Đề thi thử tn 2022 môn toán chuyên lam sơn có lời giải chi tiết-lần 2
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Đề thi có 06 trang) | KỲ THI KSCL CÁC MÔN THI TN THPT NĂM 2022 - LẦN 2 Ngày thi: 03/04/2022 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề |
Họ và tên: ............................................................................ | Số báo danh: ............. | Mã đề Gốc |
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho cấp số nhân với và . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Hàm số có mấy điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Số nghiệm của phương trình là:
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 9. Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Hàm số có đạo hàm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Tập nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Trên khoảng , họ nguyên hàm của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 14. Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Xét , nếu đặt thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 16. Cho số phức . Tìm phần ảo của số phức liên hợp của .
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. Cho hai số phức , . Tích bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 18. Xét hai số phức , tùy ý. Phát biểu nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Câu 19. Một khối lăng trụ có thể tích bằng , diện tích mặt đáy bằng . Chiều cao của khối lăng trụ đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , , (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 21. Cho hình nón có bán kính đáy và độ dài đường sinh . Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Câu 22. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của khối trụ đó bằng và chiều cao bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ , hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là
A. B.
C. D.
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt cầu tâm và bán kính bằng có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 26. Một em bé có bộ 7 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 2 thẻ chữ T giống nhau, một thẻ chữ H, một thẻ chữ P, một thẻ chữ C, một thẻ chữ L và một thẻ chữ S. Em bé xếp theo hàng ngang ngẫu nhiên 7 thẻ đó. Xác suất em bé xếp được dãy theo thứ tự THPTCLS là
A. . B. . C. . D. .
Câu 27. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , ; vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 28. Cho hàm số bậc bốn . Hàm số có đồ thị như hình vẽ như sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. . B. . C. . D. .
Câu 29. Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi mét vuông mặt hồ thả con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là (gam). Hỏi nên thả bao nhiêu con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ tự nhiên đó để cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất.
A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.
Câu 30. Xét tất cả các số dương và thỏa mãn . Tính giá trị của .
A. . B. . C. . D. .
Câu 31. Tích tất cả các nghiệm của phương trình bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 32. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 33. Cho hàm số liên tục trên đoạn , có đạo hàm thỏa mãn và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 34. Tìm số phức thỏa mãn .
A. . B. . C. . D. .
Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng . Gọi là giao điểm của với mặt phẳng . Tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ , là mặt phẳng đi qua điểm và cắt các tia lần lượt tại (khác gốc tọa độ ) sao cho là trực tâm tam giác . Biết mặt phẳng có phương trình . Tính tổng .
A. 8. B. 14. C. 6. D. 11.
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt phẳng. Mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 39. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm tích các phần tử của .
A. . B. . C. . D. .
Câu 40. Gọi là tập nghiệm của bất phương trình . Biết và thuộc , tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 41. Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn:
, .
Khi đó bằng
A. 2. B. 4. C. . D. .
Câu 42. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 43. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , tam giác cân tại và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Gọi là trung điểm của đoạn . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Thể tích khối chóp bằng . B. Thể tích khối chóp bằng .
C. Thể tích khối chóp bằng . D. Không tồn tại hình chóp đã cho.
Câu 44. Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng. Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình có chiều cao 2 cm. Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ minh họa bên dưới).
Biết chiều cao của nón là cm. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm , điểm và đường thẳng . là điểm thuộc đường thẳng sao cho diện tích tam giác nhỏ nhất. Khi đó có giá trị bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 46. Cho hàm số , với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc đoạn để hàm số có số điểm cực trị nhiều nhất?
A. 2021. B. 2022. C. 4040. D. 2023
Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên dương để phương trình có nghiệm phân biệt không lớn hơn 5.
A. 26. B. 27. C. 29. D. 28.
Câu 48. Cho hàm số với đồ thị là Parabol đỉnh có tung độ bằng và hàm số bậc ba . Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn (hình vẽ).
Diện tích miền tô đậm gần số nào nhất trong các số sau đây?
