Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Vì $ 8+2{{x}^{2}} > 0\forall x $ nên biểu thức có nghĩa với mọi $ x\in \mathbb{R} $ .

Ta có: $ \sqrt{\dfrac{{{(-5)}^{2}}}{6-3x}} $ có nghĩa khi $ \dfrac{{{(-5)}^{2}}}{6-3x}\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{25}{6-3x}\ge 0 $ mà $ 25 > 0 $

$ \Rightarrow 6-3x > 0\Leftrightarrow 6 > 3x\Leftrightarrow x < 2 $ .

Ta có $ 2{{x}^{2}}-4x+3=2{{(x-1)}^{2}}+1\ge 1\Rightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}-4x+3}\ge 1 $ khi $ x=1 $
Do đó $ y=2020+\sqrt{2{{x}^{2}}-4x+3}\ge 2021 $ khi $ x=1 $ .

Ta có $ P=\sqrt{12}-\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}-\left| \sqrt{3}-2 \right|=2\sqrt{3}-\left( 2-\sqrt{3} \right)=2\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=3\sqrt{3}-2 $ .

Ta có $ \sqrt{4{{x}^{2}}}=3x-1\Leftrightarrow \left| 2x \right|=3x-1\left( * \right) $

Nếu $ x\ge 0\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow 2x=3x-1\Leftrightarrow x=1 $

Nếu $ x < 0\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow -2x=3x-1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}\left( L \right) $

Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị x thỏa mãn là $ x=1 $

Ta có: $ \sqrt{144{{a}^{2}}}=\sqrt{{{(12a)}^{2}}}=\left| 12a \right| $ mà $ a > 0\Rightarrow 12a > 0 $ nên $ \left| 12a \right|=12a $ hay $ \sqrt{144{{a}^{2}}}=12a $

Từ đó: $ A=\sqrt{144{{a}^{2}}}-9a=12a-9a=3a. $ .

Ta có biểu thức $ P=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3} $ xác định khi $ {{x}^{2}}-4x+3\ge 0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\ge 0 $

TH1: $ \left\{ \begin{array}{l} x-1\ge 0 \\ x-3\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 3 $

TH2: $ \left\{ \begin{array}{l} x-1\le 0 \\ x-3\le 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\le 1 $

Vậy với $ x\ge 3;x\le 1 $ thì biểu thức xác định

ĐK: $ x\ge 2021 $ .
Ta có: $ \left( {{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{x-2021}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-1\,=\,0 \\
\sqrt{x-2021}\,=0 \\
\end{matrix}\, \right.\,\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x\,=\,\pm 1 \\
x-2021\,=\,0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x\,=\,\pm 1\,\left( \text{L} \right) \\
x\,=\,2021\,\left( \text{TM} \right)\, \\
\end{matrix} \right.\, $
Vậy tập nghiệm của phương trình là $ S\,=\,\left\{ 2021 \right\} $ .

Biểu thức có nghĩa khi $ 2x-4\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2 $ .

Để $ A=10 $ thì $ \sqrt{4x-4}=10\Leftrightarrow 4x-4=100\Leftrightarrow 4x=104\Leftrightarrow x=26 $ . (TMĐK)

Ta có: $ \sqrt{9x}\le 15\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& 9x\ge 0 \\
& 9x\le {{15}^{2}} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
& x\ge 0 \\
& x\le 25 \\
\end{array} \right. $
Vậy tổng số các giá trị nguyên của $ x $ thỏa bất phương trình là:
$ \begin{array}{l}
& S=1+2+3+4+...+24+25 \\
& S=\left( 25+1 \right).\dfrac{25}{2}=325. \\
\end{array} $

Biểu thức có nghĩa khi $ \left\{ \begin{array}{l}
& x\ge 1 \\
& 5-x > 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow 1\le x < 5 $ .

Biểu thức có nghĩa khi $ {{x}^{2}}-6x+8 > 0 $ (do $ 3 > 0 $ ) $ \Rightarrow \left( x-2 \right)\left( x-4 \right) > 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
& x > 4 \\
& x < 2 \\
\end{array} \right. $ .

Ta có

$ \begin{array}{l} 2\sqrt{5}-3\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{2}}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}} \\ =2\sqrt{5}-3\left| 2-\sqrt{5} \right|+\sqrt{9-2.3.\sqrt{5}+5} \\ =2\sqrt{5}-3\left( \sqrt{5}-2 \right)+\sqrt{{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{2}}} \\ =2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+6+\left| 3-\sqrt{5} \right| \\ =-2\sqrt{5}+9 \end{array} $

$ \sqrt{5+\sqrt{x}}=4 $ (ĐKXĐ: $ x\ge 0 $ )
$ \Leftrightarrow 5+\sqrt{x}=16 $
$ \Leftrightarrow \sqrt{x}=11\,\,\,\Leftrightarrow x=121 $ (t/m ĐKXĐ).

Ta có $ \sqrt{\dfrac{-2}{3x-1}} $ có nghĩa khi $ \dfrac{-2}{3x-1}\ge 0 $ mà $ -2 < 0 $

$ \Rightarrow 3x-1 < 0 $ $ \Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3} $ .

