |
Đáp án B.
Lời giải
Ta có
IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm
Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc biệt
Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, phương. |
Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K.
Với các bài toán dạng này ta chỉ cần tìm đạo hàm của sau đó cho và sau đó sử dụng hệ số bất định để tìm giá trị của tham số.
Lúc này ta có bảng sau:
Dạng | Cấu trúc hàm số | Nguyên hàm |
Tổng | ||
Hiệu | ||
Tích | ||
Phương |
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số là: A. B. C. D. |
Đáp án A.
Lời giải
Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải bài toán bằng bảng ở trên như sau:
Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số là A. B. C. D. |
Đáp án D.
Lời giải
Ta có
.
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số với . A. B. C. D. |
Đáp án C.
Lời giải
Ta có
Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa hàm . |
Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa .
Đặc trưng | Nguyên hàm | Hàm số (đạo hàm) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số là A. B. C. D. |
Đáp án D.
Lời giải
Ta có
Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số A. B. C. D. |
Đáp án B.
Lời giải
Ta có
là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Tương tự với hai nhận dạng còn lại, quý độc giả có thể áp dụng vào các bài toán phức tạp hơn.
Ví dụ 3: Nguyên hàm của hàm số là A. B. C. D. |
Đáp án A.
Lời giải
Ta có là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Nguyên hàm một số hàm lượng giác
a. Dạng trong đó m, n là các số tự nhiên. |
Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.
Lũy thừa của là số lẻ, thì đổi biến | Lũy thừa của là số lẻ, thì đổi biến |
|
|
Ví dụ 1: Tìm . |
Lời giải
Vì lũy thừa của là số lẻ nên ta đổi biến .
.
Trường hợp 2: Cả hai số m ,n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.
b. Dạng . |
Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.
c. Dạng trong đó m, n là các số nguyên. |
Lũy thừa của là số nguyên dương chẵn, thì ta đổi biến | Lũy thừa của là số nguyên dương lẻ, thì ta đổi biến |
| Khi đó , do đó
|
Tương tự với hai nhận dạng còn lại, quý độc giả có thể áp dụng vào các bài toán phức tạp hơn.
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm a. b. |
Lời giải
a. Do lũy thừa của là số nguyên dương chẵn nên đặt . Từ công thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có
.
b. Do lũy thừa của là một số lẻ nên ta đặt , do vậy, từ công thức tổng quát chứng minh ở trên ta có
.
Đổi biến lượng giác
Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:
Biểu thức có chứa | Đổi biến |
| Hoặc |
|
Hoặc |
|
Hoặc |
|
|
|
|
Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
STUDY TIP
Kí hiệu là bậc của đa thức .
Cho hàm số có dạng trong đó P và Q là các đa thức, và P không chia hết cho Q.
Hàm được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu .
Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho mẫu thức để được
,
Khi đó, sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự.
Định lý: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức đơn giản hơn.
Đó là các biểu thức có dạng là các hàm số có thể tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta dùng phương pháp hệ số bất định.
a. Trường hợp phương trình không có nghiệm phức và các nghiệm đều là nghiệm đơn. |
(Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức ).
Trong trường hợp này, g có thể biểu diễn dưới dạng
Sau khi biểu diễn được về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.
Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số là A. B. C. D. |
Phân tích
Đáp án B.
Ta có
Khi đó , đồng nhất hệ số thì ta được
Kiểm tra khả năng vận dụng từ ví dụ 3
Tìm
Lời giải
Ta có
Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:
|
b. Trường hợp không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là nghiệm bội. |
Nếu phương trình có các nghiệm thực trong đó là nghiệm bội k thì ta phân tích về dạng
Trên đây là phần lý thuyết khá phức tạp, ta đến với bài tập ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số A. B. C. D. |
Phân tích
Nhận thấy là nghiệm bội ba của phương trình , do đó ta biến đổi
Từ đây ta có
Kiểm tra khả năng vận dụng từ ví dụ 4
Tìm
Lời giải
Ta có
Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng ví dụ 4:
|
TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự được đưa về các dạng nguyên hàm sau:
1. 2. |
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Câu 1: Tìm nguyên hàm .
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Tìm nguyên hàm .
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Tìm nguyên hàm
A.
B.
C.
D.
Câu 4: Cho là các hàm số liên tục trên . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. với k là hằng số
B.
C.
D.
Câu 5: Nguyên hàm của hàm số là:
A. B.
C. D.
Câu 6: Tìm một nguyên hàm của hàm số biết .
A.
B.
C.
D.
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:
.
A.
B.
C.
D.
Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số , biết .
A.
B.
C.
D.
Câu 12: Tìm nguyên hàm
A. B.
C. D.
Câu 13: Cho hàm số . Gọi là một nguyên hàm của . Chọn phương án sai.
A.
B.
C.
D.
Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 20: Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tìm.
A. B.
C. D.
Câu 21: Biết là nguyên hàm của và . Khi đó giá trị bằng
A. B.
C. D.
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số
là:
A.
B.
C.
D.
Câu 23: Tìm nguyên hàm biết .
A.
B.
C.
D.
.
Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1: Đáp án A.
Đặt ;
Lúc này ta có
Câu 2: Đáp án C.
Đặt
Khi đó
Câu 3: Đáp án D.
Đặt .
Khi đó
Câu 4: Đáp án C.
Câu 5: Đáp án D.
Ta có
Câu 6: Đáp án A.
Ta có
Mà
Câu 7: Đáp án A.
.
Câu 8: Đáp án C.