A. 5,7. B. 5,9. C. 6,1. D. 6,3.
Câu 49. Cho lần lượt là các điểm biểu diễn số phức , , thỏa mãn điều kiện , , . Khi không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi của tam giác là
A. . B. . C. . D. .
Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng , , có phương trình , , . là mặt cầu tâm bán kính tiếp xúc với đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của gần số nào nhất trong các số sau:
A. 2,1. B. 2,2. C. 2,3. D. 2,4.
SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN ĐÁP ÁN ĐỀ GỐC | KỲ THI KSCL CÁC MÔN THI TN THPT NĂM 2022 - LẦN 2 Môn thi: Toán Ngày thi: 03/04/2022
|
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C | 2.A | 3.B | 4.D | 5.C | 6.D | 7.C | 8.A | 9.A | 10.A |
11.D | 12.B | 13.D | 14.C | 15.A | 16.C | 17.D | 18.D | 19.C | 20.D |
21.B | 22.A | 23.A | 24.B | 25.C | 26.C | 27.C | 28.A | 29.A | 30.A |
31.A | 32.C | 33.A | 34.C | 35.D | 36.C | 37.C | 38.C | 39.C | 40.D |
41.B | 42.C | 43.C | 44.C | 45.B | 46.A | 47.D | 48.A | 49.B | 50.A |
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ là .
Câu 2. Cho cấp số nhân với và . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 3. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Nhận xét có .
Do đó hàm số đồng biến trên .
Câu 4. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm .
Câu 5. Hàm số có mấy điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hàm số có , suy ra hàm số có điểm cực trị.
Câu 6. Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: và nên đồ thi có TCĐ: .
Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dễ nhận thấy dạng đồ thị cho trong bài là của hàm số dạng .
Câu 8. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình là:
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Lời giải
Kẻ đường thẳng ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Như vậy số nghiệm của phương trình là 3.
Câu 9. Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điều kiện xác định: .
Vậy tập xác định của hàm số là: .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Áp dụng công thức .
Ta có .
Câu 11. Tập nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có phương trình đã cho
Phương trình trên vô nghiệm.
Câu 12. Trên khoảng , họ nguyên hàm của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Áp dụng công thức: , ta có .
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Ta có nên phương án sai.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 15. Xét , nếu đặt thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét
Đặt . Đổi cận: ; . Khi đó
Câu 16. Cho số phức . Tìm phần ảo của số phức liên hợp của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Số phức liên hợp của là .
Vậy phần ảo của số phức liên hợp của là .
Câu 17. Cho hai số phức , . Tích bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Câu 18. Xét hai số phức , tùy ý. Phát biểu nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Giả sử , , ta có
mà
Vậy về tổng quát .
Câu 19. Một khối lăng trụ có thể tích bằng , diện tích mặt đáy bằng . Chiều cao của khối lăng trụ đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Gọi là chiều cao của khối lăng trụ.
Ta có thể tích khối lăng trụ là .
Câu 20. Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , , (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Vì nên ta có là đường cao của hình chóp hay .
Do đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh nên ta có:.
Khi đó thể tích của khối chóp đã cho là: (đvtt).
Câu 21. Cho hình nón có bán kính đáy và độ dài đường sinh . Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có . Nên .
Câu 22. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của khối trụ đó bằng và chiều cao bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Thể tích khối trụ là
Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ , hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng là
Nên là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng .
Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là
A. B.
C. D.
Lời giải
Gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng : .
Vì
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt cầu tâm và bán kính bằng có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Phương trình mặt cầu có tâm và bán kính có dạng:
Mà tâm và bán kính nên
Câu 26. Một em bé có bộ 7 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 2 thẻ chữ T giống nhau, một thẻ chữ H, một thẻ chữ P, một thẻ chữ C, một thẻ chữ L và một thẻ chữ S. Em bé xếp theo hàng ngang ngẫu nhiên 7 thẻ đó. Xác suất em bé xếp được dãy theo thứ tự THPTCLS là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hoán vị 7 chữ cái này ta được 1 dãy 7 chữ cái, tuy nhiên trong đó có 2 chữ T giống nhau nên khi hoán vị 2 chữ T này cho nhau không tạo dãy mới.
