Bài tập trắc nghiệm phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng có đáp án
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
PHÉP BIẾN HÌNH
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất thuộc mặt phẳng đó .
2. Kí hiệu và thuật ngữ:
Gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình :
- Điểm gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình , hay là điểm tạo ảnh của điểm .
- Nếu là một hình nào đó thì ( gồm các điểm là ảnh của ) được gọi là anh của qua phép biến hình .
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình và . Gọi là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. là ảnh của qua , là ảnh của qua .
Ta nói, là ảnh của trong tích của hai phép biến hình và . Ký hiệu
PHÉP TỊNH TIẾN
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .
- Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là: , được gọi là vectơ tịnh tiến.
- Ta có:
- Phép tịnh tiến theo vecto – không chính là phép đồng nhất.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm thành hai điểm thì , từ đó suy ra .
Tính chất 2:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
3. Biểu thức tọa độ:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ . Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ có biểu thức tọa độ:
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến.
Tìm quĩ tích điểm thông qua phép tịnh tiến.
Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài toán hình học khác ...
- Kết luận nào sau đây là sai?
A. B.
C. C.
Lời giải:
Đáp án D
Ta có . Vậy D sai.
STUDY TIP
Định nghĩa phép tịnh tiến: .
- Giả sử . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. . B.
C.. D. là hình bình hành.
Lời giải:
Đáp án D
Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
- Cho hai đường thẳng và cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến thành
A. Không. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Đáp án A
Lời giải:
Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên không có phép tịnh tiến nào biến thành .
- Cho hình vuông tâm . Gọi lần lượt là trung điểm . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến tam giác thành
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có
- Cho hình bình hành tâm . Kết luận nào sau đây là sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có . Vậy D sai
- Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình D), hình nào có phép tịnh tiến?
A. B. C. D.
Lời giải:
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một hướng xác định.
- Cho đường tròn có tâm và đường kính . Gọi là tiếp tuyến của tại điểm . Phép tịnh tiến theo vectơ biến thành:
A. Đường kính của đường tròn song song với .
B. Tiếp tuyến của tại điểm .
C. Tiếp tuyến của song song với .
D. Đường thẳng song song với và đi qua
Lời giải:
Đáp án B.
Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm .
- Cho hai điểm cố định trên đường tròn và thay đổi trên đường tròn đó, là đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm của là:
A. Đoạn thẳng nối từ tới chân đường cao thuộc của .
B. Cung tròn của đường tròn đường kính .
C. Đường tròn tâm bán kính là ảnh của qua .
D. Đường tròn tâm , bán kính là ảnh của qua .
Lời giải:
Đáp án D.
Kẻ đường kính là hình bình hành(Vì và cùng vuông góc với một đường thẳng)
.
Vậy thuộc đường tròn tâm , bán kính là ảnh của qua .
- Cho hình bình hành , hai điểm cố định, tâm di động trên đường tròn . Khi đó quỹ tích trung điểm của cạnh :
A. là đường tròn là ảnh của qua là trung điểm của .
B. là đường tròn là ảnh của qua là trung điểm của .
C. là đường thẳng .
D. là đường tròn tâm bán kính .
Lời giải:
Đáp án B.
Gọi là trung điểm của cố định.
Ta có .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
2. Xác định ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ .
Cách 1. Chọn hai điểm phân biệt trên , xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh .
Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương với nó.
Cách 3. Sử dụng quỹ tích.
Với mọi thì .
Từ biểu thức tọa độ ta được thế và phương trình ta được phương trình .
3. Xác định ảnh của một hình (đường tròn, elip, parabol…)
- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm thuộc hình , thì thuộc ảnh ’ của hình .
- Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích.
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ diểm là ảnh của qua phép tịnh tiến theo véctơ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Ta có .
STUDY TIP
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , biết là ảnh của qua phép tịnh tiến theo véctơ . Tìm tọa độ điểm .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có:
.
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm và điểm là ảnh cảu qua phép tịnh tiến theo véctơ . Tìm tọa độ véctơ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D.
Ta có: .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và véctơ . Ơ. Phép tịnh tiến theo véctơ biến thành hai điểm tương ứng. Tính độ dài .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có .
STUDY TIP
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho biết , , . Phép tịnh tiến theo véctơ biến thành tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm của là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có tọa độ trọng tâm là ; .
.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến trọng tâm của thành trọng tâm của
- Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đườn thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Cách 1:
Chọn .
Chọn .
đường thẳng chính là đường thẳng .
Đường thẳng qua và có một véctơ pháp tuyến có phương trình là:.
STUDY TIP
Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương.
Cách 2.
là hai đường thẳng cùng phương nên có dạng .
Chọn .
Vậy phương trình .
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Lấy .
Ta có
Thay vào ta được .
Vậy .
Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho nhiều loại hình khác nhau.
- Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đường tròn là ảnh cảu đường tròn qua với .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Ta có: đường tròn có tâm , bán kính .
Suy ra: .
Vậy đường tròn có tâm , bán kính có phương trình:
.
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
Gọi
Thế vào phương trình đường tròn , ta có:
Vậy .
Study Tip
Phương trình đường tròn có tâm bán kính
Phương trình đường tròn có tâm bán kính
- Cho vectơ sao cho khi tịnh tiến đồ thị theo vectơ ta nhận được đồ thị hàm số . Tính .
A. . B.. C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất thức ta được: .
Study Tip
Đồng nhất thức của 2 đa thức các hệ số của các đa thức tương ứng bằng nhau.
