Bài tập trắc nghiệm dãy số cấp số cộng cấp số nhân phương pháp quy nạp có lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

Phương pháp quy nạp toán học

A. LÝ THUYẾT

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương là đúng với mọi mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với .

- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với .

B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

1. Với mối số nguyên dương , đặt . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Đáp án C.

Lời giải

Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi , ta có đẳng thức

- Bước 1: Với thì vế trái bằng , vế phải bằng .

Vậy đẳng thức đúng với .

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , tức là chứng minh

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với , tức là chứng minh

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

Mà

Suy ra

Do đó đẳng thức đúng với . Suy ra có điều phải chứng minh.

Vậy phương án đúng là C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n.

+ Với thì (loại được các phương án B và D);

+ Với thì (loại được phương án A).

Vậy phương án đúng là C.

STUDY TIP

Ngoài kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau:

1)

2)

3)

4)

5)

Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

1. Với mỗi số nguyên đặt Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A. . B. .

C. . D. .

1. Với mỗi số nguyên dương ta có trong đó là các hằng số. Tính giá trị của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

1. Tìm tất cả các số nguyên dương để .

A. . B. . C. . D. .

1. Tính tổng của tất cả các số nguyên dương thoả mãn .

A. . B. . C. . D. .

1. Đặt (có dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. . B. . C. . D. .

Đáp án B.

Lời giải

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

Bước 1: Với thì vế trái bằng , còn vế phải bằng .

Vậy đẳng thức đúng với .

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là .

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với , tức là chứng minh .

Thật vậy, vì nên theo giả thiết quy nạp ta có .

Mặt khác, nên .

Vậy phương án đúng là B.

STUDY TIP

Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm theo cách sau: kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của .

+ Với thì (loại ngay được phương án A, C và D).

Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 2, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi dưới đây:

1. Đặt (có dấu căn). Tìm để .

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Số hạng tổng quát của dãy số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Đặt ,với .Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.. B. . C. . D. .

Đáp án C.

Lời giải

Cách 1: Rút gọn biểu thức dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.

Với mọi số nguyên dương, ta có .

Do đó:.

Vậy phương án đúng là phương án C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.

Với thì (chưa loại được phương án nào);

Với thì (loại ngay được các phương án A,B và D.

Vậy phương án đúng là phương án C.

Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

1. Với ,biết rằng . Trong đó là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Với ,biết rằng . Trong đó là các số nguyên.Tính giá trị biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Biết rằng ,trong đó và là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình

A. . B. . C. . D. .

1. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho

A. . B. . C. . D. .

Đáp án D.

Lời giải

Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp ta dự đoán được với Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:

-Bước 1: Với thì vế trái bằng còn vế phải bằng

Do nên bất đẳng thức đúng với

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với nghĩa là

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với tức là phải chứng minh hay

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

Suy ra hay

Mặt khác với mọi

Do đó hay bất đẳng thức đúng với

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.

Vậy phương án đúng là D.

STUDY TIP

Dựa vào kết quả ví dụ 4, ta có thể đề xuất bài toán sau:

Tìm số nguyên tố nhỏ nhất sao cho:

A. . B. . C. . D. .

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

1. Tổng các góc trong của một đa giác lồi cạnh, , là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Với , hãy rút gọn biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Kí hiệu . Với , đặt . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. . B. . C. . D. .

1. Với , đặt và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. . B. . C. . D. .

1. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để với mọi số nguyên .

A.. B. . C. . D. .

1. Tìm tất cả các giá trị của sao cho .

A.. B. hoặc . C. D. hoặc .

1. Với mọi số nguyên dương , ta có: , trong đó là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Với mọi số nguyên dương , ta có: , trong đó là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Biết rằng . Tính giá trị biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Biết rằng mọi số nguyên dương , ta có và . Tính giá trị biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Biết rằng , trong đó là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:

, , và .

Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:

A.. B. . C. . D. .

1. Với , ta xét các mệnh đề chia hết cho ; chia hết cho và

chia hết cho . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :

A.. B. . C. . D. .

1. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương bất đẳng thức ”. Một học sinh đã trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với , ta có: và . Vậy đúng.

Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là ta có .

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với , nghĩa là phải chứng minh .

Bước 3 : Ta có . Vậy với mọi số nguyên dương .

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3.

1. Biết rằng , trong đó và là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức .

là :

A.. B. . C. . D. .

D. HƯỚNG DẪN GIẢI

1. Đáp án B.

Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng và tổng các góc trong từ giác bằng , chúng ta dự đoán được .

Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ thể là với thì (loại luôn được các phương án A, C và D); với thì (kiểm nghiệm phương án B lần nữa).

1. Đáp án A.

Để chọn được đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của .

Với thì (loại ngay được phương án B và C); với thì (loại được phương án D).

Cách 2: Bằng cách tính trong các trường hợp ta dự đoán được công thức .

Cách 3: Ta tính dựa vào các tổng đã biết kết quả như và . Ta có: .

1. Đáp án B.

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .

Với thì (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Cách 2: Rút gọn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện . Suy ra: .

1. Đáp án A.

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .

Với thì nên (loại ngay được các phương án B, C, D).

Cách 2: Chúng ta tính dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: . Suy ra .

1. Đáp án B.

Dễ thấy thì bất đẳng thức là sai nên loại ngay phương án D.

Xét với ta thấy là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng với mọi . Vậy là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.

1. Đáp án D.

Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.

Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng .

1. Đáp án B.

Cách 1: Với chú ý , chúng ta có:

=.

Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: .

Suy ra .

Cách 2: Cho ta được: .

Giải hệ phương trình trên ta được . Suy ra

1. Đáp án C.

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: . Suy ra .

Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: . Suy ra .

Cách 2: Cho ta được . Giải hệ phương trình trren ta được . Suy ra .

1. Đáp án B.

Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: . So sánh cách hệ số, ta được .

Cách 2: Cho , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn . Giải hệ phương trình đó, ta tìm được . Suy ra .

1. Đáp án C.

Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:

+) .

Suy ra .

+)

Suy ra .

Do đó .

