Bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác có lời giải và đáp án

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHỦ ĐỀ 1:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A. LÝ THUYẾT

1. Giá trị lượng giác của cung .

Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung có sđ :

Hình 1.1

Gọi với tung độ của là , hoành độ là thì ta có:

Các giá trị , , , được gọi là các giá trị lượng giác của cung .

Các hệ quả cần nắm vững

1. Các giá trị ; xác định với mọi . Và ta có:

1. ;
2. xác định với mọi .
3. xác định với mọi .

Dấu của các giá trị lượng giác của cung phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung trên đường tròn lượng giác (hình 1.2).

Hình 1.2

Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau

Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác

2. Công thức lượng giác

Công thức cơ bản Cung đối nhau

Công thức cộng Cung bù nhau

Công thức đặc biệt

Góc nhân đôi Góc chia đôi

Góc nhân ba Góc chia ba

Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. LÝ THUYẾT

1. Hàm số và hàm số .

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với của góc lượng giác có số đo rađian bằng được gọi là hàm số , kí hiệu là .

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với của góc lượng giác có số đo rađian bằng được gọi là hàm số , kí hiệu là .

Tập xác định của các hàm số là .

1. Hàm số

Nhận xét: Hàm số là hàm số lẻ do hà số có tập xác định là đối xứng và

Hàm số tuần hoàn với chu kì .

Sự biến thiên:

Sự biến thiên của hàm số trên đoạn được biểu thị trong sơ đồ (hình 1.4) phía dưới:

Bảng biến thiên:

Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn như sau:

Đồ thị hàm số:

Nhận xét: Do hàm số là hàm số lẻ trên và tuần hoàn với chu kì nên khi vẽ đồ thị hàm số trên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa , ta được đồ thị hàm số trên đoạn , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ dài

GHI NHỚ

Hàm số

- Có tập xác định là .

- Có tập giá trị là .

- Là hàm số lẻ.

- Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

- Có đồ thị là một đường hình sin.

- Tuần hoàn với chu kì .

- Đồng biến trên mỗi khoảng .

- Nghịch biến trên mỗi khoảng .

1. Hàm số

Ta thấy nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái một đoạn có độ dài , ta được đồ thị hàm số .

Bảng biến thiên của hàm số trên .

Đồ thị hàm số :

GHI NHỚ

Hàm số :

- Có tập xác định là .

- Là hàm số chẵn.

- Là một đường hình sin.

- Đồng biến trên mỗi khoảng .

- Nghịch biến trên mỗi khoảng .

Đọc thêm

Hàm số là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở vì:

Và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.

Tương tự hàm số cũng là một hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin.

Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa trong môn Vật lý chương trình 12.

2. Hàm số và hàm số

Hình 1.7

Với , quy tắc đặt tương ứng mỗi số với số thực được gọi là hàm số tang, kí hiệu là . Hàm số có tập xác định là .

Với , quy tắc đặt tương ứng mỗi số với số thực được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là . Hàm số có tập xác định là .

Nhận xét: - Hai hàm số và hàm số là hai hàm số lẻ.

- Hai hàm số này là hai hàm số tuần hoàn với chu kì .

a) Hàm số

Hình 1.8

Sự biến thiên: Khi cho tăng từ đến thì điểm chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ đến (không kể và ). Khi đó điểm thuộc trục tang sao cho chạy dọc theo , nên tăng từ đến (qua giá trị khi ).

Giải thích: vì

Nhận xét: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng . Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số:

Nhận xét: Do hàm số là hàm số lẻ trên và tuần hoàn với chu kì nên khi vẽ đồ thị hàm số trên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên , sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ , ta được đồ thị hàm số trên , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và sang phải theo trục hoành.

Hình 1.9

GHI NHỚ

Hàm số :

- Có tập xác định - Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là

- Đồng biến trên mỗi khoảng

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận

b) Hàm số

Hàm số có tập xác định là một hàm số tuần hoàn với chu ki .

Tương tự khảo sát như đối với hàm số ở trên thì ta có thể vẽ đồ thị hàm số như sau:

Hình 1.10

GHI NHỚ

Hàm số :

- Có tập xác định: - Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì - Có tập giá trị là

- Đồng biến trên mỗi khoảng

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng làm một đường tiệm cận.

B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác

Dạng 1: Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác

CHÚ Ý

A. Với hàm số cho bởi biểu thức đại số thì ta có:

1. , điều kiện: * có nghĩa

* có nghĩa và .

2. , điều kiện: có nghĩa và .

3. , điều kiện: có nghĩa và .

B. Hàm số xác định trên , như vậy

xác định khi và chỉ khi xác định.

* có nghĩa khi và chỉ khi xác định và .

* có nghĩa khi và chỉ khi xác định và .

STUDY TIP

Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:

1. Hàm số và xác định trên .

2. Hàm số xác định trên .

3. Hàm số xác định trên .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

Chọn A.

Lời giải

Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi .

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số tại và ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A.

STUDY TIP

Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số tồn tại hai góc có số đo là và cùng thỏa mãn chính vì thế ta kết luận được điều kiện như vậy.

Cách bấm như sau:

Nhập vào màn hình :

Ấn r gán thì máy báo lỗi, tương tự với trường hợp .

Từ đây suy ra hàm số không xác định tại và .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

Chọn C.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định khi

+ xác định

+

.

1. Tập hợp không phải là tập xác định của hàm số nào?

A. . B. . C. . D. .

Chọn C.

Lời giải

Phân tích: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một chút thì sẽ thấy hàm xác định với mọi . Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây có đến ba phương án có mẫu số có chứa như nhau là và . Do đó ta chọn được luôn đáp án

Trong ví dụ trên ta có thể gộp hai họ nghiệm và thành dựa theo lý thuyết sau:

Hình 1.11

Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác

được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác.

được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trên đường tròn lượng giác.

được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.

được biểu diễn bởi điểm cách đều nhau, tạo thành đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.

Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có

Trên hình 1.11 hai chấm tròn đen là điểm biểu diễn hai nghiệm ta tìm được ở ví dụ 3. Từ đây nếu gộp nghiệm lại thì ta sẽ có .

1. Tìm tập xác định của hàm số

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Hàm số đã cho xác định khi xác định

1. Tập xác định của hàm số là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có

2017 là một số nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi xác định .

1. Tập xác định của hàm số là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Tương tự như ví dụ 5, ta có hàm số xác định khi xác định

.

1. Tập xác định của hàm số là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Hàm số xác định khi

Mặt khác ta có nên .

1. Tập xác định của hàm số là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có ,. Vậy hàm số đã cho xác đinh với mọi .

Một dạng khác của bài toán liên quan đến tìm tập xác định của hàm lượng giác như sau:

1. Để tìm tập xác định của hàm số , một học sinh đã giải theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là .

Bước 2: .

Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .

Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?

A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.

Lời giải

Chọn B.

Nhận thấy hàm số đã cho xác định khi xác định (do xác định với mọi ).

Do vậy hàm số xác định khi .

1. Hàm số xác định khi và chỉ khi

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Hàm số đã cho xác định (do ).

Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.

Với (là tập xác định của hàm số ) thì

. .

.

1. Cho hàm số .Tất cả các giá trị của tham số để hàm số xác định với mọi số thực (trên toàn trục số) là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Xét hàm số

.

Đặt .

Hàm số xác định với mọi

.

Đặt trên .

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.