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , . Biết . Tìm tọa độ của vectơ để có thể thực hiện phép tịnh tiến biến điểm thành điểm
A. . B.. C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có:
Mà
Do đó: .
Study Tip
Ta có sơ đồ tổng quát:
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình bình hành với điểm , điểm thuộc đường thẳng . Tìm quỹ tích đỉnh ?
A. Là đường thẳng có phương trình .
B. Là đường thẳng có phương trình .
C. Là đường thẳng có phương trình .
D. Là đường tròn có phương trình .
Đáp án A.
Lời giải:
Vì hình bình hành nên
Vậy quỹ tích điểm là đường thẳng song song với . Ta tìm được phương trình .
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ có giá song song với biến thành đi qua
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Lời giải:
Véc tơ có giá song song với
Gọi
Thế vào phương trình mà đi qua nên .
- Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng và . Tìm tọa độ có phương vuông góc với và biến đường thẳng thành .
A. . B. . C. . D. .
Đáp án D.
Lời giải:
Gọi , ta có
Thế vào phương trình đường thẳng :
Từ giả thiết suy ra
Véc tơ chỉ phương của là . Do
Giải hệ và ta được .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
- Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó?
A. . B.. C. . D. Vô số.
- Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó?
A. . B.. C. . D. Vô số.
- Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó?
A. . B.. C. . D. Vô số.
- Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau đây?
A. Khoảng cách giữa hai điểm. B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.
C. Tọa độ của điểm. D. Diện tích.
- Với hai điểm phân biệt và với . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B.. C. . D..
- Cho hai đường thẳng và song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ biến thành ?
A. . B.. C. . D. Vô số.
- Cho hình bình hành . Phép tịnh tiến biến điểm thành điểm nào?
A. đối xứng với qua . B. đối xứng với qua .
C. là giao điểm của qua . D. .
- Cho tam giác có trọng tâm , . Mệnh đề nào là đúng?
A.là trung điểm .
B. trùng với .
C. là đỉnh thứ tư của hình bình hành .
D. là đỉnh thứ tư của hình bình hành .
- Cho lục giác đều tâm . Tìm ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ .
A.. B. . C. . D. .
- Cho hình bình hành tâm . Kết luận nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
- Cho hình vuông tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến thành ?
A.. B.. C.. D..
- Cho hình bình hành . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng và biến đường thẳng thành đường thẳng ?
A. . B.. C. . D. Vô số.
- Cho đường tròn và hai điểm . Một điểm thay đổi trên đường tròn . Tìm quỹ tích điểm sao cho .
A.. B. . C. . D. .
- Cho tứ giác lồi có , và .Tính độ dài .
A.. B. . C. . D. .
- Cho tứ giác có , . Tính độ dài .
A.. B. . C. . D. .
- Trên đoạn cố định dựng hình bình hành sao cho . Tìm quỹ tích đỉnh .
A. Đường tròn tâm , bán kính là . B. Đường tròn tâm , bán kính là .
C. Đường tròn tâm , bán kính là . D. Đường tròn tâm , bán kính là .
- Cho hai đường tròn có bán kính cắt nhau tại . Đường trung trực của cắt các đường tròn tại và sao cho nằm cùng một phía với . Tính .
A.. B. . C. . D. .
- Cho hai đường tròn có bán kính tiếp xúc ngoài với nhau tại . Trên đường tròn này lấy điểm , trên đường tròn kia lấy điểm sao cho . Độ dài bằng bao nhiêu?
A.. B. . C. . D. .
- Từ đỉnh của hình bình hành kẻ các đường cao và của nó biết . Khoảng cách từ đến trực tâm của tam giác có giá trị bằng bao nhiêu?
A. . B. . C.. D..
DẠNG 2. XAC DỊNH ẢNH CỦA MỘT DIỂM HOẶC HINH QUA PHEP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHAP TỌA DỘ
- Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ điểm là ảnh của điểm qua phép tịnh tiến theo vectơ
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ và điểm Hỏi là ảnh của điểm nào sau đây qua phép tịnh tiến theo vectơ
A. . B.. C.. D..
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , và . Tìm vectơ
A. . B.. C.. D..
- Trong mặt phẳng tọa độ, biết điểm là ảnh của điểm qua và điểm là ảnh của qua . Tìm tọa độ vectơ
A. . B.. C.. D..
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm lần lượt là ảnh của các điểm qua phép tịnh tiến theo vectơ . Tính độ dài vectơ
A.. B.. C.. D..
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có các điểm . là trọng tâm tam giác và phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm thành . Tìm tọa độ biết
A. . B.. C.. D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng và vectơ . Khi đó ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo vectơ là
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho và đường thẳng . Hỏi là ảnh của đường thẳng nào sau đây qua
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng và đường thẳng . Tìm tọa độ vectơ biết
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến theo
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho và đường tròn . Ảnh của qua phép tịnh tiến là
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho và đường cong . Ảnh của qua phép tịn tiến là
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho elip và véc tơ . Ảnh của qua phép tịn tiến là:
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ, với là những số cho trước, xét phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm trong đó: . Cho hai điểm , , gọi lần lượt là ảnh của qua phép biến hình . Khi đó khoảng cách giữa và bằng:
A. . B. .
C. . D. .
- Cho véc tơ sao cho khi phép tịnh tiến đồ thị theo véc tơ ta nhận đồ thị hàm số . Khi đó tích bằng:
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho và đường thẳng , . Tìm tọa độ có phương vuông góc với đường thẳng để là ảnh của qua phép tịnh tiến . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho phép biến hình xác định như sau: Với mỗi điểm ta có điểm sao cho thỏa mãn: . Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. là phép tịnh tiến theo . B. là phép tịnh tiến theo .