Cách 2: Cho và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được ; .

Do đó .

1. Đáp án D.

Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có là sai.

1. Đáp án A.

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng chia hết cho 6.

Thật vậy: Với thì .

Giả sử mệnh đề đúng với , nghĩa là chia hết ccho 6.

Ta chứng minh mệnh đề đúng với , nghĩa là phỉa chứng minh chia hết cho 6.

Ta có: .

Theo giả thiết quy nạp thì chia hết cho 6 nên cũng chia hết cho 6.

Vậy chia hết cho 6 với mọi . Do đó các mệnh đề và cũng đúng.

1. Đáp án A.
2. Đáp án C.

Phân tích phần tử đại diện, ta có: .

Suy ra:

=.

Đối chiếu với hệ số, ta được: .

Suy ra: .

DÃY SỐ

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa:

Một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển trong đó hoặc viết tắt là .

Số hạng được gọi là số hạng đầu, là số hạng tổng quát (số hạng thứ ) của dãy số.

2. Các cách cho một dãy số:

Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây:

- Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

1. Cho dãy số với .

Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ của dãy số. Chẳng hạn, .

- Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

1. Cho dãy số xác định bởi và .
2. Cho dãy số xác định bởi .

Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của dãy số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.

- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hẩng dãy số.

1. Cho dãy số gồm các số nguyên tố.
2. Cho tam giác đều có cạnh bằng 4. Trên cạnh , ta lấy điểm sao cho . Gọi là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên ,… và cứ tiếp tục như thế, Xét dãy số với .

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:

Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có với mọi .

Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi .

Dãy số được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có với mọi

.

1. a) Cho dãy số với là một dãy số tăng.

Chứng minh: Ta có .

Suy ra hay .

Vậy là một dãy số tăng.

b) Dãy số với là một dãy số giảm.

Chứng minh:

Cách 1: Ta có . Suy ra hay

.Vậy là một dãy số giảm.

Cách 2: Với , ta có nên ta xét tỉ số .

Ta có nên . Vậy là một dãy số giảm.

c) Dãy sốvới không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số giảm vì không xác định được dương hay âm. Đây là dãy số đan dấu.

STUDY TIP

Để chứng minh dãy số là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta thường sử dụng một trong 2 hướng sau đây:

(1): Lập hiệu . Sử dụng các biến đổi đại sốvà các kết quả đã biết để chỉ ra (dãy số tăng) hoặc (dãy số giảm)

(2): Nếu thì ta có thể lập tỉ số . Sử dụng các biến đổi đại số và các kết quả đã biết để chỉ ra (dãy số tăng),(dãy số giảm).

4. Dãy số bị chặn

Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho .

Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho .

Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số , sao cho .

Ví dụ 7:

a) Dãy số với là một dãy số bị chặn vì .

b) Dãy số với là một dãy số bị chặn vì .

c) Dãy số với bị chặn dưới vì .

d) Dãy số với ( dấu căn), bị chặn trên vì .

STUDY TIP

1) Nếu là dãy số giảm thì bị chặn trên bởi .

2) Nếu là dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi .

B. Các bài toán điển hình

1. Cho dãy số xác định bởi . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Đáp án C

Lời giải

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

+ Ta có

+ Ta có .

+ Ta có .

+ Ta có .

Vậy phương án đúng là C.

Nhận xét: Từ kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây

Cho dãy số xác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:

Câu 1: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để

Câu 2: Số hạng thứ 2017 của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. . B.. C. . D..

1. Cho dãy số xác định bởi . Số hạng thứ 201 của dãy số có giá trị bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Đáp án A

Lời giải

Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.

Ta có .

Từ đây chúng ta có thể dự đoán . Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

Với thì và . Vậy đẳng thức đúng với .

Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là .

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với , nghĩa là chứng minh .

Thật vậy, ta có (theo hệ thức truy hồi).

Theo giả thiết quy nạp thì nên .

Vậy đẳng thức đúng với . Suy ra .

Từ kết quả phần trên, ta có : nếu thì .

Ta có nên .

Vậy phương án đúng là A.

Nhận xét: Việc chứng minh được hệ thức giúp ta giải quyết được bài toán tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát hiện ra tính chất đặc biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúngta cùng kiểm nghiệm qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây nhé:

Cho dãy sốxác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:

1. Tính tổng S của sáu số hạng đầu tiên của dãy

A. . B. . C. . D. .

1. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để

A. . B. . C. . D. .

1. Tính tổng S của 2018 số hạng đầu tiên của dãy

A. . B. . C. . D. .

1. Tính tổng bình thường của 2018 số hạng đầu tiên của dãy

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .

A. . B. . C. . D. .

Đáp án D

Lời giải

Ta có .

Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được . Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được . Vậy phương án đúng là D.

Nhận xét: Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm dưới đây:

Cho dãy số xác định bởi . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:

1. Rút gọn biểu thức ta được

A. . B. . C. . D. .

1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. Dãy sốlà dãy số giảm. B. Dãy sốkhông là dãy số giảm.

C. Dãy sốlà dãy số tăng. D. Dãy sốkhông là dãy số tăng.

1. Rút gọn biểu thức

A. . B. . C. . D. .

STUDY TIP

Ngoài cách làm bên, ta có thể kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua việc xác định một vài số hạng đầu của dãy

+ Với thì loại ngay được phương án A.

+Ta có thì loại ngay được các phương án B và C.

1. Cho dãy số có tổng của số hạng đầu tiên bằng . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. là dãy số tăng và .

B. là dãy số giảm và .

C. là dãy số tăng và .

D. là dãy số tăng và .

Đáp án A.

Lời giải

Ta có và .

Suy ra .

Ta có và .

Do đó .

Dấu bằng chỉ xảy ra khi hay . suy ra dãy số là dãy số tăng.

Vậy phương án đúng là A.

1. Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng thứ 15 của dãy số .

A. . B. .

C. . D. .

Đáp án A

Lời giải

Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số .

Đặt khi đó .

Từ hệ thức truy hồi suy ra .

Như vậy ta có .

Ta có ; . Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng , suy ra . Do đó . Vậy suy ra phương án đúng là A.