Ta thấy hoặc

Ycbt

.

1. Tìm để hàm số xác định trên .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Hàm số xác định trên khi và chỉ khi .

Đặt

Lúc này ta đi tìm điều kiện của để

Ta có

TH 1: . Khi đó (thỏa mãn).

TH 2: (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).

TH 3: khi đó tam thức có hai nghiệm phân biệt .

Để thì .

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của .

Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số , còn khoảng hai nghiệm thì trái dấu với hệ số .

Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác.

Định Nghĩa.

Cho hàm số xác định trên tập .

a, Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi thuộc , ta có và .

b, Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi thuộc , ta có và .

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số, khi đó

Nếu là tập đối xứng (tức ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

Nếu không phải tập đối xứng(tức là mà ) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Bước 2: Xác định :

Nếu thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.

Nếu thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.

Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:

1, Hàm số là hàm số lẻ trên .

2, Hàm số là hàm số chẵn trên .

3, Hàm số là hàm số lẻ trên .

4, Hàm số là hàm số lẻ trên .

1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.

Xét A: Do tập xác định nên .

Ta có . Vậy hàm số là hàm số chẵn.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp và .

Với A: Nhập vào màn hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp (hình bên trái) và trường hợp (hình bên phải) đều đưa kết quả giống nhau. Vì ta chọn luôn A.

1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số thì là

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Tập xác định .

Ta có

. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp và .

Với A: Nhập biểu thức của hàm số vào màn hình sử dụng CALC với trường hợp (hình bên trái) và trường hợp (hình bên phải), ta thấy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số , ta được là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Lời giải

Chọn D.

Cách 1:

Ta có .

Ta có tập xác định .

Hàm số vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Tương tự các bài toán trên ta nhập hàm số và sử dụng CALC để thử thì thấy cả hai trường hợp đều ra kết quả là 0. Mà vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ vừa là hàm hằng nên ta chọn D.

1. Cho hai hàm số và . Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?

A. Hai hàm số là hai hàm số lẻ.

B. Hàm số là hàm số chẵn; hàm số là hàm số lẻ.

C. Hàm số là hàm số lẻ; hàm số là hàm số không chẵn không lẻ.

D. Cả hai hàm số đều là hàm số không chẵn không lẻ.

Lời giải

Chọn D.

a, Xét hàm số có tập xác định là .

Ta có nhưng nên không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

b, Xét hàm số có tập xác định là . Dễ thấy không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Vậy chọn D.

1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số , với . Hàm số là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Lời giải

Chọn C.

Hàm số có tập xác định .

Ta có .

Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.

1. Cho hàm số , với . Xét các biểu thức sau:

1, Hàm số đã cho xác định trên .

2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.

3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Hàm số đã xác định khi Vậy phát biểu sai.

Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.

Ta có tập xác định của hàm số trên là là tập đối xứng.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B.

1. Cho hàm số Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho có tập xác định

B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.

D. Hàm số có tập giá trị là

Lời giải

Chọn B.

Hàm số đã cho xác định trên tập nên ta loại A.

Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy ta chọn đáp án B.

1. Xác định tất cả các giá trị của tham số để hàm số là hàm chẵn.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Cách 1:

TXĐ: Suy ra

Ta có

Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Với bài toán này ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để thử các giá trị. Với A và C, ta thử một trường hợp để loại hai đáp án còn lại, tương tự với B và D. Ở đây ta sử dụng CALC để thử tại giá trị và

Ví dụ: Nhập vào màn hình như hình bên.

Ấn CALC để gán các giá trị cho m. Ta thử với thì ấn

Chọn bất kì, sau đó làm lại lần nữa và gán cho ban đầu và so sánh (ở đây ta thử với và tại

Ta thấy Vậy C đúng. Ta chọn luôn C và loại các phương án còn lại.

DẠNG 3. Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng:

1. Hàm số

* Đồng biến trên các khoảng

* Nghịch biến trên các khoảng

1. Hàm số

* Đồng biến trên các khoảng

* Nghịch biến trên các khoảng

1. Hàm số đồng biến trên các khoảng
2. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa.

1. Xét hàm số trên đoạn Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng và

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; nghịch biến trên khoảng

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; đồng biến trên khoảng

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là và nên ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.

Ấn

Máy hiện thì ta nhập . START? Nhập END? Nhập STEP? Nhập

Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng

1. Xét hàm số trên đoạn Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và

B. Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng

D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng và

Lời giải

Chọn B.

Theo lý thuyết ta có hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên khoảng Từ đây ta có với hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng

Tiếp theo ta đến với hàm số Ta có ví dụ 3.

1. Xét sự biến thiên của hàm số trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng

Lời giải

Chọn A.

Tập xác định của hàm số đã cho là

Hàm số tuần hoàn với chu kì dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên

Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số đồng biến trên khoảng và

1. Xét sự biến thiên của hàm số trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

Lời giải

Chọn D.

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên

Ta có hàm số

* Đồng biến trên khoảng

* Nghịch biến trên khoảng

Từ đây suy ra hàm số

* Nghịch biến trên khoảng

* Đồng biến trên khoảng Từ đây ta chọn D.

Dưới đây là đồ thị của hàm số và hàm số trên

1. Xét sự biến thiên của hàm số Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là

D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng

Lời giải

Chọn B.

Cách 1:

Ta có

Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn

Ta có:

* Hàm số đồng biến trên khoảng

* Hàm số nghịch biến trên khoảng Từ đây ta chọn A.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Tương tự như ở ví dụ 1, ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải

bài toán.

Ấn

Máy hiện thì ta nhập . Chọn STAR; TEND; STEP

phù hợp ta sẽ có kết quả như hình dưới:

Từ bảng giá trị của hàm số trên ta thấy khi chạy từ đến thì

giá trị của hàm số tăng dần, tức là hàm số đồng biến trên khoảng

Phân tích thêm: Khi chạy từ đến thì giá trị của hàm số giảm dần, tức là

hàm số nghịch biến trên khoảng

1. Chọn câu đúng?

A. Hàm số luôn luôn tăng.

B. Hàm số luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số tăng trong các khoảng

D. Hàm số tăng trong các khoảng

Lời giải

Chọn B.

Với A ta thấy hàm số không xác định tại mọi điểm nên tồn tại các điểm làm

cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng.

Với B ta thấy B đúng vì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

Từ đây loại C và D.

1. Xét hai mệnh đề sau:

(I) : Hàm số giảm.

(II) : Hàm số giảm.

Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả 2 sai . D. Cả 2 đúng .

Lời giải

Chọn B.

Cách 1:

Như bài toán xét xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy

Lúc này ta có

Ta thấy thì

. Vậy là hàm tăng.

Tương tự ta có là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng.

Cách 2:

Sử dụng lệnh TABLE để xét xem hàm số tăng hay giảm trên máy tính.

Với hàm ta nhập MODE 7: TABLE ( )

Nhập hàm như hình bên:

START? ; END? . STEP? .

Của hàm số như hình bên. Ta thấy giá trị của hàm số tăng dần khi x chạy từ đến . Nên ta kết luận trên hàm số tăng.

Tương tự với II và kết luận.

1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. đồng biến trong .

B. là hàm số chẵn trên .

C. có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

D. luôn nghịch biến trong .

Lời giải

Chọn B.

Ta được đồ thị như hình vẽ trên. Ta thấy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên . Nên ta loại A và D.

Với B ta có hàm số là hàm số chẵn.

Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B.

DẠNG 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.

*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số xác định trên miền .

1. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu
2. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:

1. Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa và .
3. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
4. Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.
5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

A. B.

C. D.

Phân tích

Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau:

Bước 1: Chỉ ra

Bước 2 : Chỉ ra sao cho .

Kết luận :

Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Hàm số xác định trên .

Ta có

.

Ta có khi ; khi .

Vậy .

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị là .

Chỉ có hai giá trị min là 1;-1.

Lúc này ta sử dụng chức năng SHIFT CALC để thử giá trị:

Ví dụ ta nhập vào màn hình ta thấy phương trình có nghiệm.

Tương tự nhập ta thấy phương trình có nghiệm.

Từ đây ta chọn B.

1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

A. B.

C. D. .

Lời giải

Chọn A.

Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ở trong STUDY TIP ta đưa ra ở trên, ta sẽ đưa về theo hoặc .

Ta có

Mặt khác .

Ta có bài toán tổng quát:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Với

Lời giải tổng quát

Vì sao cho và

Vì

Ngoài ra ta có thể mở rộng bài toán như sau:

. Ta có

Từ bài toán tổng quát trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán ví dụ 2 từ dòng (*) như sau: Ta có .

1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

A. . B.

B. D.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Ta có .

Ta sử dụng điều kiện ở STUDY TIP trong bài tổng quát trên.

Ta có

Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay

Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A;B;C;D nên ta không cần thử trường hợp .

Lúc này chỉ còn A và B. Thử với thì không có nghiệm.

Từ đây chọn B.

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .

A. . B.

C. . D. không tồn tại.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1 : Ta có .

Vậy khi

Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. . B. .

C. . D. Không tồn tại GTLN.

Lời giải

Chọn B.

Dấu bằng xảy ra khi

.

Tiếp theo ta có ví dụ 6 là một câu hỏi khác cho ví dụ 2 như sau

1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Từ ví dụ ta có . Đặt

Từ đề bài ta xét

Ta lập BBT của hàm số trên .

Từ bảng biến thiên ta thấy

Hay .

1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Đặt

Xét hàm số: trên .

Ta có: . Từ đây có bảng biến thiên

Ta kết luận: và .

Hay và .

Ngoài các phương pháp giải các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác ta rút ra từ các ví dụ trên ta còn phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản. Phương pháp này được coi là một phương pháp khó vì đòi hỏi tính sang tạo và kĩ thuật trong việc sử dụng bất đẳng thức.

Một số bất đẳng thức ta thường dung:

1.Bất đẳng thức AM – GM.

a. Với hai số:

Cho hai số thực là hai số dương, ta có dấu bằng xảy ra khi .

b. Với số:

Cho hai số thực là các số dương , ta có dấu bằng xảy ra khi .

2. Bất đẳng thức Bunyakovsky

a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.

. Dấu bằng xảy ra khi

b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số

Với hai bộ số và ta có

c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có

1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

A. . B. . C. . D. .

Đáp án B

Lời giải

Chọn B.

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho số: 1; 1; ; ta có:

Hay

Dấu bằng xảy ra khi

1. Cho hàm số với . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. khi T B. khi

C. khi D. khi .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Ta thấy và . Suy ra và là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có

Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

Cách 2: Để ý đề bài hỏi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng .

Trên đây là hai ví dụ sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác mà không có liên hệ cho trước. Ví dụ 10 dưới đây là một ví dụ khó hơn về sử dụng bất đẳng thức kết hợp với lượng giác để giải quyết.

1. Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Ta có

Ta thấy lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:

Vậy

💣 Đọc thêm

DẠNG 5: Dạng đồ thị của hàm số lượng giác

Các kiến thức cơ bản về dạng của hàm số lượng giác được đưa ra ở phần 1:

Lý thuyết cơ bản:Sau đây ta bổ sung một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả.

Sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số cơ bản:

Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Cho hàm số . Từ đồ thị hàm số ta suy diễn:

Ở phần lý thuyết có đưa ra phần đọc thêm về hàm số với

Ta có ví dụ sau:

1. Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số

Lời giải

Chọn C.

Ta thấy nên ta có loại A và B.

Tiếp theo với C và D ta có:

Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì

Ta thấy với thì nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án C.

1. Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số

Lời giải

Chọn D

Ta thấy nên ta loại B.

Tiếp theo ta có hàm số có chu kì tuần hoàn là

Ta thấy với thì nên ta chọn D.

1. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ :

Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số trên trục lên trên 2 đơn vị (xem lại sơ đồ biến đổi đồ thị cơ bản ở bên trên).

1. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ:

Hình nào sau đây là đồ thị hàm số

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Suy diễn đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số

Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số nằm bên phải trục

Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục

Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy diễn ở trên. Phần đồ thị nét đứt là phần bỏ đi của đồ thị hàm số

1. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số

Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị

Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Cách 2: Ta thấy nên đồ thị hàm số hoàn toàn nằm trên trục

Từ đây ta chọn B.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

1. Tìm tập xác định của hàm số

A. . B. .

C. . D. .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. B.

C. D.

1. Tập xác định của hàm số là

A. B.

C. D.

1. Tập xác định của hàm số là

A. B.

C. D.

1. Xét bốn mệnh đề sau
2. Hàm số có tập xác định là
3. Hàm số có tập xác định là
4. Hàm số có tập xác định là
5. Hàm số có tập xác định là

Số mệnh đề đúng là

A. 1. B. 2.

C. 3. D. 4.

1. Tập xác định của hàm số là

A. B.

C. D.

1. Tập xác định của hàm số là

A. B.

C. D.

1. Tìm tập xác định của hàm số

A. B.

C. D.

1. Tìm tập xác định của hàm số

A. B.

C. D.

1. Tìm tập xác định của hàm số

A. B.

C. D.

1. Tập xác định của hàm số

A. B.

C. D.

1. Tìm tập xác định của hàm số

A. B.

C. D.

1. Tập xác định của hàm số là

A. B.

C. D.

1. Tìm tập xác định của hàm số

A. B.

C. D. .

1. Tìm tập xác định của hàm số:

A. . B. .

C. D.

1. Tìm tập xác định của hàm số: .

A. B.

C. D.

1. Hàm số nào sau đây có tập xác định là ?

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại?

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số chỉ xác định khi:

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số có tập xác định là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số có tập xác định là các đoạn .

B. Hàm số có tập xác định là các đoạn .

C. Hàm số có tập xác định là các đoạn .

D. Hàm số có tập xác định là các đoạn .

1. Xét hai mệnh đề:

(I): Các hàm số và có chung tập xác định là .

(II): Các hàm số và có chung tập xác định là .

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng.

1. Cho hàm số với . Tập xác định của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho hàm số . Tập xác định:

A. . B. . C. . D. .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho hàm số . Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định

A. . B. .

C. . D. .

1. Xét hai câu sau:

(I): Các hàm số và có chung tập xác định là

(II): Các hàm số và có chung tập xác định là .

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đều sai . D. Cả hai đều đúng.

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Tập xác định của hàm số là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số có tập xác định là:

A. . B. .

C. . D. .

Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. . B. . C. . D. .

1. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. . B. . C. . D. .

1. Hàm số là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ

C. Vừa chẵn vừa lẻ. D. Không chẵn không lẻ.

1. Xét tính chẳn lẻ của hàm số ta kết luận hàm số đã cho là:

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ .

C. Vừa chẵn vừa lẻ D. Không chẵn không lẻ

1. Xét các câu sau:

I.Hàm số là hàm số lẻ.

II.Hàm số là hàm số chẵn.

III.Hàm số là hàm số lẻ.

Trong các câu trên, câu nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III) . D. Cả 3 câu .

1. Hãy chỉ ra hàm số nào là hàm số lẻ:

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số có tính chất nào sau đây?

A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ.

C. Hàm không chẵn không lẻ. D. Tập xác định .

1. Hãy chỉ ra hàm số không có tính chẵn lẻ

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. . B. . C. . D. .

1. Hãy chỉ ra hàm nào là hàm số chẵn:

A. . B. .

C. . D. .

1. Xét hai mệnh đề:

(I)Hàm số là hàm số lẻ

(II) Hàm số là hàm số lẻ

Trong các câu trên, câu nào đúng?

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

1. Xét hai mệnh đề:

(I)Hàm số là hàm số lẻ

(II) Hàm số là hàm số lẻ

Trong các câu trên, câu nào đúng?

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

1. Hàm số là:

A. Hàm số chẵn. B.Hàm số lẻ.

C. Hàm không chẵn không lẻ. D.Hàm số không tuần hoàn.

1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. . B. .

C. . D. .

1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ . B. có đồ thị đối xứng qua trục .

C. có đồ thị đối xứng qua trục . D. có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

1. Cho hàm số xét trên . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm không chẳn không lẻ. B. Hàm lẻ.

C. Hàm chẳn. D. Có đồ thị đối xứng qua trục hoành.

1. Tìm kết luận sai:

A. Hàm số là hàm chẵn .

B. Hàm số là hàm lẻ .

C. Hàm số là hàm chẵn.

D. Hàm số là hàm số không chẵn không lẻ.

1. Nhận xét nào sau đây là sai?

A. Đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng.

B. Đồ thị hàm số nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng.

C. Đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng.

D. Đồ thị hàm số nhật góc tọa độ làm tâm đối xứng.

1. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có trục đối xứng.

A. . B. .

C. . D. .

1. Cho hàm số . Hàm số trên là hàm số.

A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.

1. Hàm số là

A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.

1. Xác định tĩnh chẳn lẻ của hàm số:

A. Hàm lẻ. B. Hàm không tuần hoàn.

C. Hàm chẳn. D. Hàm không chẳn không lẻ.

DẠNG 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Trong khoảng , hàm số là hàm số:

A. Đồng biến. B. Nghịch biến.

C. Không đổi. D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

1. Hàm số nghịch biến trên các khoảng nào sau đây ?

A. . B. .

C. . D. .

1. Hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. . B. .

C. . D. .

1. Xét các mệnh đề sau:

(I): :Hàm số giảm.

(II): :Hàm số giảm.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

1. Cho hàm số . Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng và .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên .

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng.

1. Với , kết luận nào sau đây về hàm số là sai?

A. Hàm số tuần hoàn với chu kỳ .

B. Hàm số luôn dống biến trên mỗi khoảng .

C. Hàm số nhận đường thẳng là một đường tiệm cận.

D. Hàm số là hàm số lẻ.

1. Để hàm số tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào?

A. . B. .

C. . D. .

1. Xét hai mệnh đề sau:

(I): :Hàm số tăng.

(II): :Hàm số tăng.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng . B. Chỉ (II) đúng . C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

1. Hãy chọn câu sai: Trong khoảng thì:

A. Hàm số là hàm số nghịch biến .

B. Hàm số là hàm số nghịch biến.

C. Hàm số là hàm số đồng biến.

D. Hàm số là hàm số đồng biến .

1. Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn là:

1. Cho hàm số . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạnlà:

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số là:

A. 0 và 4. B. 4 và 4. C. 0 và 1. D. 1 và 1.

1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là:

A. và . B. và . C. và D. và

1. Cho hàm số Giá trị lớn nhất của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

1. Giá trị lớn nhất của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

1. Giá trị lớn nhất của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .

1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A. B. C. D.

1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A. B. C. D.

1. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là

A. B. C. D.

1. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là

A. B. C. D.

1. Hàm số đạt giá trị lớn nhất là

A. B. C. D.

1. Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A. B. C. D.

1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A. B. C. D.

1. Giá trị lớn nhất của hàm số là

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải chi tiết

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

1. Đáp án A.

Hàm số đã cho xác định khi

Nếu giải đến đây ta có thể dễ dàng loại B,C,D vì:

Với C thì thiếu

Với B,D thì không thõa mãn.

Với A ta kết hợp gộp nghiệm thì ta được

1. Đáp án B.

Ở đây xác định với mọi số thực . Nên ta đi tìm điều kiện cho xác định khi

1. Đáp án B.

Hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án D.

Hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án B.

Mệnh đề và là đúng

Mệnh đề và là sai

Sửa lại cho đúng như sau

Hàm số có TXĐ là

Hàm số có TXĐ là

1. Đáp án B.

Hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án D.

Hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án B.

Hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án D.

Hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án D.

Hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án A.

Hàm số đã cho xác định khi

Vậy TXĐ

1. Đáp án D.

Hàm số đã cho xác định khi

Vậy TXĐ

1. Đáp án B.

Ta có . Vậy hàm số đã cho xác định với mọi

1. Đáp án C.

Ta có .

Vậy hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án D.

Tương tự câu 14, hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án C.

Hàm số đã cho xác định khi

Mà nên hàm số đã cho xác định

Vậy hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án D.

Với A thì hàm số xác định khi

Với B thì hàm số xác định khi xác định .

Với C thì hàm số xác định khi

Với D thì

Vậy ta chọn D vì các phương án trên không có phương án nào thỏa mãn hàm số có tập xác định là

1. Đáp án C.

Với A thì hàm số xác định khi

Với B thì hàm số xác định khi

Với C thì hàm số xác định khi

Từ đây ta chọn C do khác với A và B

1. Đáp án D.

Hàm số đã cho xác định khi , mà , do vậy để hàm số xác định thì

1. Đáp án B.

Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi đúng với mọi

Cách 2: ,tập xác định là

1. Đáp án C.

Với A thì hàm số xác định khi . vậy A sai.

Với B thì hàm số xác định khi

Với C thì hàm số xác định khi xác định khi . Vậy C đúng.

1. Đáp án D.

Ta thấy cả hai hàm số và đều xác định khi . tương tự thì hai hàm số ở mệnh đề II đều xác định khi .

1. Đáp án C.

Hàm số xác định khi

1. Đáp án D.

Hàm số xác định khi

1. Đáp án C.

Hàm số xác định khi

1. Đáp án A.

Hàm số xác định khi

1. Đáp án B.

Hàm số đã cho xác định khi

Khoảng chứa nên hàm số không xác định trong khoảng này

1. Đáp án A.

Hàm số tập xác định là , Hàm số tập xác định là , suy ra (II) sai

1. Đáp án A.

Hàm số đã cho xác định khi

1. Đáp án B.

Hàm số xác định khi .

1. Đáp án A.

ĐK:

Tập xác định .

1. Đáp án A.

Ta có nên .

Mặt khác .

Hàm số đã cho xác định

Tập xác định .

1. Đáp án B.

Vì nên và .

Hàm số xác định .

Tập xác định của hàm số là .

1. Đáp án A.

Vì neen .

Hàm số xác định .

Vậy .