C. là phép tịnh tiến theo . D. là phép tịnh tiến theo .
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm . Gọi lần lượt là ảnh của qua phép tịnh tiến theo . Kết luận nào sau đây là đúng:
A. là hình vuông. B. là hình bình hành.
C. là hình bình hành. D. thẳng hàng.
- Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng có phương trình , và hai điểm . Lấy trên , trên trục hoành sao cho vuông góc với và nhỏ nhất. Tìm tọa độ , ?
A. . B. .
C. . D. .
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
- Đáp án D.
Khi véc tơ của phép tịnh tiến có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho thì sẽ có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó.
- Đáp án B.
Khi : Đường tròn có tâm thì biến đường tròn thành chính nó.
- Đáp án B.
Khi có một phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó.
- Đáp án C.
Khi tọa độ của véc tơ tịnh tiến .
- Đáp án B.
Ta chỉ ra được là hình bình hành
- Đáp án D.
Chẳng hạn lấy bất kỳ , thành nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn.
- Đáp án D.
Ta có .
- Đáp án C.
Ta có là hình bình hành.
- Đáp án B.
Ta có .
- Đáp án D.
Ta có nên đáp án D sai.
- Đáp án A.
Từ hình vẽ ta có .
- Đáp án B.
Từ hình vẽ ta có
với là các đoạn thẳng.
, với là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn.
- Đáp án A.
Ta có : .
Vậy tập hợp điểm là ảnh của đường tròn qua .
- Đáp án C.
Xét
Khi đó cân tại .
đều.
và
Do đó (áp dụng định lí cosin).
.
- Đáp án C.
Xét là hình bình hành.
và
Ta có
và là nửa tam giác đều.
Vậy cân tại .
- Đáp án D.
Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.
Cố định . Với
Từ giả thiết
(do ).
.
Suy ra quỹ tích là đường tròn tâm , bán kính ( là điểm đối xứng của qua )
Ta có
Vậy quỹ tích của là đường tròn tâm , bán kính .
- Đáp án C.
Giả sử trung trực cắt tại , cắt tại ( ở giữa )
(Bạn đọc tự vẽ hình)
Thực hiện phép trịnh tiến theo vectơ đường tròn biến thành đường tròn . vì vậy biến thành , biến trhành , biến thành .
là hình bình hành nội tiếp nên là hình chữ nhật. Vậy .
- Đáp án D.
(Bạn đọc tự vẽ hình).
Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ thì biến thành , thành . Vì vậy .
- Đáp án A.
Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ ta có :
biến thành , biến thành , biến thành
Ta có vuông tại và nên .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
- Đáp án B.
- Đáp án B.
Theo biểu thức tọa độ
- Đáp án B.
Ta có
- Đáp án A.
Ta có .
- Đáp án C.
Ta có .
- Đáp án A.
Ta tìm được
.
- Đáp án A.
Ảnh của có dạng
Chọn thế vào
.
- Đáp án D.
Điểm biến thành thay vào
.
- Đáp án C.
Chọn
Thử đáp án C (thỏa mãn)
- Đáp án B.
Đường tròn có tâm , bán kính
Ta có .
- Đáp án C.
Đường tròn có tâm , bán kính
Ta có
Vậy đường tròn ảnh là
- Đáp án B.
Sử dụng quỹ tích điểm : Thay vào ta được đáp án B.
- Đáp án A.
Sử dụng quỹ tích điểm : với mọi điểm
Thay vào ta được đáp án A.
- Đáp án A.
Ta có
.
- Đáp án C.
Ta có
.
- Đáp án C.
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là
, với
có dạng
Vì qua .
Để .
- Đáp án C.
Thật vậy theo biểu thức tọa độ của .
- Đáp án D.
thẳng hàng.
- Đáp án B.
Cách 1 : Thử các tọa độ ta được kết quả nhỏ nhất với và .
Cách 2 :
Gọi sao cho .
Gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
Gọi với
nhỏ nhất nhỏ nhất ( không đổi)
Dấu xảy ra khi
Lấy , điểm cần tìm là giao điểm của và trục hoành.
Gọi
Vì và cùng phương nên và .
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. LÝ THUYẾT
I. Phép đối xứng trục
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua một đường thẳng là phép biến hình biến điểm thành điểm đối xứng với qua đường thẳng .
Kí hiệu : (là trục đối xứng)
với là hình chiếu của trên .
là trung trực của đoạn .
2. Tính chất
Tính chất 1 : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
3. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng gọi là trục đối xứng của hình H nếu biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có trục đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ :
Nếu
Nếu
II. Phép đối xứng tâm
1. Định nghĩa
Cho điểm . Phép biến hình biến điểm thành chính nó, biến mỗi điểm khác thành sao cho là trung điểm được gọi là phép đối xứng tâm .
Kí hiệu: ( là tâm đối xứng)
Nếu .
Nếu là trung điểm của .
2. Tính chất
Tính chất 1 : Nếu và thì , từ đó suy ra .
Tính chất 2 : Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
3. Tâm đối xứng của một hình.
Điểm được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
4. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ , cho , gọi và với
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM
DẠNG 1. KHAI THÁC DỊNH NGHĨA, TINH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM.
