Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình $3{{x}^{2}}-2x+m=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' < 0\Leftrightarrow 1-3m < 0\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}$

Ta có

$\begin{gathered}   \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 5} \right) = 9 + 5 = 14 \hfill \\    \Rightarrow \left[ \begin{gathered}   {x_1} = 3 + \sqrt {14}  \hfill \\   {x_2} = 3 - \sqrt {14}  \hfill \\  \end{gathered}  \right. \hfill \\  \end{gathered}$

Phương trình có nghiệm kép

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 15 = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\left( {m - 1 - 4} \right)\left( {m - 1 + 4} \right) = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l} m = 5\\ m = - 3 \end{array} \right. \end{array}$

${{x}^{2}}-8x-16=0$ có $\Delta '={{\left( -4 \right)}^{2}}+16=32 > 0\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$-{{x}^{2}}+8x+16=0$ có $\Delta '={{4}^{2}}-\left( -1 \right).16=32 > 0\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$-{{x}^{2}}-8x+16=0$ có $\Delta '={{\left( -4 \right)}^{2}}-\left( -1 \right).16=32 > 0\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

${{x}^{2}}-8x+16=0$ có $\Delta '={{4}^{2}}-16=0\Rightarrow$ Phương trình có nghiệm kép.

$\Delta '={{\left( 1-\sqrt{3} \right)}^{2}}+1 > 0\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

${{x}^{2}}-4x-17=0$ có $\Delta '={{\left( -2 \right)}^{2}}+17 > 0\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$-{{x}^{2}}-\sqrt{3}x-50=0$ có $\Delta ={{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}-4.50 < 0\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

$71{{x}^{2}}+8x+1=0$ có $\Delta '={{5}^{2}}-4.371 < 0\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

${{\left( x-5 \right)}^{2}}+3 > 0\forall x\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

$7{{x}^{2}}+10x-8=0$ có $\Delta '={{5}^{2}}+56=81\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=\dfrac{4}{7};{{x}_{2}}=-2$ .

Phương trình $-{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m=0$ có:

${\Delta }'=-m$ phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $-m > 0\Leftrightarrow m < 0$

Khi đó: ${{x}_{1}}=m-\sqrt{-m}$

${{x}_{2}}=m+\sqrt{-m}$

${{x}^{2}}+2x-7=0$ có $\Delta '={{1}^{2}}+7=8\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=-1+2\sqrt{2} > 0;{{x}_{2}}=-1-2\sqrt{2} < 0$ .

${{x}^{2}}+4x+5=0$ có $\Delta '=2-5=-3 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình là ${{x}^{2}}-3x-5=0$ .