1. Đáp án D.

Hàm số xác định khi

.

Vậy tập xác định của hàm số là .

Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác.

1. Đáp án A.

Với A: TXĐ: .

Ta có với

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

1. Đáp án B.

Với A: Ta có

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Với B: Ta có:

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Vậy ta chọn B.

1. Đáp án B.

Hàm số đã cho có tập xác định .

Vậy với . Ta có .

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Đáp án B.

1. Đáp án A.

Tập xác định của hàm số là là tập đối xứng.

Ta có

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

1. Đáp án C.

Ta loại I và II do khi thì , do đó không tồn tại.

Với III: Hàm số xác định khi .

Tập xác định của hàm số là tập đối xứng.

Do vậy, ta xét .

Vậy III đúng.

1. Đáp án C.

Với A: Tương tự như câu 26, thì ta loại A.

Với B: Tập xác định là tập đối xứng.

Ta có Vậy hàm sô ở phương án C là hàm số lẻ.

1. Đáp án A.

Ta loại D vì để hàm số đã cho xác định thì nên tập xác định của hàm số đã cho không thể là hàm số chẵn.

Do .

1. Đáp án B.

Ta thấy các hàm số ở phương án A,C là các hàm số lẻ, còn ở phương án D là hàm số chẵn. Do vậy, ta chọn B. Thật vậy .

1. Đáp án C.

Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó ta đi tìm hàm số lẻ trong bốn hàm số đã cho. Với bài toán này ta đi tìm hàm số là hàm số lẻ. Với các bạn tinh ý thì ta có thể chọn luôn C.

Lý giải:

Tập xác định là tập đối xứng.

. Vậy hàm số ở phương án C là hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

1. Đáp án B.

Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng do đó ta đi tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho.

Hàm số ở D loại vì lí do tương tự câu 26.

Hàm số A và C là hàm số lẻ. Do vậy ta chọn B.

1. Đáp án A.

Với A: TXĐ: .

Ta có .

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Các hàm số ở B, C, D đều là hàm số lẻ.

1. Đáp án D.

(I) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.

Ta có .

Vậy (I) đúng.

(II) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.

Ta có

.

Vậy (II) đúng.

1. Đáp án A.

- Với (I) ta có .

Vậy hàm số ở (I) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.

- Với (II) ta có .

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

1. Đáp án C.

Tập xác định của hàm số .

Ta có

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

1. Đáp án D.

Dễ thấy hàm số là hàm số lẻ.

Với B ta có

Vậy hàm số ở B là hàm số lẻ.

Với C ta có TXĐ là tập đối xứng.

Vậy hàm số ở C là hàm số lẻ. Vậy ta chọn D.

1. Đáp án A.

Ta chọn luôn A vì ở phần ví dụ ta có đưa ra hàm số là hàm số chẵn trên D.

1. Đáp án A.

Với A: Tập xác định .

Ta có

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

1. Đáp án A.

Ta thấy hàm số ở phương án A là hàm số chẵn thì ta có đồ thị đối xứng qua trục tung, chứ không phải đối xứng qua gốc tọa độ.

1. Đáp án C.

Tập là tập đối xứng.

Ta có . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn

1. Đáp án B.

Vói A: Ta có vậy A đúng.

Với B : Tập xác định D là tập đối xứng .

Ta có = .

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Vậy B sai.

1. Đáp án D.

Với A : Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng . Ta có = . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng . Vậy A đúng.

Với B : Ta có . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . vậy B đúng .

Với C : Ta có Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng . Vậy C đúng .

Từ đây ta chọn D.

1. Đáp án C.

Bài toán trở thành tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho phần phương án .

Với A : Ta có Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ, (loại).

Với B : Ta có Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ (loại).

Với C : Ta có = vậy ta chon C

1. Đáp án A.

Vì . Do đó điều kiện là vậy tập xác định của D là tập đối xứng.

Ta có . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ.

1. Đáp án D.

Tập xác định Với

Ta có = =

Ta thấy . Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.

1. Đáp án C.

Tập xác định là tập đối xứng .

. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Dạng 3 : Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác.

1. Đáp án A.

Cách 1 : Ta thấy trên khoảng hàm đồng biến và hàm đồng biến , suy ra trên hàm số đồng biến.

Cách 2 : Sử dụng máy tính . Dùng TABLE ta xác định được hàm số tăng trên

1. Đáp án C .

Ta thấy hàm số nghịch biến trên , suy ra hàm số nghịch biến khi

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

1. Đáp án A.

Hàm số nghịch biến khi

1. Đáp án B.

 : Hàm giảm và , suy ra tăng :

Câu (I) sai,  : Hàm tăng và , , suy ra hàm giảm.

Câu (II) đúng.

1. Đáp án A.

Ta có = . Xét sự biến thiên của hám số , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề .

Ta thấy với A. Trên thì giá trị của hàm số luôn tăng.

Tương tự trên thì giá trị của hàm số cũng luôn tăng.

1. Đáp án B.

Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng , suy ra hàm số luôn đồng biến tren mỗi khoảng . Vậy B là sai.

1. Đáp án A.

Ta có . Để hàm số tăng thì

1. Đáp án C.

Bài toán có hai hàm số mà cùng xét trên một khoảng nên ta sẽ sử dụng chức năng TABLE cho hai hàm Ấn MODE7 : Nhập là hàm nhập g là hàm thì ta có kết quả .

Ta thấy cả hai hàm số đều không là hàm tăng trên cả khoảng . Vì khi chạy từ đến 0 thì giá trị của hai hàm số đều giảm . Khi chạy từ 0 đến thì giá trị của hai hàm số đều tăng , vậy cả hai mệnh đề đều sai.

1. Đáp án D.

D sai , thật vậy với , ta có :

1. Đáp án A.

Ta có thể loại phương án B ;C ;D luôn do tại và . Các bảng biến thiên B ;C ;D đều không thỏa mãn.

1. Đáp án C.

Tương tự như câu 70 thì ta có thể loại A và B do tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đâu mút thì ta loại được D.

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm lượng giác .

1. Đáp án B.

Tập xác định .Ta có , . . Vậy

1. Đáp án C .

Ta có

1. Đáp án C.

Ta có

1. Đáp án B.

Ta có =

Ta có Dấu bằng xảy ra khi

1. Đáp án D.

Cách 1 : Tương tự như phần lý thuyết đã giới thiệu thì ta thấy . Vậy . Ta có . Vậy min y = 0.

Cách 2 : Ta có .

1. Đáp án C.

Ta có . Ta có Vậy GTLN của hàm số đã cho là 2.

1. Đáp án A.

Ta có . Vậy GTNN của hàm số là .

1. Đáp án B.

Ta có

1. Đáp án D.

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

1. Đáp án D.

Ta có Từ đó suy ra = . Vậy

1. Đáp án C.

Ta có . Ta có . Do đó ta có . Vậy giá trị lớn nhát của hàm số là .

1. Đáp án A.

Ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi

1. Đáp án A.

Ta có . Dấu bằng xảy ra

1. Đáp án C.

Ta có . Dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. CONG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

a)

b)

c)

d)

Không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một công thức về nghiệm phương trình

lượng giác.

1. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận làm nghiệm

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn B

A.

B.

C.

D.

So sánh ta được đáp án là B.

LƯU Ý: Bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi dùng máy tính để thử nghiệm và kết luận . Phần này sẽ được trình bày kỹ hơn trong cuốn công phá kỹ thuật giải toán CASIO.