STUDY TIP

Dãy số xác định bởi

-Nếu thì số hạng tổng quát của dãy số là .

-Nếu thì số hạng tổng quát của dãy số là .

Cho dãy số xác định bởi và . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.

1. Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số lần lượt là:

A. . B. . C. . D. .

1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số .

A. . B. . C. . D. .

1. Số có là số hạng của dãy số không, nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Không. B. Có, . C. Có, . D. Có, .

1. là một dãy số:

A. Giảm và bị chặn trên. B. Tăng và bị chặn trên.

C. Tăng và bị chặn dưới. D. Giảm và bị chặn dưới.

1. Cho dãy số xác định bởi và . Số hạng thứ của dãy là số hạng nào?

A. . B. . C. . D. .

Đáp án A

Lời giải

+ Ta có .

Do đó ta có và .

Từ hệ thức truy hồi của dãy số , ta có .

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:

.

+ Ta có .

Do đó ta có: và .

Từ hệ thức truy hồi của dãy số , ta có .

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:

.

+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình:

.

Do đó số hạng tổng quát của dãy số là .

Vậy suy ra . Vậy phương án đúng là A.

Nhận xét: Với kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây:

Cho dãy số xác định bởi và . Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.

1. Tính số hạng thứ năm của dãy số .

A. . B. . C. . D. .

1. Số hạng tổng quát của dãy số là:;

A. . B. .

C. . D. .

STUDY TIP

Dãy số xác định bởi và , với mọi , trong đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là và . Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là , trong đó thỏa mãn hệ phương trình .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Số là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

A. . B. . C. . D.

Đáp án A.

Lời giải

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có:

.

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là .

Giải phương trình ta được

Vậy phương án đúng là A.

STUDY TIP

Dãy số xác định bởi và .

Số hạng tổng quát của dãy số được tính theo công thức: .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. là một dãy số giảm và bị chặn.

B. là một dãy số tăng và bị chặn.

C. là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

D. là một dãy số tăng và không bị chặn trên.

Đáp án A

Lời giải

Ta có . Do đó ta loại được các phương án B và D.

+ Ta có nên .

Suy ra nên là dãy số giảm.

+ Vì là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi .

Ta có .

Vậy phương án đúng là A.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số

1. Cho dãy số có . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi . Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Khi đó bằng:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số có . Số là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số  ?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số có . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số .

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số có . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số .

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Tổng của số hạng đầu tiên của dãy số là:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Số hạng tổng quát của dãy số là:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. . B. . C. . D. .

Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số.

1. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ?

A. Dãy , với .

B. Dãy , với .

C. Dãy , với .

D. Dãy , với .

1. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ?

A. Dãy , với . B. Dãy với .

C. Dãy , với . D. Dãy , với .

1. Cho dãy số với . Dãy số là dãy số tăng khi:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho hai dãy số với và với . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. là dãy số giảm, là dãy số giảm.

B. là dãy số giảm, là dãy số tăng.

C. là dãy số tăng, là dãy số giảm.

D. là dãy số tăng, là dãy số tăng.

Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số.

1. Cho dãy số , với . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. Dãy bị chặn trên và không bị chặn dưới.

B. Dãy bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. Dãy bị chặn trên và bị chặn dưới.

D. Dãy không bị chặn.

1. Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ?

A. Dãy , với .

B. Dãy , với .

C. Dãy , với .

D. Dãy , với .

1. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ?

A. Dãy , với .

B. Dãy , với .

C. Dãy , với .

D. Dãy , với .

1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới ?

A. Dãy , với .

B. Dãy , với .

C. Dãy , với .

D. Dãy , với .

Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.

1. Cho dãy số , xác định bởi: . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho dãy số , với . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi . Mệnh đề nào dưới đây là sai ?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho .

A. . B. . C. . D. .

1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào SAI ?

A. Dãy số xác định bởi và là một dãy số không đổi.

B. Dãy số , với , có tính chất .

C. Dãy số , với , là một dãy số bị chặn.

D. Dãy số , với , là một dãy số giảm.

1. Cho dãy số xác định bởi và có tính chất

A. Là dãy số tăng và bị chặn dưới. B. Là dãy số giảm và bị chặn trên.

C. Là dãy số giảm và bị chặn dưới. D. Là dãy số tăng và bị chặn trên.

1. Cho dãy số xác định bởi và Tổng là

A. . B. C. D.

1. Cho dãy số xác định bởi Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số . Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D.

1. Cho dãy số thỏa mãn khi có giá trị nguyên dương lớn nhất.

A. B. C. D.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số

1. Đáp án C.

Ta có nên

1. Đáp án A.

Ta có (loại phương án B và D) và (loại phương án C).

1. Đáp án D.

Ta có nên loại các phương án còn lại.

1. Đáp án B.

Ta có Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng . Do đó .

1. Đáp án D.

Ta có . Suy ra

1. Đáp án D.

Giải phương trình ta được

1. Đáp án B.

Ta có Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.

1. Đáp án A.

Ta có Dấu bằng xảy ra khi

Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng .

1. Đáp án A.

Ta tính được

1. Đáp án A.

Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Ta có

Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.

Phương án A:

Cách 3: Với loại các phương án còn lại B, C, D.

1. Đáp án A.

Ta có và

Suy ra

Suy ra Do đó

Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng giảm của dãy số

1. Đáp án B.

• Dãy số là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
• Với dãy , ta có (do Vì nên là một dãy số tăng.
• Dãy số là một dãy số giảm vì
• Dãy số là một dãy số giảm vì

1. Đáp án C.

• Dãy số là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
• Dãy số là một dãy số tăng vì
• Dãy số là một dãy số giảm vì
• Dãy số là một dãy số tăng vì

1. Đáp án B.

Ta có Xét hiệu

là dãy tăng khi và chỉ khi

1. Đáp án D.

Ta có và nên là dãy số tăng.

Ta có nên cũng là dãy số tăng.

Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số

1. Đáp án C.

Ta có nên là một dãy số tăng. Suy ra nó bị chặn dưới bởi . Lại do nên dãy số bị chặn trên bởi 1.