Phương pháp :
- Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Tìm quỹ tích điểm thông qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Vận dụng đối xứng trục, đối xứng tâm để giải các bài toán hình học khác…
- Cho đường thẳng . Qua phép đối xứng trục , đường thẳng nào biến thành chính nó.
A. Các đường thẳng song song với .
B. Các đường thẳng vuông góc với .
C. Các đường thẳng hợp với một góc .
D. Các đường thẳng hợp với một góc .
Đáp án B.
Lời giải:
Giả sử là đường thẳng vuông góc với .
Lấy và và ngược lại vẫn thỏa mãn .
- Cho hai đường thẳng cắt nhau và . có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng này thành đường thẳng kia?
A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án C.
Có phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau và .
- Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình vuông có vô số trục đối xứng.
B. Hình chữ nhật có trục đối xứng.
C. Tam giác đều có vô số trục đối xứng .
D. Tam giác cân nhưng không đều có trục đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D.
Tam giác cân nhưng không đều có một trục đối xứng là đường cao ứng với đỉnh của tam giác cân đó.
- Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của hai đường chéo.
- Giải sử phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cắt . B. Nếu thì .
C. Nếu qua thì cắt . D. và cắt nhau tại .
Lời giải:
Đáp án B
Thật vậy, . Qua phép đối xứng tâm ta được ảnh là , .
- Mệnh đề nào sau đây là sai:
A. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có một tâm đối xứng.
B. Hình vuông có một tâm đối xứng.
C. Hình gồm hai đường tròn bằng nhau có một tâm đối xứng.
D. Đường elip có vô số tâm đối xứng.
Lời giải:
Đáp án D
Đường elip có một tâm đối xứng.
- Cho đường thẳng và hai điểm nằm cùng phía với . Gọi đối xứng với , đối xứng với qua . là điểm trên thỏa mãn nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai:
A. Góc giữa và bằng góc giữa và .
B. là giao điểm của và .
D. là giao điểm của và
Lời giải:
Đáp án D
Với do
.
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .
- Với mọi tứ giác , kí hiệu là diện tích tứ giác . Chọn mệnh đề đúng:
A. B.
C. D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Sử dụng phép đối xứng trục qua đường trung trực . Gọi đối xứng với qua trung trực của
Do ,
- Cho hai điểm phân biệt. Gọi là phép đối xứng qua . Với điểm bất kì, gọi , . Gọi là phép biến hình biến thành . Chọn mệnh đề đúng:
A. không là phép dời hình B. là phép đối xứng trục.
C. là phép đối xứng tâm. D. là phép tịnh tiến.
Lời giải:
Đáp án D
Ta có: , .
. Vậy là phép tịnh tiến theo vectơ .
- Cho và đường tròn tâm . Trên đoạn , lấy điểm sao cho , là trung điểm của và là đỉnh thứ tư của hình bình hành . Với mỗi điểm trên ta dựng điểm sao cho . Khi đó tập hợp điểm khi thay đổi là:
A. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua .
B. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua
C. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm
D. Đường tròn tâm là ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm .
Lời giải:
Đáp án A
Gọi là điểm xác định bởi .
Khi đó .
Mặt khác là hình bình hành nên nên .
Từ giả thiết hay
khi di động trên thì di động trên đường là ảnh của qua phép đối xứng tâm .
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp:
- Xác định ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
- Xác định ảnh của đường thẳng qua hình qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
Cách 1: Chọn hai điểm phân biệt trên , xác định ảnh tương ứng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh .
Cách 2:
Dựa vào vị trí tương đối của đường thẳng và trục đối xứng để tìm ảnh .
Áp dụng tính chất phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Với mọi điểm qua phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm sẽ biến thành .
Từ biểu thức tọa độ rút thế vào phương trình đường thẳng ta được phương trình đường thẳng ảnh .
- Xác định ảnh của một hình (đường tròn, elips, parabol..)
Sử dụng quỹ tích: với mọi điểm thuộc hình , qua phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm sẽ biến thành thì thuộc ảnh của hình .
Với đường tròn áp dụng tính chất phép đối xứng trục hoặc đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích.
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho phép biến hình .
Chọn mệnh đề đúng:
A. là phép đối xứng trục .
B. là phép đối xứng trục .
C. là phép đối xứng với trục đối xứng là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
D. là phép đối xứng trục với trục là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
Lời giải:
Đáp án C
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho phép đối xứng trục , với là đường thẳng có phương trình: . Lấy ; thành điểm có tọa độ bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C
Ta có . Gọi là trung điểm
là vectơ pháp tuyến của , và cùng phương và
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho . Tìm ảnh của qua phép đối xứng tâm .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C
Ta có: .
- Trong mặt phẳng tọa độ , phép đối xứng tâm biến thành thì có tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có:
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và .Phép đối xứng trục biến điểm thành có trục có phương trình:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có: là trung trực của
Gọi
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng . Ảnh của qua phép đối xứng trục tung có phương trình:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B
Lấy đối xứng với qua .
Vậy ảnh của qua phép đối xứng trục tung là:
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai đường thẳng , . Gọi là ảnh của qua phép đối xứng trục . Phương trình của là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A
Lấy qua phép đối xứng trục là .
Với
có phương trình
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng . Tìm ảnh đối xứng với qua đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A
Xét hệ phương trình:
Chọn . Gọi là ảnh của qua ta tìm được
là vectơ pháp tuyến của .