1. Phương trình có nghiệm dạng và . Khi đó tích bằng :

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Dạng ( )

1. Phương trình (1)

- Nếu Phương trình (1) vô nghiệm do .

- Nếu

+ Xác định sao cho .

Vậy phương trình .

+ Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết (đọc là

ac-sin-m). Khi đó

1. Trong các phương trình sau đây,phương trình nào có tập nghiệm là

và

A. B. . C. D.

Lời giải

Chọn A

Cách 1

A. vô nghiệm do .

B. ( vì ) .

C. ( vì )

D.

Vậy phương án đúng là C.

Cách 2 : Sử dụng máy tính cầm tay ( MTCT).

Ta có và

Đặc biệt

2. Phương trình

- Nếu Phương trình (2) vô nghiệm (do ).

- Nếu :

+ Xác định sao cho .

Vậy phương trình .

+ Nếu số thực thỏa mãn điều kiện thì ta viết (đọc là ac-cos- m).

Khi đó .

sđ; sđ

1. Phương trình nào trong các phuương trình sau có 2 nghiệm thuộc ?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

A. chỉ có một nghiệm thuộc .

B.

Phương trình không có nghiệm nào thuộc '

C.

Phương trình có hai nghiệm thuộc .

D. vô nghiệm do .

1. Chọn đáp án sai: Nghiệm của phương trình là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Dễ dàng kiểm tra trên đường tròn lượng giác .

Đặc biệt

3. Phương trình

a) Phương trình

1. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ nhất?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

A. .

(Với nên nghiệm dương bé nhất là )

B. .

Nghiệm dương bé nhất là .

C. Nghiệm dương bé nhất là .

D. .

Chọn Nghiệm dương bé nhất là .

Vậy giá trị nhỏ nhất là nên ta chọn đáp án A.

1. Phương trình có các nghiệm là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

.

* Kĩ năng biểu diễn và tổng hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác

III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Có dạng với , t là một hàm số lượng giác

Phương pháp giải

(đây là phương trình lượng giác cơ bản đã học)

1. Trong các phương trình sau, phương trình nào có 2 nghiệm thuộc ?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

A. vô nghiệm (loại phương án A).

B. Có 1 nghiệm thuộc .

C. Có 1 nghiệm thuộc .

D. Có hai nghiệm thuộc .

LƯU Ý: Để giải nhanh các bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi so sánh để đưa ra đáp án một cách dễ dàng.

B. C. D.

1. Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình là:

A. , B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là và

Vậy

DẠNG 2.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (HOẶC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2) ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Có dạng: với là một hàm số lượng giác.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ.
• Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ.
• Bước 3: Từ nghiệm tìm được đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

1. Các điểm được biểu diễn trên đường tròn lượng giác thì các nghiệm của phương trình là:

A. sđ . B. sđ . C. sđ . D. sđ và sđ .

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Phương trình

Với

Vậy nghiệm của phương trình là sđ

1. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện:

Phương trình

Vậy nghiệm âm lớn nhất là

1. Tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A. . B. . C.. D. .

Lời giải

Chọn B.

Phương trình

Vậy tổng các nghiệm cần tìm là:

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX:

Có dạng trong đó

Phương pháp giải:

Chia 2 vế cho ta được:

Đặt

. Đây là phương trình lượng giác cơ bản.

+ Phương trình có nghiệm khi:

+ Bạn có thể đặt:

Việc đặt thế nào thì tùy từng bài để được lời giải hợp lý nhất.

1. Phương trình với là tham số vô nghiệm khi:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn C.

+ Ta đi tìm để phương trình có nghiệm rồi lấy phần bù

+ Ta có: Phương trình có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm suy ra phương trình vô nghiệm khi

1. Nghiệm của phương trình là:

A. . B..

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Phương trình ( chia 2 vế cho )

1. Gọi lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình , ta có:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn C.

+ Điều kiện:

+ Phương trình

Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có các nghiệm

Chọn

1. Phương trình có số nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn D.

Phương trình

• TH1: . Chọn

• TH2: . Chọn

Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc

DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Là phương trình dạng trong đó lũy thừa của và cùng bậc chẵn hoặc lẻ.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xét Kết luận nghiệm

• Bước 2: Xét ta chia 2 vế của phương trình cho là bậc cao nhất) đưa về phương trình bậc cao của tanx.

1. Nghiệm của phương trình là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải:

Chọn C.

+ Với . Thay vào phương trình luôn đúng

là nghiệm của

+ Với chia 2 vế cho ta được:

Kết luận: Nghiệm của phương trình là

LƯU Ý:

- Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho để đưa về phương trình bậc 2 theo tan x.

- Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác. Bạn đọc có thể giải theo các cách sau:

+ Xét không thỏa mãn phương trình

+ Với , chia 2 vế cho đưa về phương trình bậc 2 theo.

Hoặc dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos:

(đây là phương trình bậc nhất đối với , đã học trong phần trước)

Hoặc

(đây là phương trình đẳng cấp bậc 2)

1. Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình bằng:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Trường hợp 1:

Với phương trình (vô nghiệm).

Với phương trình (vô nghiệm).

Vậy không thỏa mãn phương trình.

Trường hợp 2: , chia 2 vế cho ta được:

Phương trình

Với . Với .

Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là .

Nhận xét: Đây là phương trình cùng bậc lẻ do đó có biến đổi sau:

là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với , .

1. Phương trình có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: .

Phương trình

(*)

Đến đây ta thấy phương trình (*) có cùng bậc lẻ cao nhất là , ta chia 2 vế cho (do điều kiện)

(TMĐK)

Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là .

1. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ở cung phần tư thứ I và thứ III của đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện:

Phương trình (cùng bậc lẻ)

Chia 2 vế cho (do điều kiện)

Phương trình

.

Dựa vào việc biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta thấy số điểm biểu diễn nghiệm cần tìm là Đáp án B.

1. Các nghiệm của phương trình là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: .

Phương trình

(*)(đây là phương trình bậc 2)

Chia 2 vế cho (do điều kiện) ta được:

Phương trình (*)

(TMĐK)

DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI VÀ .

Dạng: trong đó .

Phương pháp chung:

Đặt (vì ).

.

Phương trình (là phương trình bậc 2 theo )

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

(1)

Đặt .

.

Phương trình (TMĐK)

Với .

Với

Kết luận: phương trình có nghiệm có 4 nghiệm trên .

Chú ý: Với phương trình: .

Đặt

(vì ).

.

Phương trình (là phương trình bậc 2 theo )

Một số sách gọi phương trình này là phản đối xứng với , .

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Đặt . Điều kiện: .

.

Phương trình (TMĐK)

Với .

Với

có 2 nghiệm thuộc là và .

Cách 2: Nhận thấy phương trình có và có nhân tử chung là nên ta có:

1. Tổng các nghiệm của phương trình trên là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

(3)

Đặt

Với

Suy ra phương trình có 3 nghiệm trên là

Vậy tổng 3 nghiệm là

1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình: có nghiệm.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Đặt

Ta đi tìm để phương trình có nghiệm

có nghiệm

Xét trên

Suy ra

Vậy phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm trên

mà

Vậy có 4 giá trị thỏa mãn.

1. Phương trình có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Giải

Giải

Đặt

Vậy nghiệm của phương trình là

Biểu diễn nghiệm này trên vòng tròn lượng giác

ta suy ra nghiệm lớn nhất là và nghiệm bé nhất là

Vậy .