1. Đáp án D.

• Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
• Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
• Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
• Dãy số là dãy số bị chặn vì

1. Đáp án B.

• Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
• Dãy số có nên dãy số là dãy số bị chặn.
• Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi
• Dãy số là dãy đan dấu và lớn tùy ý khi đủ lớn, còn nhỏ tùy ý khi đủ lớn.

1. Đáp án C.

• Dãy số là dãy đan dấu và lớn tùy ý khi đủ lớn, nhỏ tùy ý khi đủ lớn.
• Dãy số là dãy số giảm và nhỏ tùy ý khi đủ lớn.
• Dãy số là dãy số tăng nên nó bị chặn dưới bởi
• Dãy số là dãy đan dấu và lớn tùy ý khi đủ lớn, nhỏ tùy ý khi đủ lớn.

Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.

1. Đáp án A.

Ta có .

• Phương án A:
• Phương án B:
• Phương án C:
• Phương án D:

1. Đáp án D.

• Phương án A:
• Phương án B:
• Phương án C:
• Phương án D:

1. Đáp án C.

• Phương án A:

• Phương án B:
• Phương án C:
• Phương án D:

Lưu ý: Quan sát vào các chỉ số dưới của số hạng tổng quát, ta thấy ở C có sự khác biệt so với ba phương án trên nên ta có thể kiểm tra ngay phương án C trước.

1. Đáp án A.

Sáu số hạng đầu tiên của dãy là 1;2;0;1;2;0.

Từ đây ta dự đoán Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được rằng

Mặt khác nên

1. Đáp án B.

Trước hết ta kiểm tra phương án với nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của

Dễ dàng thấy nên phương án A là sai.

Cách 1: Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy ta được

Từ đây ta dự đoán được

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được Vậy số nguyên dương cần tìm là

Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng Như vậy 6 là số nguyên dương nhỏ nhất để Do đó

Suy ra số cần tìm là

1. Đáp án D.

• Phương án A: Ta có . Từ đây ta dự đoán

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng Suy ra là dãy số không đổi. Do đó phương án A đúng.

• Phương án B: Ta có

Vậy Do đóphương án B là đúng.

• Phương án C: Ta có nên dãy số là dãy số không đổi. Suy ra là dãy số bị chặn. Do đó phương án C là đúng.
• Phương án D: Ta có Suy ra khẳng định là một dãy số giảm là khẳng định sai.

1. Đáp án C.

Ta có Từ đó ta tính được

Do nên là dãy số giảm

Ta có nên là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C.

1. Đáp án B.

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có Suy ra

Do đó

Vậy

1. Đáp án A.

Dựa vào chu kì của hàm số ta có

Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là

Suy ra Do đó

1. Đáp án C.

Dễ chỉ ra được Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có

Suy ra

Do đó

Vậy Vì nên

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để là . Vì vậy phương án đúng là C.

CẤP SỐ CỘNG

A. LÝ THUYẾT

I. ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi .

Số không đổi được gọi là công sai của cấp số cộng.

Đặc biệt, khi thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

1. Nếu là một cấp số cộng với công sai , ta có công thức truy hồi

2) Cấp số cộng là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai .

3) Cấp số cộng là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai .

STUDY TIP

Để chứng minh dãy số là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh là một hằng số với mọi số nguyên dương .

Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:

.

Lời giải

Vì

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số là một cấp số cộng với công sai

Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) Dãy số , với ; b) Dãy số , với ;

c) Dãy số , với ; d) Dãy số , với .

Lời giải

a) Ta có nên

Do đó là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .

b) Ta có nên

Suy ra là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .

c) Ta có nên (phụ thuộc vào giá trị của ). Suy ra không phải là một cấp số cộng.

d) Ta có nên (phụ thuộc vào giá trị của ).

Suy ra không phải là một cấp số cộng.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng có 7 số hạng với số hạng đầu và công sai . Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.

Lời giải

Ta có

Vậy dạng khai triển của cấp số cộng là

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG.

Định lý 1.

Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức:

(2)

STUDY TIP

Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra nhận xét sau:

Cho cấp số cộng biết hai số hạng và thì số hạng đầu và công sai được tính theo công thức:

(1) :

(2) :

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng có và .

a) Tìm .

b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Lời giải

a) Ta có

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

Vì nên

Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG.

Định lý 2.

Trong một cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

với . (3)

STUDY TIP

Một cách tổng quát, ta có:

Nếu là cấp số cộng thì .

Ví dụ 5.

a) Cho cấp số cộng có và . Tìm .

b) Cho cấp số cộng . Tính giá trị của biểu thức .

Lời giải

a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có nên .

b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có và .

Vì nên

Vậy .

IV. TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG.

Định lý 3.

Cho một cấp số cộng . Đặt . Khi đó:

(4) hoặc (5)

STUDY TIP

1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính khi biết số hạng đầu và số hạng thứ của cấp số cộng.

2) Để tính được , thì công thức (5) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần tìm được số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng . Chúng ta cần biết ba đại lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng còn lại. Tuy nhiên, theo các công thức tính thì các bài toán về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng .

Ví dụ 6. Cho cấp số cộng có và .

a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Biết , tìm .

Lời giải

Ta có

a) Ta có .

b) Vì nên

Giải phương trình bậc hai trên với nguyên dương, ta tìm được

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG

1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. Dãy số , với .

B. Dãy số , với .

C. Dãy số , với .

D. Dãy số , với .

Lời giải

Đáp án C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số

Ba số này không lập thành cấp số cộng vì

- Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số

Ba số này không lập thành cấp số cộng vì

- Phương án C: Ta có

Do đó, nên là cấp số cộng.

- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số

Ba số này không lập thành cấp số cộng.

STUDY TIP

1) Để chứng minh dãy số là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh là một hằng số với mọi số nguyên dương .

2) Để chỉ ra dãy số không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số hạng liên tiếp của dãy số không lập thành một cấp số cộng.

1. Cho cấp số cộng có và . Tìm số hạng .

A.. B.. C.. D. .

Lời giải

Đáp án C.

Ta có công sai của cấp số cộng là .