Vậy phương trình đường thẳng là:
- Trong mặt phẳng tọa độ , ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng tâm là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có:
Thế vào phương trình ta có:
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn có phương trình: . Tìm ảnh đường tròn của qua phép đối xứng trục .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Phương pháp quỹ tích: từ biểu thức tọa độ
.
Vậy phương trình đường tròn là .
Study tip: Phép đối xứng trục :
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn có phương trình: . Tìm ảnh đường tròn của qua phép đối xứng tâm .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Cách 1: Với mọi qua phép đối xứng tâm ta được
. Thế vào ta có:
Vậy đường tròn : .
Cách 2: Đường tròn có tâm , bán kính , .
Vậy đường tròn : .
PHÉP QUAY
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng cho điểm cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm
thành điểm sao cho và được gọi là phép quay tâm góc quay .
Kí hiệu: ( là tâm phép quay, là góc quay lượng giác).
Nhận xét:
- Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ).
- Với ta luôn có:
Phép quay:
là phép đồng nhất;
là phép đối xứng tâm.
Study tip:
2. Tính chất.
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 1: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Study tip. Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.
Nhận xét: Gọi là góc của phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng :
Góc nếu ; góc nếu .
3. Biểu thức tọa độ của phép quay
Trong mặt phẳng với hệ trục , xét phép quay
Trường hợp 1: Khi tâm quay trùng với gốc tọa độ .
Đặt và góc góc
Hay
Nếu thì
Study tip:
- Nếu
- Nếu
- Nếu
Trường hợp 2: Khi tâm quay . Ta có:
Study tip:
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP QUAY
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG PHÉP QUAY
Phương pháp chung:
- Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép quay.
- Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép quay.
- Tìm quỹ tích điểm thông qua phép quay.
- Các yếu tố liên quan đến phép quay là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông… từ đó ứng dụng phép quay để giải các bài toán hình học khác.
- Giả sử . Khi đó mệnh đề nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
với là góc lượng giác.
Trong khi đó đáp án A: (không là góc lượng giác)
- Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm , góc quay
A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án B.
khi tâm quay.
- Cho hình chữ nhật có tâm . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm , góc quay , , biến hình chữ nhật thành chính nó?
A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Lời giải:
Đáp án C.
Khi góc quay hoặc thì phép quay biến hình chữ nhật thành chính nó.
- Cho tam giác đều có tâm . Phép quay tâm , góc quay biến tam giác đều thành chính nó thì góc quay là góc nào sau đây:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
- Chọn giờ làm mốc, khi kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu độ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo chiều âm và được một góc là .
Study tip: Chiều dương của góc quay là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm của góc quay là chiều cùng chiều kim đồng hồ.
- Trong các chữ cái và số sau, dãy các chữ cái và số khi ta thực hiện phép quay tâm , góc quay thì ta được một phép đồng nhất ( là tâm đối xứng của các chữ cái hoặc số đó).
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có:
Study tip: Phép biến hình thành chính nó ta được phép đồng nhất.
- Cho hình vuông tâm , là trung điểm của , là trung điểm của . Tìm ảnh của tam giác qua phép quay tâm góc quay .
A. với lần lượt là trung điểm của .
B. với lần lượt là trung điểm của .
C. với lần lượt là trung điểm của .
D. với lần lượt là trung điểm của .
Lời giải:
Đáp án D.
Ta có:
là trung điểm .
là trung điểm .
- Gọi là tâm đối xứng của các hình . Khi thực hiện phép quay tâm góc quay thì hình nào luôn được phép đồng nhất?
A. B. C. D.
Lời giải:
Đáp án C.
Từ hình C ta có qua phép ta luôn được một hình là chính nó.
- Cho hình vuông có cạnh và có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Các đường chéo cắt nhau tại . Trên cạnh lấy . Xác định phép biến đổi thành biết là tâm quay.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có: lại có
tâm là giao điểm của trung trực và cung chứa góc đi qua .
- Cho đường thẳng và điểm cố định không thuộc , là điểm di động trên . Tìm tập hợp điểm sao cho tam giác đều.
A. chạy trên là ảnh của qua phép quay .
B. chạy trên là ảnh của qua phép quay .
C. chạy trên và lần lượt là ảnh của qua phép quay và .
D. là ảnh của qua phép quay .
Đáp án C
đềuvà
Vì vậy khi chạy trên thì chạy trên là ảnh của qua và chạy trên là ảnh của qua .
DẠNG 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay bằng phương pháp tọa độ
Phương pháp chung:
1.Xác định ảnh của một điểm qua phép quay.
- Sử dụng biểu thức tọa độ trong các biểu thức đã nêu.
2. Xác định ảnh của đường thẳng qua phép quay.
Cách 1: Chọn hai điểm phân biệt trên , Xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh .
Cách 2: Áp dụng tính chất phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng có góc hoặc (đơn vị radian)
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
- Với mọi điểm thì
- Từ biểu thức tọa độ rút thế vào phương trình đường thẳng ta được phương trình ảnh
3. Xác định ảnh của một hình (đường tròn, elip, parabol…)
- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm thuộc hình , thì thuộc ảnh của hình .
- Với đường tròn áp dụng tính chất phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính hoặc sử dụng quỹ tích.
- Trong mặt phẳng tọa độ , Qua phép quay tâm , góc quay biến điểm thành điểm nào?
A. B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B
Cách 1: Dùng biểu thức tọa độ
Cách 2: Vẽ biễu diễn tọa độ của điểm trên hệ trục .