Ta có
Câu 9: Đáp án C.
Câu 10: Đáp án A.
Câu 11: Đáp án C.
Mà , ta chọn C.
Câu 12: Đáp án D.
Ta có
Áp dụng vào bài ta chọn D.
Câu 13: Đáp án B.
Ta có
Từ đây ta thấy A đúng.
Với B ta thấy
, B sai.
Câu 14: Đáp án A.
Ta có
(áp dụng bảng ở lý thuyết).
Câu 15: Đáp án C.
Ta có
Câu 16: Đáp án B.
Ta có
Câu 17: Đáp án A.
(Áp dụng công thức )
Câu 18: Đáp án D.
Ta có
Câu 19: Đáp án A.
Ta có
Câu 20: Đáp án C.
Câu 21: Đáp án A.
Ta có
Mà .
Do đó .
Câu 22: Đáp án C.
Câu 23: Đáp án D.
V. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân
Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa tích phân chỉ được áp dụng khi biết một nguyên hàm của trên đoạn .
2. Tích phân là một số, còn nguyên hàm là một (họ) hàm số (nó còn được gọi là tích phân không xác định).
3. không phụ thuộc vào chữ viết biến số trong dấu tích phân, mà chỉ phụ thuộc vào hàm số f và đoạn .
Chú ý
Cho hàm số là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn . Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là . Vậy . |
2. Nhận xét
a. Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t. b. Ý nghĩa hình học của tích phân. Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn , thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục Ox và hai đường thẳng . Vậy . |
3. Các tính chất của tích phân
Tính chất 1
với k là hằng số.
Ta quy ước ;
Tính chất 2
Tính chất 3
với .
Định lý 1
Cho f là hàm số xác định trên K và a là một điểm cố định thuộc K. Xét hàm số xác định trên K bởi công thức
Khi đó G là một nguyên hàm của f. |
Định lý 2
Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên .
1. Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó 2. Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó . |
Đọc thêm
Ta vừa đưa ra 3 tính chất của tích phân theo chương trình chuẩn. Dưới đây là các tính chất bổ sung:
1. 2. 3. Nếu thì . Hệ quả 3: Nếu hai hàm số và liên tục và thỏa mãn thì Chú ý: Nếu liên tục và dương trên thì . 4. . 5. Nếu là các hằng số thì hay .
|
VI. Hai phương pháp cơ bản để tìm tích phân
1. Phương pháo đổi biến số
Định lý 1
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi . Khi đó
|
Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt , ta xác định đoạn sao cho và , ; 2. Biến đổi 3. Tìm một nguyên hàm của 4. Tính 5. Kết luận . |
Ví dụ 1: Tính tích phân ? A. B. C. D. |
Đáp án D.
Lời giải
Đặt .
Đổi cận
Khi đó
Định lý 2
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Nếu hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và với mọi sao cho liên tục trên đoạn thì
|
Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt , 2. Biến đổi . 3. Tìm một nguyên hàm của . 4. Tính . 5. Kết luận |
Ví dụ 2: Tính tích phân A. B. C. D. |
Đáp án B.
Lời giải
Đặt , ta có
.
Hàm số do có nguyên hàm .
Vậy .
2. Phương pháp tích phân từng phần
Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau:
Định lý
Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thì hay |
Ta có bảng sau
Trong thực tế, đôi khi việc sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần phải linh hoạt, đôi khi phải dự đoán khác thường như ví dụ 1 dưới đây.
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ta thấy trong bài toán bên việc sử dụng tích phân từng phần ở đây rất thông minh khi phát hiện được khi nhân thêm x sẽ triệt tiêu được .
Ví dụ 3: Cho với ; . Lúc này có giá trị bằng A. B. C. D. |
Đáp án D.
Lời giải
Ta có (1)
Đặt .
Đặt
Theo công thức tích phân từng phần ta có (2)
Từ (1); (2) ta có
.
VII. Ứng dụng hình học của tích phân
1. Tính diện tích hình phẳng
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức |
Chú ý: Trong trường hợp dấu của thay đổi trên đoạn thì ta phải chia đoạn thành một số đoạn con để trên đó dấu của không đổi, do đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn . Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là . |
Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của không đổi.
Chú ý
Khi áp dụng công thức này cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta phải giải phương trình trên đoạn . Giả sử phương trình có hai nghiệm . Khi đó không đổi dấu trên các đoạn . Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn thì ta có
|
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng (hình được tô màu) ở biểu diễn ở hình 3.4. |
Lời giải
Nhận thấy trên và thì ; trên thì
Do vậy
(Trên đây là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)
Ví dụ 5: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , , và . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm k để . A. B. C. D. |
Lời giải
Đáp án D.
Nhìn vào hình vẽ ta có được các công thức sau:
.
Ví dụ 6: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.) A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. |
Lời giải
Đáp án B.
Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích hình phẳng. Ta có hình vẽ bên:
Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.
Ta có phương trình đường elip đã cho là . Xét trên nên thì . Khi đó , vậy diện tích trồng hoa của ông An trên mảnh đất là
Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là đồng.
c. Tính thể tích vật thể
Cho H là một vật thể nằm giới hạn giữa hai mặt phẳng và . Gọi là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x (). Giả sử là một hàm liên tục. Khi đó thể tích V của H là . (hình 3.5) |
Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a. (hình 3.6) A. B. C. D. |
Đáp án A
Lời giải
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: và ().
Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một hình vuông có cạnh (chính là phần gạch chéo trong hình 3.7). Do đó diện tích thiết diện sẽ là:
, .
Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:
Ví dụ 8: Tính thể tích của vật thể H biết rằng đáy của H là hình tròn và thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành luôn là tam giác đều. |
Lời giải
Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ là
cắt vật thể theo thiết diện là tam giác ABC đều, với AB chứa trong mặt phẳng (hình 3.8).
Ta có . Do đó . Vậy
(đvtt).
d. Tính thể tích khối tròn xoay
Định lý
Chú ý
Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó là . |
Ví dụ 9: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng (hình 3.10) quanh trục Ox là A. (đvtt) B. (đvtt) C. (đvtt) D. (đvtt) |
Lời giải
Đáp án B.
Áp dụng công thức ở định lý trên ta có
.
Tiếp theo dưới đây là một bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử, bài toán có thể đưa về dạng quen thuộc và tính toán rất nhanh.
Ví dụ 10: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong và trục hoành quanh trục hoành. |
Lời giải tổng quát
Ta thấy
Do với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính (hình 3.11). Do vậy ta có luôn
Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.
Đọc thêm
Định lý
Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục tung tạo nên một khối xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó là . |
VIII. Một số dạng tích phân thường gặp
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Trong bài toán này, ta sẽ tham khảo lại phần “Nguyên hàm phân thức hữu tỉ” phía trên để hiểu được các định nghĩa phân thức hữu tỉ, phân thức hữu tỉ thực sự và phân thức đơn giản, cùng các định lý đã được nêu ở phần nguyên hàm ở phần trước.
Dưới đây là một số bài toán thường gặp về dạng này.
A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI
1. 2. . Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai 1. 2. |
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tích phân dạng . |
Phương pháp chung
STUDY TIP
Khi mẫu thức có dạng tam thức bậc hai thì thường đưa về dạng
Biến đổi
Ví dụ 1: Cho , với . Đặt , lúc này S có giá trị bằng A. B. C. D. |
Đáp án D.
Lời giải
STUDY TIP
Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có
.
Ví dụ 2: Cho với . Tích ab có giá trị bằng A. ‒24 B. 24 C. ‒48 D. 48 |
Đáp án A.
Lời giải
Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có
.
Dạng 2: Tính tích phân |
Phương pháp chung
STUDY TIP
Khi mẫu thức có dạng tam thức bậc hai thì thường đưa về dạng
Cách 1:
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)
* Nếu mẫu số có nghiệm kép tức là ta giả sử
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B.
Sau khi tìm được A; B thì ta có .
* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt : thì ta giả sử:
Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.
Sau khi tìm được A; B ta có .
Ví dụ 1: Cho , thì có giá trị bằng A. ‒35 B. ‒2 C. 2 D. 3 |
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Ta có
.
.
Cách 2: Ta thấy .
Giả sử
Đồng nhất hệ số ta có
Áp dụng công thức ta có .
Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.
Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).
Ta thấy .
1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.
Ta thấy khi nhập vào màn hình thì ta đã coi b (biến X) chạy trong khoảng từ và step là 1. Ở đây ta chọn STEP 1 vì đề cho a; b nguyên. Lúc này màn hình sẽ hiện giá trị của b (chính là X) và giá trị tương ứng của a (chính là cột ). Do a; b nguyên nên ta sẽ chọn .
Giải thích cách sử dụng MTCT
2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.
Ta thấy chỉ có trường hợp là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận .
Đọc thêm: Tích phân hàm phân thức chứa căn ở mẫu thức
Dạng 1: Tính tích phân |
Phương pháp chung
Phương pháp này chỉ áp dụng được khi hệ số .
Chú ý
Ta có
Áp dụng bài toán vừa chứng minh ở trên ta áp dụng vào bài toán biến đổi sau:
Dạng 2: Tính tích phân . |
Phương pháp chung
Ta có
Dạng 3: Tính tích phân |
Phương pháp chung
Đặt . Khi đó
(quay trở về bài toán dạng 1).
Tích phân hàm lượng giác
A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI
Các công thức nguyên hàm của hàm lượng giác
|
|
|
|
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính tích phân: |
1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.
2. Nếu thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.
3. Nếu và n lẻ thì ta thực hiện biến đổi.
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển .
Từ đây ta giải quyết dc bài toán.
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển .
Từ đây ta giải quyết dc bài toán.
Ví dụ 1: Cho . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. B. C. D. |
Đáp án A.
Lời giải
Ta có
Ta thấy bậc của cos3x là 4 là một số chẵn. Từ 1 trong phần phương pháp chung ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc như lời giải bên.
.
Từ đây ta giải quyết được bài toán.
Ví dụ 2: Cho: . Đặt . Giá trị của S bằng A. B. C. D. |
Đáp án B.
Lời giải
Ta có
.
Dạng 2*: Tính tích phân . |
Phương pháp chung
a. Trường hợp 1: m; n là các số nguyên
1. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
2. Nếu m chẵn, n lẻ thì biến đổi
.
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.
3. Nếu m lẻ , n chẵn thì ta biến đổi
.
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.
4. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.
b. Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ
Ví dụ 1: Cho . Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. . B. C. D. |
Đáp án C.
Lời giải
Trong bài toán này, ta thấy m lẻ, n chẵn nên ta áp dụng phương pháp 3 trong bài toán tổng quát phía trên.
.