DẠNG IV. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

1. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác là:

A. . B.. C. . D..

Lời giải

Chọn D.

Phương trình

Dựa vào điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

Vậy ta có 5 điểm.

1. Sử dụng công thức hạ bậc

Phương trình không phải là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây ?

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn D.

Phương trình hông phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

Chú ý: Bạn đọc có thể giải các phương trình đơn giản ở các phương án rồi thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra.

1. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C.

Phương trình

Vậy số điểm biểu diễn nghiệm là 6.

1. Sử dụng công thức nhân ba

Cho phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn B.

Phương trình

Mà

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc .

1. Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt

Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc ?

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn B.

Phương trình

Mà nên

Vậy phương trình có 5 nghiệm trên .

1. Sử dụng công thức hạ bậc cao

Cho các phương trình sau:

Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

A. . B.. C.. D..

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Giải :

Giải :

Giải :

Giải :

Vậy phương trình (3) không tương đương với các phương trình còn lại.

1. Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm

Phương trình có phương trình tương đương là:

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D.

Phương trình

Lưu ý: Có thể thử các nghiệm trong các đáp án vào phương trình đã cho nếu thỏa mãn thì 2 phương trình tương đương.

1. Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba

Phương trình có tổng các nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Đặt

Phương trình

Vậy tổng các nghiệm trên của phương trình là: .

1. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương trình có các nghiệm là:

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Phương trình tương đương

+ Với

+ Với

(vô nghiệm)

Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là .

Nhận xét:

+ Với phương trình này hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp đưa về dạng tích

+ Với phương trình (2) có thể giải cách khác như sau: , phương trình này vô nghiệm do

1. Phương pháp đánh giá

Với phương trình thì:

A. trên đoạn phương trình có 1 nghiệm.

B. trên đoạn phương trình có 2 nghiệm

C. trên đoạn phương trình có 3 nghiệm.

D. trên đoạn phương trình có 4nghiệm.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

Phương trình (*) xảy ra

+ Giải (I): (vô nghiệm)

+ Giải (II):

Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm thuộc .

Chú ý: Có thể giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình bậc 4 với sẽ tự nhiên hơn. Tuy nhiên với ví dụ này tôi muốn minh họa thêm cho các bạn một phương pháp giải khác để linh hoạt khi làm bài.

Lưu ý: Đối với phương trình (1) và (2) ta có thể đưa ngay cách giải ngay bằng cách đưa về phương trình bậc 2 đối với bằng cách sử dụng công thức. Tuy nhiên một số phương trình không đưa về được như vậy. Ví dụ (bạn đọc tự giải)

1. Phương pháp hàm số

Phương trình có tổng các nghiệm trong khoảng là:

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn C.

Phương trình

Xét hàm số trên .

Với ta xét biểu thức

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên , Suy ra phương trình (1) tuuongw đương

Vậy phương trình (*) có 1 nghiệm thuộc là

Lưu ý: Đối với việc chứng minh hàm số đồng biến trên của hàm số , xét tỉ số

+ Nếu Hàm số đồng biến trên

+ Nếu Hàm số nghịch biến trên

+ Nếu Hàm số không đổi trên

V. Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích

1. Phương trình có số nghiệm trên là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên là và

1. Phương trình có các nghiệm dạng . Với thì là:

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn D.

Phương trình

Nghiệm trên biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta viết lại các nghiệm phương trình là:

1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn B.

Phương trình

-Giải (1) , các nghiệm này không thuộc .

-Giải (2) có

Suy ra phương trình (2) có nghiệm thuộc

Vậy có 1 giá trị nguyên của là

1. Phương trình nhận các giá trị làm nghiệm thì giá trị là:

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn B.

Phương trình

Vậy

1. Phương trình là phương trình hệ quả của phương trình:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

pt

Lưu ý: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thì

VI. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA ĐIỀU KIỆN

1. Phương trình có số nghiệm là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số

Lời giải

Chọn A

Điều kiện:

Với (loại vì không TMĐK)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

1. Phương trình có các nghiệm dạng

thì bằng:

A. B. - C. D.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện:

Vậy

1. Phương trình có tổng các nghiệm trên là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện:

=>có 2 nghiệm trên là x= và x=

Vậy tổng các nghiệm trên là:

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Chọn B

Điều kiện:

Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm của phương trình là

Vậy có hai nghiệm thuộc là và

1. Phương trình có các nghiệm dạng thì là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện:

Kết hợp điều kiện(*) ta có nghiệm của pt là

1. Phương trình có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Lời giải

Chọn B

Điều kiện:

Ta có:

.

.

Kết hợp điều kiện nghiệm của phương trình (1) là

Vậy số điểm biểu diễn cần tìm là 4.

Lưu ý: Ở bài nầy điều kiện bài toán có thể gộp thành

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình có nghiệm là:

A. và B. và

C. và D. và

1. Số nghiệm của phương trình với là:

A. B. C. D.

1. Phương trình có nghiệm khi:

A. B. C. D.

1. Phương trình có nghiệm khi:

A. B. C. D.

1. Phương trình có nghiệm là:

A. B.

C. D.

1. Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng là:

A. B. C. D.

1. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ?

A. B. C. D.

1. Phương trình Có các nghiệm dạng và Khi đó bằng

A. B. C. D.

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc

A. B. C. D.

1. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

A. B. C. D.

1. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?

A. B.

C. D.

Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Số nghiệm của phương trình Trên đoạn

A. B. C. D. 4

1. Phương trình Có nghiệm khi

A. . C. D.

1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình Có nghiệm?

A. B. C. D. Vô số

1. Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng

A. B. C. D.

1. Phương trình có nghiệm dạng thì giá trị m là:

A. B. C. D.

1. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình: là:

A. B. C. D.

1. Nghiệm của phương trình là:

A. B.

C. D.

1. Nghiệm của phương trình là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Phương trình có bao nhiêu điểm biểu diễm trên đường tròn lượng giác?

A. . B. . C. . D. .

1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm thuộc ?

A. . B. . C. Vô số. D. Không có .

1. Giá trị của để phương trình có nghiệm trên là thì là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có tổng nghiệm âm lớn nhất liên tiếp là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có nghiệm khi thì tích bằng:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có các nghiệm dạng và ; thì:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho các phương trình sau:.

.

.

.

Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm

A. Chỉ phương trình (1) vô nghiêm. B. Chỉ phương trình (2) vô nghiệm.

C. Chỉ phương trình (3) vô nghiệm. D. Cả phương trình vô nghiệm.

Phương trình bậc nhất đối với , .

1. Phương trình có nghiệm khi:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có các nghiệm dạng và , với thì là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có các nghiệm là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Phương trình có tổng hai nghiệm dương nhỏ nhất liên tiếp là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là và nghiệm âm lớn nhất là thì là:

A. . B. . C. . D. .

Phương trình đẳng cấp bậc hai.

1. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho phương trình số giá trị để phương trình có nghiệm là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình tương đương với phương trình:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có bào nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

1. Số giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

Phương trình đối xứng và các phương trình lượng giác không mẫu mực.

1. Phương trình có số điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có nghiệm?

A. . B. . C. . D. .

1. Cho phương trình . Khi đặt thì:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có nghiệm khi:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho phương trình . Đặt với thì phương trình tương đương với phương trình:

A. . B. . C. . D. .

Một số phương trình lượng giác khác.