Cách 3: Ta có
Nhận xét: Độc giả vận dụng cách 1 nhanh hơn, các cách 2 và cách 3 khá dễ hiểu nhưng dài hơn.
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm qua phép quay tâm , góc quay ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án A
Cách 1: Theo biểu thức tọa độ
Góc giữa 2 vecto:
Cách 2:
Giải hệ trên
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng có phương trình . Tìm ảnh của qua phép quay với là gốc tọa độ. ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B
Cách 1: Chọn ,
Đường thẳng là đường thẳng
Cách 2: Vì góc quay là có dạng
Chọn qua phép quay ta được
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Với mọi điểm ta có
Từ biểu thức tọa độ .Thế vào phương trình đường thẳng ta được :
- Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình đường tròn là ảnh của qua phép quay .
A. . B.
C. D.
Lời giải:
Đáp án A
Cách 1: Đường tròn có tâm , bán kính .
Đường tròn có tâm , bán kính có phương trình:
Cách 2: Phương pháp quỹ tích
Ta có với
Từ biểu thức tọa độ
Thế vào
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm và . Phép quay tâm biến thành và thành , ta có bằng:
A. . B. C. D.
Lời giải:
Đáp án D
Từ
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY
- Cho 2 đường thẳng bất kì và . Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng ?
A. không có phép nào. B. có 1 phép duy nhất.
C. chỉ có 2 phép. D. có vô phép số.
- Cho hình vuông tâm . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm góc , biến hình vuông thành chính nó ?
A. . B. . C. . D.
- Gọi là hình ảnh của qua tâm góc quay (biết không nằm trên ), đường thẳng song với khi:
A. . B. . C. . D. .
- Cho hai đường tròn cùng bán kính và tiếp xúc ngoài nhau. Có bao nhiêu phép quay góc biến hình tròn thành ?
A. . B. . C. . D. Vô số.
- Cho hình lục giác đều tâm . Tìm ảnh của tam giác qua phép quay tâm góc quay .
A.. B. . C. . D. .
- Chọn giờ làm mốc, khi đồng hồ chỉ năm giờ đúng thì kim giờ đã quay được một góc bao nhiêu độ ?
A. . B. . C. . D. .
- Cho hai đường thẳng và biết . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A . B. // . C. . D. .
- Cho hai điểm phân biệt và . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. . B. . C. . D. .
- Cho hai điểm phân biệt và . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. là trung điểm của đoạn . B. là trung điểm của đoạn .
C. là trung điểm của đoạn . D. .
- Cho đều (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây sai ?
A. . B. . C. . D. .
- Gọi là tâm hình vuông (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây sai ?
A. . B. .
C. . D. .
- Gọi là tâm ngũ giác đều (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây là sai ?
A. . B. . C. . D. .
- Gọi là tâm lục giác đều (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây là sai ?
A. . B. .
C. . D. .
- Cho hai tam giác vuông cân và có chung đỉnh sao cho nằm trên đoạn và nằm ngoài đoạn thẳng . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Xác định dạng của tam giác
A. cân. B. vuông. C. vuông cân. D. đều.
- Cho 3 điểm , , , điểm nằm giữa và . Dựng về phía đường thẳng các tam giác đều và . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Xác định dạng của .
A. cân. B. vuông. C. vuông cân. D. đều.
- Cho đường thẳng và điểm cố định không thuộc . là điểm di động trên . Xác định quỹ tích điểm sao cho đều.
A. với . B. với .
C. với . D. với .
- Cho hình vuông , , sao cho . Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. . B. . C. . D. .
- Cho . Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ,. Gọi lần lượt là tâm đối xứng của chúng, là trung điểm của . Xác định dạng của .
A. cân . B. vuông. C. vuông cân. D. đều.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG QUA PHÉP QUAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Biểu thức tọa độ của điểm là:
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Biểu thức tọa độ của điểm là:
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Biểu thức tọa độ của điểm là:
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Biểu thức tọa độ của điểm là:
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Biểu thức tọa độ của điểm là:
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình vuông tâm , biết điểm . Khi đó với , , thì bằng:
A. 12. B. 8. C. 16. D. 32.
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng : , điểm , phép quay . Xác định phương trình đường thẳng .
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ điểm là ảnh của qua phép quay .
- Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phép quay biến điểm thành điểm
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho phép quay tâm góc quay biến điểm thành điểm . Tìm .
A. . B. . C. D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho và đường thẳng . Tìm ảnh của qua
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn . Tìm ảnh đường tròn của qua .
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho phép quay tâm góc quay . Tìm ảnh của đường tròn .
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình các cạnh của biết , và .
A. . B. .
C. . D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG PHÉP QUAY
- Đáp án D.
- Đáp án D.
Thật vậy, các phép quay biến hình vuông thành chính nó:
- Đáp án D.
Khi , phép quay trở thành phép đối xứng tâm I .
- Đáp án B.
Gọi là tâm của phép quay, là tâm các đường tròn và .
. Vậy chỉ có 1 phép quay thỏa mãn.
- Đáp án D.
, , .
- Đáp án C.
Khi kim giờ chỉ đến năm giờ đúng thì kim giờ quay được đúng tức theo chiều âm.
- Đáp án D.
Vì góc quay 1200 nên góc giữa hai đường thẳng là: 1800 – 1200 = 600
- Đáp án D.
- Đáp án D.
- Đáp án C.
- Đáp án D.
- Đáp án C.