Dạng 3: Tính tích phân . |
Phương pháp chung
Sử dụng các công thức sau:
Dạng 4*: Tích phân liên kết. |
Phương pháp chung
Bài toán 1: Tính tích phân |
* . Xét tích phân liên kết
Ta có
Giải hệ phương trình ta được
Các trường hợp thường gặp:
* khi đó tính .
* là một tích phân đơn giản, thường thì các hàm số dưới dấu tích phân ; (của hai tích phân liên kết) thường có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau như ở bài toán 1 và bài toán 2.
Việc tìm được tích phân liên kết phụ thuộc vào kinh nghiệm giải toán của người đọc.
Bài toán 2: Tính tích phân |
Phương pháp chung
Xét tính phân liên kết với là
Ta có
Giải hệ phương trình ta được .
Từ hai bài toán trên ta đưa ra kết luận về tích phân liên kết như sau: Trong một số bài toán tính tích phân , ta sẽ sử dụng tích phân là tích phân liên kết của sao cho ta có thể xác lập được mối quan hệ ràng buộc giữa và thành hệ phương trình như sau:
Giải hệ phương trình ta dễ dàng tìm được . |
Một số bài toán tích phân gốc thường gặp
Bài toán 1: Cho f là hàm số chẵn và liên tục trên với . Chứng minh rằng (với và ) (1) |
Lời giải tổng quát
Đặt thì nên
Do đó
Ví dụ 1: Tính tích phân A. B. C. 1 D. −1 |
Đáp án A.
Lời giải
Ta thấy hàm số là hàm số chẵn, áp dụng bài toán 1 ở trên ta có:
.
Bài toán 2*: Cho f là hàm số liên tục trên đoạn . Chứng minh rằng:
Đặc biệt |
Lời giải tổng quát
Đặt thì . Khi đó
Khi , ta nhận được công thức (3).
Ví dụ 2: Cho , . Khi đó tổng bằng A. 8 B. 10 C. 5 D. 4 |
Đáp án B.
Lời giải
Nhận xét: liên tục trên , áp dụng (3) với bài toán này ta có:
.
Vậy .
Bài toán 3: Cho hàm số f liên tục trên . Chứng minh rằng:
|
Lời giải tổng quát
Đặt thì , khi đó
Ví dụ 3: Tính tích phân: A. B. 1 C. D. |
Đáp án C.
Lời giải
Sử dụng công thức (4) ta có
Từ đây suy ra .
** Bài toán 4: (đọc thêm) Cho f là hàm số liên tục trên thỏa mãn . Chứng minh rằng: (8) Đặc biệt . |
Lời giải tổng quát
Thực hiện phép biến đổi thì
Từ đó suy ra (8). Chọn ta có (9).
Blank Page
Bài tập rèn luyện kỹ năng
1. Bài toán tính tích phân
Câu 1: Biết tích phân . Khi đó tích có giá trị bằng
A. 1 B. −1 C. 2 D. 3
Câu 2: Biết và là hàm số lẻ. Khi đó có giá trị bằng
A. B. C. D.
Câu 3: Tích phân có giá trị bằng
A. B.
C. D.
Câu 4: Cho tích phân nếu đặt thì trong đó
A. B.
C. D.
Câu 5: Tính tích phân
A. B.
C. D.
Câu 6: Cho . Tìm giá trị của a là
A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
Câu 7: Tích phân bằng
A. B.
C. D.
Câu 8: Tích phân bằng
A. B. C. D.
Câu 9: Tính tích phân:
A. B.
C. D.
Câu 10: Giá trị dương a sao cho
là
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 11: Giả sử . Giá trị của c là
A. 9 B. 3 C. 81 D. 8
Câu 12: Tích phân có giá trị là
A. B. C. D.
Câu 13: Giả sử và . Tính
A. B. C. D.
Câu 14: Tính tích phân
A. B. C. D.
Câu 15: Cho biết . Tính .
A. B.
C. D.
Câu 16: Đẳng thức xảy ra nếu
A. B.
C. D.
Câu 17: Tính tích phân
A. B. C. D.
Câu 18: Nếu thì giá trị của a bằng:
A. 0 B. 1 C. 2 D. e
Câu 19: Nếu thì n bằng
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 20: Giá trị của bằng
A. −1 B. 1 C. e D. 0
Câu 21: Tích phân có giá trị bằng
A. B. C. D.
Câu 22: Tích phân có giá trị bằng
A. B. C. D.
Câu 23: Tích phân bằng
A. B. C. D.
Câu 24: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số ?
A. B.
C. D.
Câu 25: Biết , với a, b là các số nguyên. Tính tổng bằng
A. −1 B. 1 C. D. 0
Câu 26: Cho và , với n, m là các số nguyên dương. Khi đó:
A. B.
C. D.
Câu 27: Biết , với a, b, c là các số nguyên. Tính
A. B. C. D.
Câu 28: Kết quả tích phân được viết dưới dạng với a, b là các số hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng.
A. B.
C. D.
Câu 29: Xét tích phân . Nếu đặt , ta được:
A. B.
C. D.
Câu 30: Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn thỏa mãn .
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
Câu 31: Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn . Có và tích phân . Tính .
A. 1 B. −5 C. −6 D.
Câu 32: Cho , tính .
A. −6 B. C. −1 D. 5
Câu 33: Biết rằng: . Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó bằng
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 34: Có bao nhiêu số sao cho .
A. 20 B. 19 C. 9 D. 10
Câu 35: Cho . Tìm đẳng thức đúng.
A.
B.
C.
D.
Câu 36: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn :
A. B. C. D.
Câu 37: Biết , trong đó a, b, c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính .
A. B. C. D.
Câu 38: Biết , với a, b, c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính .
A. B. C. D.
Câu 39: Biết rằng: , trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng có giá trị là
A. B. C. D.
Câu 40: Biết tích phân , . Khi đó tích có giá trị bằng:
A. 1 B. −1 C. 2 D. 3
Câu 41: Cho đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ.
Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất:
A. B.
C. D.
Câu 42: Tính tích phân: được kết quả . Giá trị là
A. 4 B. 1 C. 0 D. 5
Câu 43: Cho . Tính
A. B. C. D.
Câu 44: Cho và . Tính .
A. B. C. D.
Câu 45: Cho . Tính .
A. B.
C. D.
2. Ứng dụng của tích phân trong hình học
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và :
A. 1 B. C. D.
Câu 2: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ là
A. B.
C. D.
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng?
A. B.
C. D.
Câu 4: Cho hàm số . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung, trục hoành và đường thẳng
A. B. C. D.
Câu 5: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và .
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
Câu 6: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số và , trục hoành và trục tung.
A. B.
C. D.
Câu 7: Công thức tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi hai đồ thị , , , ,
A.
B.
C.
D.
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và đồ thị của hàm số bằng
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng , .
A. B.
C. D.
Câu 10: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và quay quanh trục Ox.
A. B. C. D.
Câu 11: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng , . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. B.
C. D.
Câu 12: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng, . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. B.
C. D.
Câu 13: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng ; . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. B.
C. D.
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , là
A. 0 B. 1 C. D.
Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng bằng S. Giá trị của S là
A. 1 B. C. D. 16
Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường cong với , đường thẳng và trục hoành bằng
A. 2 B. C. D.
Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , bằng . Tìm k.
A. B.
C. D.
Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với , , , . Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải chi tiết
1. Bài toán tính tích phân
Câu 1: Đáp án A
Đặt
.
Câu 2: Đáp án C
là hàm số lẻ
Câu 3: Đáp án A
Ta thử bằng máy tính để tìm ra kết quả.
Câu 4: Đáp án D
Câu 5: Đáp án B
.
Câu 6: Đáp án C
.
Suy ra: .
Trong các đáp án .
Câu 7: Đáp án D
Cách 1: Thử
Cách 2: Đặt .
Câu 8: Đáp án D
Cách 1: Thử bằng máy tính
Cách 2:
Câu 9: Đáp án C
Cách 1: Thử trực tiếp bằng máy tính
Cách 2: Đặt , biến đổi
Câu 10: Đáp án D
.
Câu 11: Đáp án B.
Câu 12: Đáp án B.
Thử máy tính.
Gợi ý:
Câu 13: Đáp án D
Câu 14: Đáp án C
Câu 15: Đáp án D
Ta có:
Thay
.
Câu 16: Đáp án D
Trong 4 phương án, chỉ có phương án D thỏa mãn.
Câu 17: Đáp án C
Cách 1: Thử bằng máy tính
Cách 2: Tích phân thành phần:
Câu 18: Đáp án B
Theo như biến đổi câu 1, ta có:
Câu 19: Đáp án A
Đặt . Đổi cận:
.
Câu 20: Đáp án D
Cách 1: Thử bằng máy tính
Lấy giá trị n càng lớn càng tốt. Giả sử .
Nhập biểu thức
Máy tính cho kết quả .
Cách 2: Giải chi tiết
Ta luôn có
Câu 21: Đáp án C
Cách 1: Thử bằng máy tính
Cách 2: Đặt
Câu 22: Đáp án D
Cách 1: Thử bằng máy tính
Cách 2: Đặt
Câu 23: Đáp án D
Đặt
Câu 24: Đáp án A
Dễ nhận thấy
Ta thấy 3 phương án B, C, D có cùng đạo hàm.
Vậy phương án A sai.
Câu 25: Đáp án D
Câu 26: Đáp án D
Câu 27: Đáp án D
Câu 28: Đáp án B
Tương tự các bài trên
Suy ra, đáp án B:
Câu 29: Đáp án D
Đổi cận:
Câu 30: Đáp án A
Đặt
Mà
Suy ra, đáp án A
Câu 31: Đáp án A
Câu 32: Đáp án A
Đặt
Câu 33: Đáp án C
Câu 34: Đáp án D
Có 10 giá trị của a.
Câu 35: Đáp án C
Đặt
Suy ra, đáp án C.
Câu 36: Đáp án C
Thử các đáp án, suy ra
Câu 37: Đáp án B
Đặt
Câu 38: Đáp án A
Ta có:
Câu 37: Đáp án C
Đặt
Đặt
.
Câu 40: Đáp án A
Câu 41: Đáp án B
Câu 42: Đáp án D
Đặt
Đổi cận:
Câu 43: Đáp án D
Đặt . Đổi cận:
Câu 44: Đáp án C
Ta có
Câu 45: Đáp án A
Ta có
2. Ứng dụng của tích phân trong hình học
Câu 1: Đáp án C
Giao điểm tại
Câu 2: Đáp án C
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
Thể tích
Sử dụng phương pháp tích phân thành phần
Câu 3: Đáp án D
Câu 4: Đáp án C
Câu 5: Đáp án A
Câu 6: Đáp án A
Giao điểm Nhẩm được nghiệm 1
Câu 7: Đáp án B
Câu 8: Đáp án B
Ta xét phương trình hoành độ giao điểm
Lúc này ta có
Ta bấm máy và cũng được kết quả như trên:
Câu 9: Đáp án A
Xét phương trình hoành độ giao điểm . Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng , được tính bởi công thức:
Đặt ;
Đặt
Khi đó
.