1. Phương trình có các nghiệm là và . Giá trị của là:

A. . B. . C. . D. .

1. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có bao nghiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có tích các nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có tập nghiệm là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Phương trình có tổng nghiệm âm liên tiếp lớn nhất là:

A. . B. . C. . D. .

1. Số nghiệm của phương trình trên là:

A. . B. Vô số. C. . D. .

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có tập nghiệm là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Phương trình có các nghiệm là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình đưa về phương trình tích được phương trình tương đương là:

A. . B. .

C. . D. .

1. Phương trình là phương trình hệ quả của phương trình:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có số nghiệm trên là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có nghiệm dạng và thì bằng:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên ?

A. . B. . C. . D. .

Phương trình lượng giác chứa tham số.

1. Phương trình ( là tham số) có nghiệm trên khi:

A. . B. . C. . D. .

1. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn của để phương trình có hai nghiệm thuộc ?

A. . B. . C. . D. .

1. Các giá trị của để phương trình có nghiệm thì:

A. . B. . C. . D. .

1. Cho phương trình . Số các giá trị nguyên dương của nhỏ hơn để phương trình có nghiệm là:

A. . B. . C. . D. .

1. Phương trình có nghiệm trên khi tất cả các giá trị thỏa mãn:

A. . B. . C. . D. .

1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của nhỏ hơn để phương trình có nghiệm ?

A. . B. . C. . D. .

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Phương trình lượng giác cơ bản

1. Đáp án B.

Mà .

1. Đáp án C.

.

Biểu diễn trên đường trong lượng giác:

Vậy có họ nghiệm thuộc .

1. Đáp án A.

Phương trình có nghiệm khi .

1. Đáp án C.

Phương trình có nghiệm khi .

1. Đáp án B.

Phương trình .

1. Đáp án A.

Mà

Do nghiệm là , ,

.

1. Đáp án D.

Ta có

1. Đáp án D.

Vậy .

1. Đáp án B.

(Chú ý gộp nghiệm trên đường tròn lượng giác)

Ta có:

Mà

Vậy có giá trị có nghiệm .

1. Đáp án A.

với .

Vậy nghiệm âm lớn nhất là .

1. Đáp án D.

Vì .

Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Đáp án B.

Vậy phương trình có nghiệm thuộc là và .

1. Đáp án A.

+ Với : Phương trình (vô nghiệm) không thỏa mãn.

+ Với : Phương trình xác định với mọi giá trị .

1. Đáp án C.

có nghiệm có nghiệm

Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn.

1. Đáp án D.

Vậy tổng các nghiệm trên là: .

1. Đáp án B.

.

Vậy .

1. Đáp án A.

.

Vậy tổng nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là: .

1. Đáp án C

Điều kiện:

Phương trình

Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là

1. Đáp án B.

Điều kiện: .

Ta có:

Phương trình

.

1. Đáp án C.

1. Đáp án D.

+ Với

có nghiệm

+ Phương trình có nghiệm có nghiệm khác .

1. Đáp án B.

không có nghiệm thỏa mãn .

Phương trình có nghiệm trên .

1. Đáp án D.

.

Vậy tổng hai nghiệm âm lớn nhất là .

1. Đáp án C.

(*)

Đặt . Xét trên .

Suy ra (*) có nghiệm .

Vậy .

1. Đáp án B.

Điều kiện .

Phương trình

Vậy .

1. Đáp án D.

Phương trình bậc nhất đối với

1. Đáp án A.

Phương trình có nghiệm .

1. Đáp án C.

.

.

1. Đáp án A.

1. Đáp án C.

.

Hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là .

1. Đáp án C.

Nghiệm dương nhỏ nhất là , nghiệm âm lớn nhất là .

Vậy .

Phương trình đẳng cấp bậc 2.

1. Đáp án D.

• Với vô lí.
• Với chia cả hai vế cho ta được:

Vậy số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là 4.

1. Đáp án C.

Phương trình có nghiệm

Mà .

Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.

1. Đáp án B.

Phương trình

-Với không thỏa mãn phương trình.

-Với , chia cả hai vế của phương trình cho ta được

1. Chọn đáp án B.

Điều kiện

Phương trình

.

Vây só nghiệm trên là 3.

1. Đáp án C.

Trên

Đặt

Yêu cầu bài toán tìm để phương trình có nghiệm trên

Phương trình có nghiệm .

Vậy có 3 giá trị nguyên của thỏa mãn.

Phương trình đối xứng và các phương trình lượng giác không mẫu mực.

1. Đáp án C.

Đặt .

+ Với

+ Với

.

Vậy có 3 điểm biểu diễn các nghiệm.

1. Đáp án D.

Đặt .

Phương trình có nghiệm trên

Xét hàm số trên

Phương trình có nghiệm

Vậy các giá trị thỏa mãn.

1. Đáp án A.

Điều kiện .

Phương trình

Giải

Giải . Đặt , .

. Vậy .

1. Chọn đáp án B.

Cách 1: Điều kiện để phương tình có nghiệm:

Cách 2: Phương trình có nghiệm

có nghiệm

.

1. Đáp án C.

.

1. Đáp án A.

.

Vậy .

1. Đáp án C.

Vậy có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

1. Đáp án A.

.

Vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc .

1. Đáp án B.

.

Vậy phương trình có 24 nghiệm trên .

1. Đáp án B.

Suy ra có hai nghiệm thuộc là và .

Vậy tích hai nghiệm là .

1. Đáp án A.

.

1. Đáp án D.

Điều kiện .

Ta có

.

Phương trình

.

Vậy tổng các nghiệm âm liên tiếp lớn nhất là .

1. Đáp án A.

Ta có , mà.

Vậy phương tình đã cho vô nghiệm.

1. Đáp án A.

Vậy phương trình có 1 nghiệm trên .

1. Đáp án C.

Đặt

Phương trình

Vậy phương trình có 3 nghiệm thuộc .

1. Đáp án B.

.

1. Đáp án B.

Điều kiện

Phương trình

.

1. Đáp án B.

Điều kiện .

Phương trình

Vậy phương trình có 4 nghiệm trên

1. Đáp án C.

Vậy ta chọn đáp án C.

1. Đáp án D.

Vậy ta chọn đáp án D.

1. Đáp án A.

1. Đáp án A.

1. Đáp án B.

Điều kiện:

PT:

Mà

Vậy PT có 33 nghiệm trên

Phương trình lượng giác chứa tham số

1. Đáp án C.

1. Đáp án A.

PT có đúng hai nghiệm

Giải (1): có hai nghiệm thuộc

=> Phương trình có hai nghiệm thuộc

(2) vô nghiệm hoặc (2)

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn.

Chú ý:

1. Đáp án C

Đặt , phương trình

Bảng biến thiên:

=> Phương trình (*) có nghiệm

. Vậy a + b = -8

1. Đáp án B

Điều kiện:

+ Từ m = 0 loại do điều kiện phương trình (*) vô nghiệm.

+ Với

=> (*) có nghiệm khi (1)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn.

1. Đáp án B

Giải (1): luôn có 2 nghiệm

phương trình có nghiệm.

1. Đáp án D

Đặt

=> Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm

có nghiệm

Bảng biến thiên:

=> Phương trình có nghiệm

Vậy có 2011 giá trị của m nhỏ hơn 2018

+ Với thì