Vì vậy sẽ có: dãy khác nhau.
Xác suất để tạo thành dãy THPTCLS là .
Câu 27. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , ; vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có nên góc giữa và bằng .
.
Suy ra .
Câu 28. Cho hàm số bậc bốn . Hàm số có đồ thị như hình vẽ sau
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta có
và .
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng và , nghịch biến trên các khoảng và .
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng là đúng.
Câu 29. Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi mét vuông mặt hồ thả con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là (gam). Hỏi nên thả bao nhiêu con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ tự nhiên đó để cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất.
A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải
Sau một vụ lượng tôm trung bình trên mỗi mặt hồ nặng
Xét hàm số trên khoảng ta có
Trên khoảng hàm số đạt GTLN tại .
Vậy nên thả 6 con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ thì cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất.
Câu 30. Xét tất cả các số dương và thỏa mãn . Tính giá trị của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Câu 31. Tích tất cả các nghiệm của phương trình bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: .
Vậy tích các nghiệm của phương trình là .
Câu 32. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Bất phương trình
.
Vì nên . Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên.
Câu 33. Cho hàm số liên tục trên đoạn , có đạo hàm thỏa mãn và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt: , chọn .
Ta có:
.
Câu 34. Tìm số phức thỏa mãn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt .
Theo giả thiết ta có .
Điều này tương đương với .
Từ đây ta được .
Như vậy và .
Tức là .
Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng . Gọi là giao điểm của với mặt phẳng . Tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tọa độ của điểm là nghiệm của hệ:
Vậy .
Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ , là mặt phẳng đi qua điểm và cắt các tia lần lượt tại (khác gốc tọa độ ) sao cho là trực tâm tam giác . Biết mặt phẳng có phương trình . Tính tổng .
A. 8. B. 14. C. 6. D. 11.
Lời giải
Ta có tứ diện là tứ diện vuông tại , mà là trực tâm tam giác nên .
Vậy là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và đi qua nên có phương trình: .
Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt phẳng. Mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có bán kính là
.
Vậy mặt cầu có phương trình là .
Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Gọi là trung điểm , là trung điểm của
Khi đó
(*)
Trong mặt phẳng kẻ (1)
Do đều
là hình lăng trụ đứng
Nên(2)
Từ (1) và (2) (**)
Trong tam giác vuông tại , là đường cao:
(***)
Từ (*), (**), (***) .
Câu 39. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm tích các phần tử của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phải có ba nghiệm phân biệt.
Ta có . , .
Ba điểm cực trị là .
Ba điểm và gốc tọa độ tạo thành tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi , (do ). Vậy có 2 phần tử và có tích bằng .
Câu 40. Gọi là tập nghiệm của bất phương trình . Biết và thuộc , tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Điều kiện:
Do là nghiệm của bất phương trình đã cho nên
Vì nên bất phương trình
Vì vậy
Câu 41. Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn:
, .
Khi đó bằng
A. 2. B. 0. C. . D. .
Lời giải
Ta có:
Lấy tích phân từ đến hai vế của ta được:
Vậy = 0.
Câu 42. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Áp dụng các tính chất ta có .
Do đó .
Gọi là điểm biểu diễn của .
Do nên thuộc đường tròn tâm , bán kính . có phương trình là .
Do nên thuộc đường elip có hai tiêu điểm là và có độ dài trục lớn là . có phương trình là .
Từ đây có là giao điểm của và .
Từ hình vẽ của và ta thấy chúng có giao điểm nên có số phức thỏa mãn yêu cầu.
Câu 43. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , tam giác cân tại và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Gọi là trung điểm của đoạn . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Thể tích khối chóp bằng . B. Thể tích khối chóp bằng .
C. Thể tích khối chóp bằng . D. Không tồn tại hình chóp đã cho.
Lời giải
Tam giác thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , từ đó suy ra đường cao của hình chóp là
Kẻ
Nếu thì dễ thấy đều (vô lí). Vậy
khi đó cân tại và
Trong vuông tại ta có
thay và vào ta được . Vậy .