Vậy từ đây ta có .
Suy ra
Câu 10: Đáp án C
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
quay quanh trục Ox được tính bởi công thức
Ta thấy trên thì , do vậy ta có công thức
(đvtt)
Câu 11: Đáp án C
Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và trục hoành khi quay quanh Ox là:
(đvtt).
Câu 12: Đáp án B
Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và trục hoành khi quay quanh Ox là:
(đvtt).
Câu 13: Đáp án A
Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục hoành khi quay quanh Ox là:
(đvtt).
Câu 14: Đáp án B
Ta có .
Câu 15: Đáp án C
Ta có: Phương trình tung độ giao điểm
.
Câu 16: Đáp án B
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
hoặc (loại vì ).
Ta có
Câu 17: Đáp án D
Ta thấy hàm số , luôn đồng biến trên và có tâm đối xứng là . Hình vẽ minh họa ở bên ta thấy với thì , với thì .
Vậy
(Do ).
(vì ).
Câu 18: Đáp án D
Phương trình đường thẳng AB là:
Thể tích khối tròn xoay là:
IX. Ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong thực tế
Ví dụ 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2 m B. 2 m C. 10 m D. 20 m |
Lời giải
Đáp án C.
Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường mà ô tô đi được sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe.
Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với .
Thời điểm ô tô dừng lại ứng với , khi đó .
STUDY TIP
Hàm số thể hiện quãng đường vật đi được tính theo thời gian là biểu thức nguyên hàm của hàm số vận tốc.
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là:
Ví dụ 2: Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc (m/s). Giả sử tại thời điểm thì . Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là A. (m) B. (m) C. (m) D. (m) |
Đáp án A.
STUDY TIP
Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường.
Lời giải
Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có (m)
Ví dụ 3: Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc (m/s2). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên. A. 12000m B. 240 m C. 864000 m D. 3200 m |
Đáp án C.
Phân tích
Nhận thấy bài toán này khác với hai ví dụ trên ở chỗ bài toán cho biểu thức gia tốc mà không cho biểu thức vận tốc, ở đây ta có thêm một kiến thức như sau:
Biểu thức gia tốc là đạo hàm của biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với 2 ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường”. Từ đây ta có lời giải:
Lời giải
Ta có (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).
Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:
(m)
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
A. 1410 m B. 1140 m C. 300 m D. 240 m
Câu 2: Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s). Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) ít hơn bao nhiêu giây so với lúc tàu dừng hẳn?
A. 5 s B. 8 s C. 15 s D. 10 s
Câu 3: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi (s) chuyển động thẳng với vận tốc (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
A. (m) B. (m)
C. (m) D. (m)
Câu 4: Một người đi xe đạp dự định trong buổi sáng đi hết quãng đường 60 km. Khi đi được quãng đường, anh ta thấy vận tốc của mình chỉ bằng vận tốc dự định, anh ta bèn đạp nhanh hơn vận tốc dự định 3km/h, đến nơi anh ta vẫn chậm mất 45 phút. Hỏi vận tốc dự định của người đi xe đạp là bao nhiêu?
A. 5km/h B. 12km/h
C. 7km/h D. 18 km/h
Câu 5: Một ôtô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 20m B. 10 m C. 22,5m D. 5m
Câu 6: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi là:
A. 63 m/s2 B. 64 m/s2
C. 23 m/s2 D. 24 m/s2
Câu 7: Cho một vật chuyển động có phương trình là:
(t được tính bằng giây, S tính bằng mét). Vận tốc của chuyển động thẳng là:
A. 3 m/s B. m/s
C. 12 m/s D. m/s
Câu 8: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi là:
A. 24 m/s B. 23 m/s C. 7 m/s D. 8 m/s
Câu 9: Một chiếc ôtô sẽ chạy trên đường với vận tốc tăng dần đều với vận tốc (m/s) t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy. Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc 20 (m/s)?
A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m
Câu 10: Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 4,75m B. 4,5m C. 4,25m D. 5m
Câu 11: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyể động chậm dần đều với gia tốc m/s2. Biết ô tô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây:
A. B. C. D.
Câu 12: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)
A. 183.000 đ B. 180.000 đ
C. 185.000 đ D. 190.000 đ
Câu 13: Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2. Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất.
A. B.
C. m D. m
Câu 14: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc m/s thì tăng vận tốc với gia tốc (m/s2). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
A. 68,25 m B. 70,25 m
C. 69,75 m D. 67,25 m
Câu 15: Một ca nô đang chạy trên Hồ Tây với vận tốc 20 m/s thì hết xăng. Từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc m/s, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc dừng hẳn, ca nô đi được bao nhiêu mét?
A. 10 m B. 20 m C. 30 m D. 40 m
Câu 16: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
A. (km) B. (km)
C. (km) D. (km)
Câu 17: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình dưới. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. (km) B. (km)
C. (km) D. (km)
Câu 18: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường thẳng parabol với và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy
A. (km) B. (km)
C. (km) D. (km)
Hướng dẫn giải chi tiết
Câu 1: Đáp án A
.
.
Suy ra: Khi s, vật đi được quãng đường
m.
Câu 2: Đáp án A
Khi tàu dừng hẳn: (s).
(s).
Câu 3: Đáp án D
Khi vật dừng lại .
Khi đó .