- Đáp án B.
- Đáp án C.
. Do đó và
- Đáp án D.
Phép quay tâm góc quay biến các điểm lần lượt thành biến đoạn thành nên biến trung điểm của thành trung điểm của và đều.
- Đáp án A.
Vì đều và cố định .
- Đáp án C.
Ta có: .
Vậy, .
Cần chứng minh: thẳng hàng và cân tại .
Thật vậy: . Mà
thẳng hàng.
Ta có: .
Có: (do ) cân tại
- Đáp án C.
Ta có: .
Mà và
là tam giác vuông cân.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP QUAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
- Đáp án B.
- Đáp án A.
- Đáp án A.
- Đáp án B.
- Đáp án A.
Vận dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm và góc quay ta được đáp án .
- Đáp án C.
Ta có: . là trung điểm ; là trung điểm
.
- Đáp án D.
Ta có:
Đường thẳng có dạng: . Vì đi qua nên
- Đáp án D.
Áp dụng biểu thức tọa độ
- Đáp án A.
Ta có:
(Do nằm ở góc phần tư thứ hai, nằm ở góc phần tư thứ nhất)
- Đáp án B.
Theo biểu thức tọa độ: . Do giá trị tọa độ
- Đáp án D.
Chọn 2 điểm . Gọi và là ảnh của qua . Áp dụng biểu thức tọa độ:
Gọi đi qua và có vtcp
- Đáp án C.
Đường tròn có tâm và bán kính .
Phương trình đường tròn
- Đáp án A.
Đường tròn có tâm và bán kính .
.
Phương trình đường tròn:
- Đáp án C.
Sử dụng tính chất của phép quay tâm thành . Khi đó ta được phương trình:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Nhận xét:
- Các phép Đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục và phép quay là những phép dời hình
- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
2. Tính chất.
Phép dời hình:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bào toàn thứ tự giữa chúng
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
3. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia
B. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH
- Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?
A. Phép biến mọi điểm thành điểm sao cho là trung điểm , với là điểm cố định cho trước.
B. Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d.
C. Phép biến mọi điểm thành điểm cho trước.
D. Phép biến mọi điểm thành điểm là trung điểm của đoạn , với là một điểm cho trước.
Lời giải:
Đáp án A
Với mọi điểm tương ứng có ảnh qua phép biến hình với quy tắc là trung điểm tương ứng Đây là phép dời hình.
- Xét hai phép biến hình sau, đâu là phép dời hình?
(I) Phép biến hình
(II) Phép biến hình
A. Chỉ phép biến hình (I).
B. Chỉ phép biến hình (II).
C. Cả hai phép biến hình (I) và (II).
D. Cả hai phép biến hình (I) và (II) đều không là phép dời hình.
Lời giải:
Đáp án A
Chọn hai điểm bất kỳ.
Xét phép biến hình có:
Xét tương tự với phép biến hình (II) không là phép dời hình.
- Cho hình vuông tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Phép dời hình nào sau đây biến tam giác thành tam giác ?
A. Phép tịnh tiến theo véc tơ .
B. Phép đối xứng trục .
C. Phép quay tâm góc quay .
D. Phép quay tâm góc quay .
Lời giải:
Đáp án D
Ta có:
- Cho hai hình bình hành. Hãy chỉ ra một đường thẳng chia hai hình bình hành đó thành hai phần bằng nhau.
A. Đường thẳng đi qua hai tâm của hai hình bình hành.
B. Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hai hình bình hành.
C. Đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành thứ nhất và một đỉnh của hình bình hành còn lại.
D. Đường chéo của một trong hai hình bình hành đó.
Lời giải:
Đáp án A
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho các điểm . Gọi là ảnh của qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm góc và phép tịnh tiến theo véc tơ . Khi đó tọa độ các đỉnh của là:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
- Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng Viết phương trình đường thẳng là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo véc tơ và phép quay tâm góc quay .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B.
;
là ảnh của qua phép đối xứng tâm .
Lời giải:
có dạng .
Chọn
Đường thẳng .
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép quay cùng tâm và phép thì kết quả là:
A. một phép đồng nhất. B. phép tịnh tiến.
C. phép quay tâm O góc quay . D. phép quay tâm O góc quay là .
Lời giải::
Gọi ,
Ta có: và
và hay .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
- Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?
A. Phép đồng nhất.
B. Phép chiếu lên một đường thẳng.
C. Phép biến mọi điểm M thành điểm O cho trước.
D. Phép biến mọi điểm M thành điểm là trung điểm của đoạn OM với O là điểm cho trước.
- Phép biến hình F là phép dời hình khi và chỉ khi:
A. F biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
B. F biến đường thẳng thành chính nó.
C. F biến đường thẳng thành đường thẳng cắt nó.
D. F biến tam giác thành tam giác bằng nó.
- Cho hai phép biến hình: , . Phép biến hình nào trong hai phép biến hình trên là phép dời hình.
A. Chỉ phép biến hình .
B. Chỉ phép biến hình .
C. Cả hai phép biến hình và .
D. Cả hai phép biến hình và đều không là phép dời hình.
- Cho một ngũ giác đều và một phép dời hình . Biết rằng và . Ảnh của điểm C là:
A. . B. . C. . D. .
- Cho hình chữ nhật và một phép dời hình trong mặt phẳng. Biết rằng qua phép dời hình tam giác biến thành tam giác , tam giác biến thành tam giác nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
- Trong mặt phẳng tọa độ , xét biến hình . Với giá trị nào của m thì là phép dời hình?