Ta có

$ \begin{array}{l} 2\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{4}}}-3\sqrt{{{\left( -5 \right)}^{2}}}+5\sqrt{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{8}}}} \\ =2\sqrt{{{\left[ {{\left( -3 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}-3\left| -5 \right|+5\sqrt{\sqrt{{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{4}} \right]}^{2}}}} \\ =2\left| {{\left( -3 \right)}^{2}} \right|-3.5+5\sqrt{\left| {{\left( -2 \right)}^{4}} \right|} \\ =2.9-3.5+5.\left| {{\left( -2 \right)}^{2}} \right| \\ =18-15+20=23 \end{array} $

Ta có $ \sqrt{\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}} $ có nghĩa khi và chỉ khi $ \dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -1 \\ x\ne 0 \end{array} \right. $

Ta có

$ \begin{array}{l} \dfrac{{{x}^{2}}-7}{x+\sqrt{7}}=\dfrac{{{x}^{2}}-{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}}{x+\sqrt{7}}=\dfrac{\left( x-\sqrt{7} \right)\left( x+\sqrt{7} \right)}{x+\sqrt{7}}=x-\sqrt{7} \\ \Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-7}{x+\sqrt{7}} > \sqrt{7}\Leftrightarrow x-\sqrt{7} > \sqrt{7}\Leftrightarrow x > 2\sqrt{7} \end{array} $

Biểu thức có nghĩa khi $ 2x-{{x}^{2}} > 0\Leftrightarrow x\left( x-2 \right) < 0\Leftrightarrow 0 < x < 2 $ .

Ta có: $ \sqrt{{{x}^{2}}+10x+25}=\sqrt{{{(x+5)}^{2}}}=\left| x+5 \right|=-x-5$ (vì $ x < -5 $ ).

Nên $ \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+10x+25}}{-5-x}=\dfrac{-(x+5)}{-(x+5)}=1 $ .

Ta có: $ \sqrt{\dfrac{4\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x-1}} $ có nghĩa khi $ \left\{ \begin{array}{l}
& \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x-1}\ge 0 \\
& x\ne 1 \\
\end{array} \right. $ . Mà $ {{x}^{2}}+1 > 0\forall x\Rightarrow x-1 > 0\Leftrightarrow x > 1 $ .

Biểu thức có nghĩa khi $ 2x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{2} $ .

Ta có: $ P=\sqrt{{{a}^{6}}{{\left( a-10 \right)}^{2}}}=\left| {{a}^{3}} \right|\sqrt{{{\left( a-10 \right)}^{2}}}={{a}^{3}}\left| a-10 \right|={{a}^{3}}\left( 10-a \right) $ .

Ta có $ \sqrt{-3x+6} $ có nghĩa khi và chỉ khi $ -3x+6\ge 0\Leftrightarrow x\le 2 $

Ta có: $ Q=\dfrac{3\sqrt{x}-1}{2020} < 0\Leftrightarrow 3\sqrt{x}-1 < 0\Leftrightarrow \sqrt{x} < \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow 0\le x < \dfrac{1}{9} $ .

Ta có $ \dfrac{1}{x-1}\sqrt{4-{{x}^{2}}} $ có nghĩa khi và chỉ khi $ \left\{ \begin{array}{l} 4-{{x}^{2}}\ge 0 \\ x-1\ne 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4\ge {{x}^{2}} \\ x\ne 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right|\le 2 \\ x\ne 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2\le x\le 2 \\ x\ne 1 \end{array} \right. $

Biểu thức có nghĩa khi $ x-2\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2 $ .

Ta có

$ \begin{array}{l} \dfrac{{{x}^{2}}-2\sqrt{5}x-15}{x-3\sqrt{5}}=\dfrac{{{x}^{2}}-2\sqrt{5}x+5-20}{x-2\sqrt{5}} \\ =\dfrac{{{\left( x-\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}{x-3\sqrt{5}}=\dfrac{\left( x-3\sqrt{5} \right)\left( x+\sqrt{5} \right)}{x-3\sqrt{5}}=x+\sqrt{5} \end{array} $

Điều kiện xác định: $ {{x}^{2}}-6x+8\ne 0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x-4 \right)\ne 0\Leftrightarrow x\ne 2;4 $ .

Ta có $ \sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{n}^{2}}}=\left| n+1 \right|+\left| n \right|=2n+1 $ do $ n\in \mathbb{N} $

Mặt khác $ {{\left( n+1 \right)}^{2}}-{{n}^{2}}=\left( n+1-n \right)\left( n+1+n \right)=2n+1 $

Vậy $ \sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{n}^{2}}}={{\left( n+1 \right)}^{2}}-{{n}^{2}} $

Biểu thức có nghĩa khi $ \dfrac{2x-6}{\sqrt[3]{x+1}}\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
& \left\{ \begin{array}{l}
& 2x-6\ge 0 \\
& x+1 > 0 \\
\end{array} \right. \\
& \left\{ \begin{array}{l}
& 2x-6\le 0 \\
& x+1 < 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
& x\ge 3 \\
& x < -1 \\
\end{array} \right. $ .

Ta có: $ \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{7+2\sqrt{10}} $ $ =\sqrt{1+2\sqrt{2}+2}-\sqrt{2+2\sqrt{2}.\sqrt{5}+5} $ $ =\sqrt{{{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{2}+\sqrt{5} \right)}^{2}}} $
$ =1+\sqrt{2}-\left( \sqrt{2}+\sqrt{5} \right) $ $ =1-\sqrt{5} $ .
$ \Rightarrow a=1 $ ; $ b=1 $ $ \Rightarrow a+b=2 $ .

Ta có

$ \begin{array}{l} \sqrt{5\sqrt{23-8\sqrt{7}}-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{5\sqrt{7-2.4.\sqrt{7}+16}-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{5\sqrt{{{\left( \sqrt{7}-4 \right)}^{2}}}-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{5\left| \sqrt{7}-4 \right|-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{20-5\sqrt{7}-4-\sqrt{7}} \\ =\sqrt{9-6\sqrt{7}+7} \\ =\sqrt{{{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{2}}} \\ =3-\sqrt{7} \end{array} $