Đề thi hsg môn toán lớp 10 tỉnh vĩnh phúc năm 2014 có đáp án

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN:TOÁN

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

(Đáp án có 04 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh THPT không chuyên)

II. ĐÁP ÁN:

Câu

Nội dung trình bày

Điểm

1

(3,0 điểm)

1a (2,0 điểm)

Phương trình đã cho có hai nghiệm

0,5

Với điều kiện trên, theo định lí Viét ta có:

0,25

Do đó

0,5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi

0,75

1b (1,0 điểm)

Do với mọi nên .

Mặt khác với mọi

0,5

Theo bất đẳng thức Cosi ta có: (ĐPCM).

0,5

2

(2,0 điểm)

2a (1,0 điểm)

ĐKXĐ

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:

0,5

0,25

Kết hợp với ĐKXĐ ta được . Vậy tập nghiệm của phương trình là .

0,25

2b (1,0 điểm)

Đkxđ:

Từ phương trình đầu của hệ ta có:

0,5

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

So sánh với Đkxđ ta được nghiệm của hệ phương trình .

0,5

3

(2,0 điểm)

3a (1,0 điểm)

0,25

0,25

0,25

Bất đẳng thức (*) luôn đúng do .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy BĐT được chứng minh.

0,25

3b (1,0 điểm)

Đkxđ . Đặt suy ra , thay vào bất phương trình ta được:

0,25

0,25

0,25

Kết hợp với đkxđ ta được tập nghiệm là .

0,25

4

(3,0 điểm)

4a (1,0 điểm)

Ta có

0,25

Ta có

0,25

.

Do và

0,25

Vậy

0,25

4b (1,0 điểm)

Ta có .

Tương tự ta tính được

0,5

Theo giả thiết

0,25

Hay tam giác ABC cân

0,25

4c (1,0 điểm)

Gọi

Gọi N là trung điểm AC suy ra .

Mà .

Theo (1) suy ra

suy ra

0,25

Ta có mà

0,25

AC đi qua và có VTPT suy ra AC có phương trình Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm , bán kính nên có phương trình:

Suy ra tọa độ A, C là nghiệm của hệ phương trình:

0,25

Vậy hoặc

0,25