Câu 4: Đáp án B
Vận tốc dự định là .
Thời gian đi nửa quãng đường đầu .
Thời gian đi nửa quãng đường sau .
Ta có phương trình
Giải phương trình suy ra: km/h.
Câu 5: Đáp án C
Quãng đường vật đi từ lúc đạp phanh cho đến lúc dừng hẳn
Câu 6: Đáp án D
Khi
Câu 7: Đáp án B
Ta có
Với
Câu 8: Đáp án C
Ta có
Khi .
Câu 9: Đáp án B
.
Khi .
Câu 10: Đáp án A
Khi ô tô dừng lại hẳn
Câu 11: Đáp án C
Từ giả thiết ta có
Mà
Ô tô chuyển động được 20m thì dừng tại thời điểm
Suy ra
Câu 12: Đáp án A
Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với tâm thiết diện
Suy ra elip: . Thể tích quả dưa hấu chính là thể tích vật thể thu được khi quay phần gạch chéo quanh trục Ox.
Số tiền thu được là:
đ.
Câu 13: Đáp án A
Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường đi được là
Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất là
Câu 14: Đáp án C
Ta có:
Mà .
Sau 3 giây, chất điểm đi được quãng đường:
.
Câu 15: Đáp án D
Khi dừng hẳn .
Phương trình quãng đường đi được của ca - nô từ khi hết xăng
Tại
Suy ra: ca - nô đi được 40 mét
Câu 16: Đáp án B
Ta tìm được phương trình của parabol là
.
Khi thì (km/h).
Vậy
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
Câu 17: Đáp án C
Ta tìm được phương trình của parabol là
Như vậy, quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
Câu 18: Đáp án C
Ta tìm được phương trình của parabol là
Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là:
X. Tổng ôn tập chủ đề 3
Quý độc giả vui lòng khai báo sách chính hãng tại web: congphatoan.com để nhận được đáp án chi tiết.
BÀI KIỂM TRA SỐ 1
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Câu 2: Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tính
A. B.
C. D.
Câu 3: Giá trị nào của b để ?
A. hoặc B. hoặc
C. hoặc D. hoặc
Câu 4: Giá trị của tích phân là
A. B. C. D.
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 6: Cho tích phân và đặt . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. B.
C. D.
Câu 7: Biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 8: Cho và hàm số liên tục trên thỏa mãn
, . Tính
A. B.
C. D.
Câu 9: Nguyên hàm của hàm số là
A.
B.
C.
D.
Câu 10: Biết một nguyên hàm của hàm số là . Khi đó, giá trị của hàm số tại là
A. B.
C. D.
Câu 11: Biết rằng , với và là hai phân số tối giản. Khi đó, bằng bao nhiêu?
A. B.
C. D.
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình và .
Gọi là diện tích thiết diện của bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với . Giả sử hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, thể tích V của vật thể được tính bởi công thức
A. B.
C. D.
Câu 13: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn , với mọi . Khi đó, giá trị của tích phân bằng bao nhiêu?
A. B.
C. D.
Câu 14: Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc (m/s2), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
A. 18 mét B. mét
C. 36 mét D. mét
Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 16: Biết , với a, b là các số nguyên. Tính .
A. B. C. D.
Câu 17: Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tính .
A. B.
C. D.
Câu 18: Xét . Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 19: Biết với a, b là các số nguyên dương. Tính .
A. B.
C. D.
Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 21: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 22: Cho và đặt . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A.
B.
C.
D.
Câu 23: Tính tích phân
A. B.
C. D.
Câu 24: Biết với a, b là các số nguyên. Tính .
A. B.
C. D.
Câu 25: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường và trục hoành. Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả giá trị thực của k để .
A. B.
C. D.
Câu 26: Cho .
Tính .
A. B. C. D.
Câu 27: Xét . Bằng cách đặt , đẳng thức nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 28: Cho . Khi đó giá trị của m là
A. B.
C. D.
Câu 29: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 30: Tính tích phân
A. B.
C. D.
Câu 31: Gọi là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính .
A. B. 0 C. D.
Câu 32: Cho n là số tự nhiên sao cho . Tính tích phân .
A. B. C. D.
Câu 33: Tính . Chọn kết quả đúng.
A. 6 B. −3 C. 3 D. −6
Câu 34: Tìm ta được
A. B.
C. D.
Câu 35: Cho biết là một nghiệm nguyên của hàm số . Tìm .
A.
B.
C.
D.
Câu 36: Một vật chuyển động với vận tốc có gia tốc là (m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s bằng bao nhiêu?
A. 12 m/s B. 10 m/s
C. 8 m/s D. 16 m/s
Câu 37: Cho , . Tính .
A. 25 B. C. 16 D.
Câu 38: Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
A. B. C. D. 2
Câu 39: Một nguyên hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Câu 40: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Khi đó hiệu số bằng
A. B.
C. D.
Câu 41: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng bằng
A. B. C. D.
Câu 42: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. (C là hằng số)
B. (C là hằng số; )
C. (C là hằng số)
D. (C là hằng số)
Câu 43: Cho . Khi đó với , ta có bằng
A. B.
C. D.
Câu 44: Cho trong đó hàm số là hàm số chẵn trên , khi đó bằng
A. 2 B. 16 C. 4 D. 8
Câu 45: Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 46: Giả sử . Tìm K.
A. B. C. D.
Câu 47: Cho và . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
B.
C.
D.
Câu 48: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và .
A.
B.
C.
D.