A. . B. . C. . D. không tồn tại m.
- Cho hai điểm phân biệt và là phép dời hình, biết . Giả sử N thuôc đường thẳng , và . Chọn khẳng định đúng?
A. . B. .
C. . D. Các khẳng định trên đều sai.
- Cho và điểm M thỏa mãn . là phép dời hình. Gọi , biết . Độ dài đoạn bằng:
A. . B. . C. . D. .
- Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hai hình bằng nhau thì luôn phải trùng khít lên nhau.
B. Hai hình bằng nhau khi có phép dời hình biến hình này thành hình kia.
C. Gọi A, B tương ứng là tập hợp điểm của hình và .
D. Hai hình trùng khít lên nhau thì luôn phải bằng nhau.
- Cho hai điểm A, B và phép dời hình thỏa mãn . Gọi C là điểm không thuộc đường thẳng AB. Biết và nằm cùng phía với . Với mọi M bất kì chọn khẳng định đúng.
A. và đối xứng nhau qua . B. và đối xứng nhau qua .
C. với mọi . D. .
- Trong mặt phẳng xét hình là hình gồm hai đường tròn tâm O và tâm có bán kính tương ứng là và (với ). Khi đó:
A. Đường nối tâm sẽ chia hình thành hai phần bằng nhau.
B. Đường vuông góc với đường nối tâm và đi qua trung điểm của sẽ chia hình thành hai phần bằng nhau.
C. Đường nối hai điểm bất kì (không trùng với ) với A thuộc , B thuộc sẽ chia hình thành hai phần bằng nhau.
D. Mỗi đường thẳng bất kì đi qua hoặc chia hình thành hai phần bằng nhau.
- Cho hình chữ nhật . Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. Hai hình thang và bằng nhau.
B. Hai hình thang và bằng nhau.
C. Hai hình thang và bằng nhau.
D. Hai hình thang và bằng nhau.
- Cho phép dời hình: Xác định ảnh của đường tròn qua phép dời hình .
A. . B. .
C. . D. .
- Trong mặt phẳng , cho các phép dời hình: và. Tìm tọa độ ảnh của điểm qua rồi đến , nghĩa là .
A. . B. . C. . D. .
- Mệnh đề nào sau đây là sai: Phép biến hình thực hiện:
A. qua hai phép đối xứng trục có các trục cắt nhau là một phép quay.
B. qua hai phép tịnh tiến ta được một phép tịnh tiến.
C. qua hai phép đối xứng tâm ta được phép tịnh tiến hoặc đối xứng tâm.
D. qua hai phép quay ta luôn được một phép đồng nhất.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
- Đáp án A.
Phép đồng nhất bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì
- Đáp án D.
biến tam giác thành tam giác bằng nó tức bảo toàn khoảng cách hay độ dài các cạnh.
- Đáp án C.
Xét hai điểm và qua hai phép biến hình và . Với phép biến hình ;
Tương tự với phép biến hình thì nên ta chọn đáp án C
- Đáp án D
Nếu ta có (do )
(do )
(do )
M thuộc đường tròn tâm C bán kính CA
M thuộc đường tròn tâm B bán kính
M thuộc đường tròn tâm A bán kính .
Vậy
- Đáp án B
Theo giả thiết
.
Ta xác định ảnh của D qua phép dời hình F.
Giả sử , ta có
Vậy điểm E là điểm chung của ba đường tròn. Đường tròn tâm B bán kính AD, tâm A bán kính BD và tâm D bán kính b.
Vậy hay qua F
- Đáp án D.
Lấy ta có:
F là phép dời hình .
Lấy điểm
(vô lí) . Nên F không là phép dời hình
- Đáp án C
Ta có F là phép đồng nhất
- Đáp án B.
Theo tính chất phép dời hình
Ta có:
, thế vào ta có:
- Đáp án A
Ví dụ: và phân biệt.
- Đáp án C
Gọi và nên theo tính chất phép dời hình ta có
Có 2 khả năng xảy ra: C và đối xứng với nhau qua hoặc
Theo giả thiết C và cùng phía so với .
Với mọi M ta vẽ đường thẳng qua M cắt AB, AC tại D và E. Theo câu 7: .
- Đáp án A
- Đáp án A
Ta có hình thang biến thành hình thang qua hai phép dời hình là phép tịnh tiến và phép đối xứng trục EH.
- Đáp án C
Ta có
.
Vậy phương trình là:
- Đáp án C
Ta có:
- Đáp án D
Thật vậy xét 2 phép quay: và (với tâm ) Không có phép đồng nhất thỏa mãn.
PHÉP VỊ TỰ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Cho điểm O cố định và số k không đổi, . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm sao cho được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Kí hiệu: (O là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự)
Nhận xét:
- Khi , và nằm cùng phía đối với điểm O
- Khi , và nằm khác phía đối với điểm O
Khi , và đối xứng nhau qua tâm O nên
- Khi phép vị tự trở thành phép đồng nhất
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới
- Bài tập trắc nghiệm dãy số cấp số cộng cấp số nhân phương pháp quy nạp có lời giải
- Bài tập trắc nghiệm giới hạn của dãy số, hàm số, tính liên tục có đáp án và lời giải
- Bài tập trắc nghiệm tổ hợp xác suất, nhị thức niu tơn có đáp án và lời giải
- Bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác có lời giải và đáp án
- Chuyên đề phương trình hệ phương trình lớp 10 có lời giải và đáp án