Suy ra .

Vậy phương án đúng là C.

STUDY TIP

Với việc biết được số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, chúng ta hoàn toàn xác định được các yếu tố còn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát, thứ tự của số hạng và tổng của số hạng đầu tiên. Tham khảo các bài tập sau.

Nhận xét: Cụ thể chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho cấp số cộng có và . Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho?

A. 17. B. 16. C. 18. D. 19.

Câu 2: Cho cấp số cộng có và . Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho cấp số cộng có và . Tính tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 4: Cho cấp số cộng có và . Biết rằng tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng 18, tìm .

A. . B. . C. . D..

1. Cho cấp số cộng có và . Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

A.. B. . C.. D. .

Lời giải

Đáp án D.

Ta có .

Ta có hệ phương trình .

Vậy phương án đúng là D.

1. Cho cấp số cộng . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. với .

B. với .

C. với .

D. .

Lời giải

Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A: Ta có

.

Do đó A là phương án đúng.

+ Phương án B: Ta có

.

Do đó B là phương án đúng.

+ Phương án C: Ta có

Do đó C là phương án đúng.

+ Phương án D: Ta có

Vậy phương án D sai.

STUDY TIP

Qua ví dụ này, chúng ta lưu ý một số tính chất của cấp số cộng như:

1) với .

2) với .

3) với .

Do đó C là phương án đúng.

+ Phương án D: Ta có . Vậy D là phương án sai.

1. Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Tính tổng của số hạng đầu tiên của dãy số đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Từ công thức truy hồi của dãy số , ta có là một cấp số cộng với công sai . Do đó tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

Vậy chọn phương án A.

1. Cho cấp số cộng có công sai và đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Đặt thì với mọi .

Dấu bằng xảy ra khi .Suy ra .

Ta có . Vậy phương án đúng là C.

Nhận xét: Từ kết quả bài tập này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:

1. Cho cấp số cộng có công sai và đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ của cấp số cộng đó.

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng có công sai và đạt giá trị nhỏ nhất. Số là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng có công sai và đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng có công sai , trong đó là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng Tính tổng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .

Suy ra là số hạng thứ của cấp số cộng.

Do đó . Vậy B là phương án đúng.

Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có thể giải quyết các câu hỏi sau đây:

Câu 1. Cho cấp số cộng Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. Cho cấp số cộng Tìm biết .

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cần viết thêm vào giữa hai số và bao nhiêu số hạng để thu được một cấp số cộng hữu hạn có tổng các số hạng bằng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho cấp số cộng có và . Số hạng thứ của cấp số cộng đó là số nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có . Vì lập thành cấp số cộng nên . Suy ra . Thay vào phương trình đã cho, ta được

- Điều kiện đủ:

+ Với thì ta có phương trình (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó không phải giá trị cần tìm.

+ Với , ta có phương trình

Ba nghiệm lập thành một cấp số cộng nên là giá trị cần tìm.

Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi chọn được phương án đúng.

Trước hết, ta kiểm tra phương án A và D (vì nguyên).

+ Với thì ta có phương trình (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó không phải giá trị cần tìm.

+ Với , ta có phương trình

Ba nghiệm lập thành một cấp số cộng nên là giá trị cần tìm.

STUDY TIP

Phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là là nghiệm của phương trình. Giải điều kiện này ta có hệ thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là . Trong thực hành giải toán, chúng ta cũng chỉ cần ghi nhớ điều kiện cần là là nghiệm của phương trình.

1. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: , tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Đặt . Khi đó ta có phương trình: .

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có nghiệm dương phân biệt

(do tổng hai nghiệm bằng nên không cần điều kiện này).

+ Với điều kiện trên thì có hai nghiệm dương phân biệt là .

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: .

Suy ra ta có hệ phương trình .

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Do đó .

Suy ra phương án đúng là C.

1. Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Lời giải

Gọi là giá của mét khoan thứ , trong đó

Theo giả thiết, ta có và với .

Ta có là cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .

Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là

(đồng).

Vậy phương án đúng là A.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. . B. . C. . D. .

1. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

A. Dãy số với .

B. Dãy số với .

C. Dãy số với .

D. Dãy số với .

1. Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

B. Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

C. Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

D. Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng.

1. Cho cấp số cộng xác định bởi . Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng có . Tính .

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng có . Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng có . Tính giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng với . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A. hoặc . B. hoặc . C. hoặc . D. hoặc .

1. Cho cấp số cộng có công sai và đạt giá trị nhỏ nhất. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng ?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

1. Viết sáu số xen giữa và để được một cấp số cộng có tám số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho hai cấp số cộng và Hỏi trong số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của .

A. . B. . C. . D. .

1. Biết rằng tồn tại các giá trị của để ba số lập thành một cấp số cộng, tính tổng các giá trị đó của .

A. . B. . C. . D. .

Dạng 3: Bài tập về tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

1. Cho cấp số cộng có và tổng của số hạng đầu tiên là . Cấp số cộng trên có

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số cộng có . Tính tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

A. . B. . C. . D. .

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.

1. Cho cấp số cộng . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Ba số lập thành một cấp số cộng.

B. Ba số lập thành một cấp số cộng.

C. Ba số lập thành một cấp số cộng.

D. Ba số lập thành một cấp số cộng

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

A. . B. . C. . D. .

1. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bình phương của hai giá trị đó.

A. . B. . C. . D. .

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

A. . B. . C. . D. .

1. Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị của tham số để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

1. Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân . Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm bậc, một bậc cao . Kí hiệu là độ cao của bậc thứ so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao .

A. . B. . C. . D. .

1. Người ta trồng cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?

A. hàng. B. hàng. C. hàng. D. hàng.

1. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

A. ô. B. ô. C. ô. D. ô.

1. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

A. triệu đồng. B. triệu đồng. C. triệu đồng. D. triệu đồng.

1. Trên tia lấy các điểm sao cho với mỗi số nguyên dương , . Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia , vẽ các nửa đường tròn đường kính , Kí hiệu là diện tích nửa đường tròn đường kính và với mỗi , kí hiệu là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính , nửa đường tròn đường kính và tia . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Dãy số không phải là một cấp số cộng.

B. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .

C. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .

D. Dãy số không phải là một cấp số cộng có công sai .

1. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đồ thị của hàm số . Với mỗi số nguyên dương , gọi là giao điểm của đồ thị với đường thẳng . Xét dãy số với là tung độ của điểm . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .

B. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .

C. Dãy số là một cấp số cộng có công sai .

D. Dãy số không phải là một cấp số cộng.

1. Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai . Trên mặt phẳng tọa độ , lấy các điểm sao cho với mỗi số nguyên dương , điểm có tọa độ . Biết rằng khi đó tất cả các điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương trình của đường thẳng đó.

A. . B. . C. . D.

D. HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng

1. Đáp án B.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

- Phương án A: .

- Phương án B: .

Vậy dãy số ở phương án B là cấp số cộng.

1. Đáp án C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

- Phương án A: Ta có nên là cấp số cộng.

- Phương án B: Ta có nên là cấp số cộng.

- Phương án C: Ta có nên không là cấp số cộng.

- Phương án D: Ta có (do ) nên là cấp số cộng.

1. Đáp án C.

Theo giả thiết, ta có: .

Suy ra hoặc lập thành một cấp số cộng. Do đó phương án đúng là C.

Dạng 2: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng

1. Đáp án A.

Ta có là cấp số cộng có công sai nên số hạng đầu là

Suy ra số hạng tổng quát là .

1. Đáp án A.

Gọi là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:

Suy ra .

1. Đáp án B.

Ta có và . Suy ra

Vậy .

1. Đáp án A.

Ta có .

Suy ra . Do đó .

1. Đáp án A.

Ta có hoặc .

+ Giải , ta được .

+ Giải , ta được .

1. Đáp án A.

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là .

Nếu thì .

Vậy là số hạng thứ của cấp số cộng.

1. Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có .

1. Đáp án A.

Theo giả thiết, ta có

Suy ra .

Vậy số cần viết thêm là .

1. Đáp án B.

Ta có

Để một số là số hạng chung của cả hai cấp số cộng thì ta phải có .

Suy ra , tức là và .

Lại do nên .

ứng với giá trị của , ta tìm được số hạng chung.

1. Đáp án B.

Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai nên số hạng tổng quát là

Giả sử . Khi đó

Theo giả thiết, ta có .

1. Đáp án A.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

+) .

+)

Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và ta tìm được nghiệm

Do đó .

Dạng 3: Bài tập về tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

1. Đáp án B.

Ta có .

.

Do đó ta có hệ phương trình .

Ta có

Vậy đáp án đúng là B.

1. Đáp án A.

Ta có

.

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.

1. Đáp án A.

Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.

Ta có: .

- Phương án A: Ta có:

- .

- Vậy đáp án A.

1. Đáp án A.

Theo giả thiết ta có:

Suy ra ba số hoặc lập thành một cấp số cộng. Do đó đáp án là. A.

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.

1. Đáp án B.

Áp dụng kết quả ở phần lí thuyế, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là hay .

Với thì phương trình đã cho trở thành .

Bốn số lập thành một cấp số cộng nên là giá trị cần tìm.

1. Đáp án A.

ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là hay

Với , ta có phương trình . Phương trình nàu có 4 nghiệm là lập thành cấp số cộng.

Với , ta có phương trình . Phương trình này có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng.

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó .

1. Đáp án D.

Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là là nghiệm của phương trình.

Suy ra .

Với , ta có phương trình .

Ba số lập thành cấp số cộng.

Vậy các giá trị cần tìm là . Do đó D là phương án đúng.

1. Đáp án A.

Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: là nghiệm của phương trình.

Suy ra

Với thì nên .

Do vậy, với ta có phương trình .

Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng.

Vậy là các giá trị cần tìm.

Do đó

1. Đáp án A.

Ký hiệu là độ cao của bậc thứ so với mặt sân.

Khi đó, ta có (mét), trong đó (mét). Dãy số lập thành một cấp số cộng có và công sai . Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là (mét).

1. Đáp án A.

Giả sử trồng được hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là .

Theo giả thiết ta có .

1. Đáp án B.

Kí hiệu là số hạt dẻ ở ô thứ .

Khi đó, ta có và .

Dãy số là cấp số cộng với và công sai nên có .

Theo giả thiết, ta có .

Suy ra bàn cờ có 100 ô. Do đó B là đáp án đúng.

1. Đáp án B.

Kí hiệu là mức lương của quý thứ làm việc cho công ty. Khi đó và .

Dãy số lập thành cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .

Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là (triệu đồng).

1. Đáp án B.

Bán kính đường tròn có đường kính là .

Diên tích nửa đường tròn đường kính là .

Suy ra .

Ta có .

Do nên là cấp số cộng với công sai .

Suy ra B là phương án đúng.

1. Đáp án B.

Ta có trong đó .

Do nên là một cấp số cộng với công sai .

Suy ra B là phương án đúng.

1. Đáp án A.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là .

Nhận thấy toạ độ của các điểm đều thoả mãn phương trình nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm là .

Suy ra A là phương án đúng.

CẤP SỐ NHÂN

A. LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.

Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Đặc biệt:

1. Khi thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
2. Khi thì cấp số nhân có dạng
3. Khi thì với mọi cấp số nhân có dạng

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

Nếu là một cấp số nhân với công bội , ta có công thức truy hồi (1)

STUDY TIP

1) Để chứng minh dãy số là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ tồn tại một số không đổi sao cho .

2) Trong trường hợp để chứng minh là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ ra tỷ số là một số không đổi với mọi số nguyên dương n.

3) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng liên tiếp của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân.

Lời giải

Ta có

Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số là một cấp số nhân với công bội .

Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

a) Dãy số , với b) Dãy số , với

c) Dãy số , với d) Dãy số , với

Lời giải

a) Cách 1: Ba số hạng đầu của dãy số là 1, 4, 9. Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân.