Câu 49: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t được tính theo công thức , . Nếu coi là hàm số xác định trên đoạn thì đạo hàm được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất?
A. Ngày thứ 16 B. Ngày thứ 15
C. Ngày thứ 5 D. Ngày thứ 19
Câu 50: Cho đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O, ngoài ra còn cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng −3 và 4 như hình bên. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox.
A.
B.
C.
D.
BÀI KIỂM TRA SỐ 2
Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Cho tích phân ; với a, b là các số nguyên. Tính .
A. B.
C. D.
Câu 3: Cho m là số thực dương thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. B.
C. D.
Câu 4: Cho hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn .
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Cho hai hàm số là hàm số liên tục trên R, có lần lượt là một nguyên hàm của . Xét các mệnh đề sau
: là một nguyên hàm của
là một nguyên hàm của .
: là một nguyên hàm của . Những mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. và B. và
C. D.
Câu 6: Cho . Tính .
A. B.
C. D.
Câu 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích (hình vẽ).
Tìm k để .
A. B. C. D.
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 9: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số ?
A.
B.
C.
D.
Câu 10: Một trường THPT dự định xây một bồn hoa hình tròn có đường kính . Để tạo ấn tượng người thiết kế đã tạo ra hai hình tròn nhỏ trong hình tròn lớn bằng cách lấy điểm M giữa A và B rồi dựng các hình tròn đường kính MA, MB. Trong hai hình tròn nhỏ nhà trường dự định trồng hoa hồng đỏ và phần còn lại trồng hoa hồng vàng. Biết giá mỗi gốc hồng đó là 5000 đồng, giá mỗi gốc hồng vàng là 4000 đồng và ít nhất mới trồng được một gốc hồng. Hỏi chi phí thấp nhất để trồng bồn hoa là bao nhiêu?
A. 622000 đồng B. 702000 đồng
C. 706858 đồng D. 752000 đồng
Câu 11: Giả sử với a, b là số thực. Khi đó bằng
A. B. 2 C. 1 D.
Câu 12: Cho , khi đó với a khác 0 ta có bằng
A. B.
C. D.
Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 14: Nguyên hàm bằng
A. B.
C. D.
Câu 15: Nguyên hàm bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 16: Nguyên hàm bằng
A. B.
C. D.
Câu 17: Nguyên hàm bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 18: Nguyên hàm bằng
A. B.
C. D.
Câu 19: Nguyên hàm bằng
A. B.
C. D.
Câu 20: Nguyên hàm bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 21: Cho là một hàm số chẵn, liên tục trên và . Tính .
A. B.
C. D.
Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn , , . Tính .
A. B.
C. D.
Câu 23: Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tìm .
A. B.
C. D.
Câu 24: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 25: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có ; cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng / m2. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?
A. 20.400.000 đồng B. 20.600.000 đồng
C. 20.800.000 đồng D. 21.200.000 đồng
Câu 26: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường . Đường thẳng chia thành hai phần là và (hình vẽ bên). Cho hai hình và quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là và . Xác định k để .
A. B.
C. D.
Câu 27: Biết rằng với a, b, c là các số nguyên. Tính .
A. B.
C. D.
Câu 28: Cho hàm số liên tục trên và là nguyên hàm của , biết và . Tính .
A. B.
C. D.
Câu 29: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Câu 30: Tìm các hàm số biết
A.
B.
C.
D.
Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Câu 32: Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt: . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 33: Cho hàm số liên tục trên và là hàm số chẵn. Biết rằng , . Tính giá trị của tích phân .
A. B.
C. D.
Câu 34: Tính tích phân
A. B.
C. D.
Câu 35: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng D giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn và các đường thẳng , .
A.
B.
C.
D.
Câu 36: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và các trục tọa độ?
A. B. 3 C. D.
Câu 37: Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Câu 38: Cho các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn . Khi đó
A.
B.
C.
D.
Câu 39: Tính nguyên hàm
A.
B.
C.
D.
Câu 40: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
A. 1410 m B. 1140 m C. 300 m D. 240 m
Câu 41: Tìm nguyên hàm của của hàm số , biết .
A.
B.
C.
D.
Câu 42: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và .
A. 5 B. 7 C. D.
Câu 43: Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
A. B. C. D.
Câu 44: Parabol chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính thành 2 phần, tỉ số diện tích của chúng thuộc khoảng nào?
A. B.
C. D.
Câu 45: Nếu thì n bằng
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 46: Nguyên hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Câu 47: Cho liên tục trên đoạn thỏa mãn . Khi đó giá trị của biểu thức là
A. 10 B. 4 C. 3 D. −4
Câu 48: Cho .
Giá trị của bằng
A. B. C. D.
Câu 49: Xét hàm số liên tục trên miền có đồ thị là một đường cong C. Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng . Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng .
Theo kết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường thẳng quanh Ox là
A. B.
C. D.
Câu 50: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số , trục Ox và đường thẳng bằng với a, b, c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của là
A. 11 B. 12 C. 13 D. 1
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới
- Bài tập trắc nghiệm đạo hàm, phương trình tiếp tuyến có đáp án
- Bài tập trắc nghiệm quan hệ vuông góc trong không gian có lời giải và đáp án
- Bài tập trắc nghiệm quan hệ song song trong không gian có lời giải và đáp án
- Bài tập trắc nghiệm phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng có đáp án
- Bài tập trắc nghiệm dãy số cấp số cộng cấp số nhân phương pháp quy nạp có lời giải