.
Câu 44. Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng. Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình có chiều cao 2 cm. Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ minh họa bên dưới).
Biết chiều cao của nón là cm. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Để ý rằng có 3 hình nón đồng dạng: Phần không gian bên trong bình thủy tinh (có thể tích ), phần không chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng lên (có thể tích ), phần chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng xuống (có thể tích ). Do tỷ số đồng dạng bằng với tỷ số của chiều cao và tỷ số thể tích là lập phương tỷ số đồng dạng nên ta có . Mà nên ta có:
Vậy
Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm , điểm và đường thẳng . là điểm thuộc đường thẳng sao cho diện tích tam giác nhỏ nhất. Khi đó có giá trị bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có .
Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng đi qua , ta có:
Diện tích tam giác nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài nhỏ nhất.
.
Đường thẳng có vecto chỉ phương . .
.
Dấu xảy ra khi , suy ra: . Vậy .
Câu 46. Cho hàm số , với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc đoạn để hàm số có số điểm cực trị nhiều nhất?
A. 2021. B. 2022. C. 4040. D. 2023
Lời giải
Hàm số có số điểm cực trị nhiều nhất là khi và chỉ khi phương trình có nghiệm phân biệt hay phương trình có nghiệm phân biệt
Ta có
Suy ra có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có nghiệm phân biệt khác và 1 tức là
do nguyên thuộc nên có 2021 giá trị thỏa mãn.
Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên dương để phương trình có nghiệm phân biệt không lớn hơn 5.
A. 26. B. 27. C. 29. D. 28.
Lời giải
Xét phương trình (*) điều kiện
, Đặt
Ta có hệ phương trình
Trừ (1) và (2) theo vế ta được: hay
với thì hàm số đồng biến trên tập xác định nên
Thay vào ta được hay
Rõ ràng là 1 nghiệm của phương trình (4).
Với ta có
Xét hàm số , ta có: Tập xác định và
Hàm số có nên
Ta có bảng biến thiên của như sau:
Suy ra do đó
Bảng biến thiên của :
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5 thì phương trình
có duy nhất 1 nghiệm bé hơn hoặc bằng 5. Ta có
Dựa vào bảng biến thiên của ta có do nên có 28 giá trị thỏa mãn.
Câu 48. Cho hàm số với đồ thị là Parabol đỉnh có tung độ bằng và hàm số bậc ba . Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn (hình vẽ).
Diện tích miền tô đậm gần số nào nhất trong các số sau đây?
A. 5,7. B. 5,9. C. 6,1. D. 6,3.
Lời giải
Dễ thấy và .
Hàm số đạt cực trị tại nên
Đồ thị hàm số đi qua nên .
Phương trình hoành độ giao điểm:
Theo định lý viet ta có:
Từ , ta được . Từ đó suy ra diện tích miền tô đậm sấp sỉ 5,7.
Câu 49. Cho lần lượt là các điểm biểu diễn số phức , , thỏa mãn điều kiện , , . Khi không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi của tam giác là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Trong mặt phẳng , gọi , , và lần lượt là các điểm biểu diễn số phức , , . Ta có
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng .
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng .
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đoạn .
Khi đó .
Gọi , lần lượt đối xứng với qua , . Ta có , .
Khi đó .
Ta thấy .
Theo định lí Sin:
Gọi là trung điểm của , khi đó
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của là .
Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng , , có phương trình , , . là mặt cầu tâm bán kính tiếp xúc với đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của gần số nào nhất trong các số sau:
A. 2,1. B. 2,2. C. 2,3. D. 2,4.
Lời giải
Ta có: đi qua điểm có VTCP .
đi qua điểm có VTCP .
đi qua điểm có VTCP .
Ta có , , , , đôi một vuông góc với nhau.
, , , , đôi một chéo nhau.
Lại có: ; và nên , , chứa cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.
Vì mặt cầu tâm tiếp xúc với đường thẳng , , nên bán kính
, ta thấy và
, .
, .
, .
khi đó .