Cách 2: Ta có nên (phụ thuộc vào n không phải là số không đổi). Do đó, không phải là cấp số nhân.

b) Ta có nên (là số không đổi). Do đó, phải là cấp số nhân với công bội .

c) Ta có nên (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).

Do đó không phải là một cấp số nhân.

d) Ba số hạng đầu của dãy số là Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Viết 6 số hạnh đầu của cấp số nhân và tính tổng của 6 số hạng đó.

Lời giải

Ta có

Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Định lý 1.

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức: (2)

STUDY TIP

Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra kết quả sau:

Cho cấp số nhân với các số hạng khác 0. Khi đó ta có:

1)

2)

Ví dụ 4. Cho cấp số nhân có và

a) Tìm .

b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho?

Lời giải

a) Ta có

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

Vì nên

Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Ví dụ 5. Cho cấp số nhân có và Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

Lời giải

Gọi q là công bội của cấp số nhân .

Ta có

+ Với và , ta có số hạng tổng quát là

+ Với và , ta có số hạng tổng quát là

3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Định lý 2.

Trong một cấp số nhân , bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

(3)

STUDY TIP

Một cách tổng quát, ta có:

Nếu là cấp số nhân thì

Ví dụ 6.

a) Cho cấp số nhân có và . Tìm .

b) Cho cấp số nhân . Tính giá trị của biểu thức .

Lời giải

a) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có Suy ra hoặc .

b) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có và .

Giải ra ta được hoặc .

+ Với thì

+ Với thì

Vậy hoặc

4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Định lý 3.

Cho một cấp số nhân với công bội Đặt . Khi đó:

hoặc

STUDY TIP

1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính khi biết số hạng đầu và công bội q của cấp số nhân.

2) Công thức (5) được sử dụng để tính trong trường hợp biết các số hạng và công bội q của cấp số nhân.

Ví dụ 7.

a) Tính tổng

b) Cho cấp số nhân có và công bội . Tìm k, biết .

Lời giải

a) Ta có dãy số lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Cấp số nhân này có 13 số hạng. Do đó

b) Ta có

Theo giả thiết, ta có

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN

1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số , với .

B. Dãy số , với .

C. Dãy số , với .

D. Dãy số , với .

Lời giải

Đáp án B

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là

Ba số này không lập thành cấp số nhân vì

- Phương án B: Ta có nên là cấp số nhân

- Phương án C: Ta có (phụ thuộc vào n, không phải là không đổi)

Do đó không phải là cấp số nhân.

- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là . Nhận thấy ba số này không lập thành cấp số nhân nên dãy số không là cấp số nhân.

1. Cho cấp số nhân có và . Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Đáp án B

Ta có công bội của cấp số nhân là

Suy ra .

Vậy phương án đúng là B.

Nhận xét: Với dữ kiện của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:

1. Cho cấp số nhân có và . Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho.

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số nhân có và . Tìm tổng S của 50 số hạng đầu tiên cấp số nhân đã cho.

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số nhân có và . Biết rằng , tính .

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số nhân có Tìm và công bội

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có

Suy ra Vậy phương án đúng là A.

1. Cho cấp số nhân có tổng số hạng đầu tiên là Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có và

STUDY TIP

1) Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba:

Nếu phương trình bậc ba có ba nghiệm thì:

2) Trong thực hành giải toán, chúng ta sử dụng kết quả này kết hợp với giả thiết của bài toán để tìm ra nghiệm của phương trình hoặc xác định được mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình.

Trường hợp nếu là hằng số thì điều kiện cần để phương trình bậc ba nói trên có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là là nghiệm của phương trình bậc ba đó.

1. Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ của cấp số nhân đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Gọi là công bội của cấp số nhân

Ta có

Suy ra Phương án đúng là B.

Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau:

1. Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là

A. B.

C. D.

1. Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đó?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

A. B. C. D.

1. Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Biết tìm .

A. B. C. D.

1. Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là và diện tích toàn phần là Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.

A. B. C. D.

Lời giải

Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là

Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là

Theo giả thiết, ta có

Với hoặc thì kích thước của hình hộp chữ nhật là

Suy ra tổng của ba kích thước này là cm.

Vậy phương án đúng là D.

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân:

A. B.

C. hoặc D. hoặc

Lời giải

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có . Suy ra ta có

+ Điều kiện đủ: Với và thì nên ta có phương trình

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị

Vậy, và là các giá trị cần tìm. Do đó phương án

STUDY TIP

Ta có thể chỉ ra nghiệm bằng cách khác:

Theo định lý Vi-ét thì

Theo tính chất của cấp số nhân thì Suy ra

Thay được Thay vào ta được

Nhận xét: Từ kêt quả của ví dụ này, ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:

1. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: Tính tổng bình phương của hai giá trị đó.

A. . B. . C. . D. .

1. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: . Tính tổng bình phương của ba số hạng của cấp số nhân đó.

A. . B. . C. . D. .

1. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ

A. B. C. D.

Lời giải

Đặt và

Gọi là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ

Khi đó ta có

Suy ra là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội

Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là

Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:

mét khối gỗ.

Vậy phương án đúng là D.

1. Bài toán “Lãi kép”
   Một người gửi số tiền triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây?

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Lời giải

Đặt (đồng) và

Gọi là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau năm.

Theo giả thiết, ta có

Do đó dãy số là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội Suy ra

Vì vậy, sau năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là

Vậy phương án đúng là A.

1. Một người gửi ngân hàng triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất một tháng (kể từ tháng thứ , tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó và tiền gốc của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có triệu đồng?

A. tháng. B. tháng. C. tháng. D. tháng.

Lời giải

Theo ví dụ , thì sau tháng gửi tiết kiệm, ta có

trong đó

Do đó

Cách 1: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

+ Phương án A: (đồng).

+ Phương án B: (đồng).

+ Phương án C: (đồng).

Vậy, phương án đúng là B. (Không cần kiểm tra phương án D vì ở phương án D, số tháng ít hơn ở phương án C nên số tiền sẽ ít hơn nữa).

Cách 2: Theo giả thiết, ta có (đồng).

Do đó, ta có

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được hay

Do đó Vậy phương án đúng là B.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.

1. Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?

A. B.

C. D.

1. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số với B. Dãy số với

C. Dãy số với D. Dãy số với

1. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.

A. B. C. D.

Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.

1. Cho dãy số xác định bởi và Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

A. B. C. D.

1. Cho cấp số nhân có và Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

A. hoặc B. hoặc

C. hoặc D. hoặc

1. Cho cấp số nhân có và Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó.

A. B. C. D.

1. Cho cấp số nhân Tìm và

A. hoặc B. hoặc

C. hoặc D. hoặc

1. Cho cấp số nhân có và tìm và

A. và B. và

C. và D. và

1. Cho cấp số nhân có và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân đó.

A. B. C. D.

1. Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.

A. B. C. D.

1. Cho cấp số nhân có Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

A. B. C. D.

1. Cho cấp số nhân có và Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Dạng 3: Bài tập về tổng số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

1. Cho cấp số nhân có và Tìm

A. hoặc B. hoặc

C. hoặc D. hoặc

1. Cho cấp số nhân có và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

A. B. C. D.

1. Cho cấp số nhân có công bội dương và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

A. B. C. D.

1. Cho cấp số nhân có . Tính

A. B. C. D.

Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân.

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân:

A. B. C. D.

1. Biết rằng tồn tại hai giá trị và để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

1. Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?

A. B. C. D.

1. Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?

A. (đồng) B. (đồng)

C. (đồng) D. (đồng)

1. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?

A. nghìn người. B. nghìn người.

C. nghìn người. D. nghìn người.

1. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

A. tế bào. B. tế bào. C. tế bào. D. tế bào.

1. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là tính diện tích mặt trên cùng.

A. B. C. D.

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.

1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?

A. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

B. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

C. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

D. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

1. Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm và

A. hoặc B. hoặc

C. hoặc D. hoặc

1. Ba số lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính

A. hoặc B. hoặc

C. hoặc D. hoặc

D. HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.

1. Đáp án

Các dãy số trong các phương án và đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án thì 3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án không phải là cấp số nhân.

1. Đáp án

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.

+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.

+ Phương án Ta có nên dãy số là một cấp số nhân.

+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.

1. Đáp án

Các kiểm tra như câu 2.

Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.

1. Đáp án

Ta có: nên là cấp số nhân có công bội Suy ra số hạng tổng quát là

Vậy phương án đúng là

1. Đáp án

Ta có hoặc

Do đó là phương án đúng.

1. Đáp án

Ta có: hoặc

Với thì

Với thì

Vậy Suy ra là phương án đúng.

1. Đáp án

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

Với thì với thì

Vậy phương án đúng là

1. Đáp án

Ta có: nên theo giả thiế, ta có:

Suy ra Vậy đáp án là

1. Đáp án

Gọi là công bội của cấp số nhân .

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

Suy ra

Vậy phương án đúng là

1. Đáp án

Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.

+ Phương án Các góc không lập thành cấp số nhân vì

+ Phương án Các góc lập thành cấp số nhân và Hơn nữa, nên là phương án đúng.

+ Phương án và Kiểm tra như phương án

Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là trong đó

Theo giả thiết, ta có nên

Suy ra các góc của tứ giác là

Vì tổng các góc trong tứ giác bằng nên ta có:

Do đó, phương án đúng là (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc ).

1. Đáp án

Ta có

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được

Lại có

Vì nên

Vậy phương án đúng là

1. Đáp án

Ta có (do ).

Do nên

Suy ra

Vậy phương án đúng là

Dạng 3: Bài tập về tổng số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

1. Đáp án

Ta có

Vì nên Do đó

hoặc

+ Với thì

Suy ra

+ Với thì

Suy ra

Vậy phương án đúng là

1. Đáp án

Gọi là công bội của cấp số nhân. Khi đó

Dấu bằng xảy ra khi

Suy ra:

Vậy phương án đúng là

1. Đáp án

Gọi là công bội của cấp số nhân,

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi

Ta có

Do đó Vậy phương án đúng là

1. Đáp án

Ta có

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được Lại có

Vì nên Suy ra

Vậy phương án đúng là

Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân

1. Đáp án

Cách 1: Ta có

Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là là nghiệm của phương trình.

Thay vào phương trình đã cho, ta được

Với ta có phương trình

Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên là giá trị cần tìm. Vậy, là phương án đúng.

Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

1. Đáp án

Ta có

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là phải là nghiệm của phương trình đã cho.

Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số nên và là các giá trị thỏa mãn

Suy ra

Vậy phương án đúng là

1. Đáp án

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng là:

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng là:

Suy ra phương án đúng là

Suy ra phương án đúng là B.

1. Đáp án D.

Số tiền ban đầu là (đồng).

Đặt .

Số tiền sau tháng thứ nhất là .

Số tiền sau tháng thứ hai là .

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là .

Do đó .

1. Đáp án C.

Đặt và .

Gọi là số dân của tỉnh sau năm nữa.

Ta có: .

Suy ra là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .

Do đó số dân của tỉnh sau năm nữa là: .

1. Đáp án C.

Lúc đầu có tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với và công bội .

Do cứ phút phân đôi một lần nên sau giờ sẽ có lần phân chia tế bào. Ta có là số tế bào nhận được sau giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau giờ là .

1. Đáp án A.

Gọi là diện tích đế tháp và là diện tích bề mặt trên của tầng thứ , với . Theo giả thiết, ta có .

Dãy số lập thành cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .

Diện tích mặt trên cùng của tháp là .

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.

1. Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A:Ta có Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).

+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).

+ Phương án D: Ta có: . Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .

1. Đáp án A.

+ Ba số lập thành cấp số cộng nên .

+ Ba số lập thành cấp số nhân nên .

Thay vào ta được hoặc .

Với thì ; với thì .

1. Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có .

Kết hợp với giả thiết , ta suy ra .

Gọi là công sai của cấp số cộng thì và .

Sau khi thêm các số vào ba số ta được ba số là hay .

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có .

Giải phương trình ta được hoặc .

Với , cấp số cộng . Lúc này .

Với , cấp số cộng . Lúc này .