Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,N,P,Q$ vào hàm số $f(x)=5,5x$ ta được

+) Với $M(0;1)$ , thay $x=0;y=1$ ta được $1=5,5.0\Leftrightarrow 1=0$ (Vô lý) nên $M\notin (C)$

+) Với $N(2;11)$ , thay $x=2;y=11$ ta được $2.5,5=11\Leftrightarrow 11=11$ (luôn đúng) nên $N\in (C)$

+) Với $P(-2;11)$ , thay $x=-2;y=11$ ta được $11=5,5.(-2)\Leftrightarrow 11=-11$ (Vô lý) nên $P\notin (C)$

+) Với $P(-2;12)$ , thay $x=-2;y=12$ ta được $12=5,5.(-2)\Leftrightarrow 12=-11$ (Vô lý) nên $Q\notin (C)$ .

Thay $x=-2$ vào hàm số $f(x)=-2{{x}^{3}}$

ta được $f(-2)=-2.{{(-2)}^{3}}=16$

Thay $x=-1$ vào hàm số $h(x)=10-3x$

 ta được $h(-1)=10-3(-1)=13$

Nên $f(-2) > h(-1)$ .

Thay $x=2$ vào hàm số ta được $f(2)={{2}^{3}}+2=10$ .

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Giả sử ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$ và ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D$

Ta có $f({{x}_{1}})=1-4{{x}_{1}};f({{x}_{2}})=1-4{{x}_{2}}$

Xét hiệu $H=f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=1-4{{x}_{1}}-(1-4{{x}_{2}})=1-4{{x}_{1}}-1+4{{x}_{2}}=4({{x}_{2}}-{{x}_{1}}) > 0$ (vì ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$ )

Vậy $y=1-4x$ là hàm số nghịch biến.

Thay $x=2;y=-3$ vào $y=mx-3m+2$ ta được $m.2-3m+2=-3\Leftrightarrow -m=-5\Leftrightarrow m=5$ .

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Giả sử ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$ và ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R}$ .

Ta có $f({{x}_{1}})=5{{x}_{1}}-16;f({{x}_{2}})=5{{x}_{2}}-16$

Xét hiệu $H=f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=5{{x}_{1}}-16-(5{{x}_{2}}-16)$

$=5{{x}_{1}}-16-5{{x}_{2}}+16=5({{x}_{1}}-{{x}_{2}}) < 0$ (vì ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$ )

Vậy $y=5x-16$ là hàm số đồng biến.

Thay $x=3$ vào hàm số ta được $f(3)={{3.3}^{2}}+2.3+1=34$

Thay $x=2$ vào hàm số ta được $f(2)={{3.2}^{2}}+2.2+1=17$

Suy ra $f(3)-2f(2)=34-2.17=0$ .

+) Thay $x=1;y=4$ vào $2x+y-3=0$ ta được $2.1+4-3=3\ne 0$

+) Thay $x=1;y=4$ vào $y-5=0$ ta được $4-5=-1\ne 0$

+) Thay $x=1;y=4$ vào $4x-y=0$ ta được $4.1-4=0$

+) Thay $x=1;y=4$ vào $5x+3y-1=0$ ta được $5.1+3.4-1=16\ne 0$

Vậy đường thẳng $d:4x-y=0$ đi qua $M(1;4)$ .

+) Thay $x=1;y=1$ vào $2x+y-3=0$ ta được $2.1+1-3=0$ nên điểm $N$ thuộc đường thẳng $2x+y-3=0$

+) Thay $x=1;y=1$ vào $y-3=0$ ta được $1-3=-2\ne 0$

+) Thay $x=1;y=1$ vào $4x+2y=0$ ta được $4.1+2.1=6\ne 0$

+) Thay $x=1;y=1$ vào $5x+3y-1=0$ ta được $5.1+3.1-1=7\ne 0$

Vậy đường thẳng $d:2x+y-3=0$ đi qua $N(1;1)$ .

Thay $x=a$ vào hai hàm số đã cho ta được $f(a)=-2{{a}^{2}};g(a)=3a+5$ Khi đó $\dfrac{1}{2}f(a)=g(a)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.(-2{{a}^{2}})=3a+5\Leftrightarrow -{{a}^{2}}=3a+5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+3a+5=0$ $\Leftrightarrow {{\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{11}{4}=0$

(vô lý vì ${{\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{11}{4}\ge \dfrac{11}{4} > 0;\forall a$ )

 Vậy không có giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có

$\begin{array}{l} f\left( 3+\sqrt{2} \right)=\left( 3-\sqrt{2} \right)\left( 3+\sqrt{2} \right)+1 \\ =9-2+1 \\ =8 \end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l} f\left( a \right)+f\left( 2+a \right)=0 \\ \Leftrightarrow 3a-1+3\left( 2+a \right)-1=0 \\ \Leftrightarrow 6a=-4\Rightarrow a=-\dfrac{2}{3} \end{array}$

Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,O,P,Q;A$ vào hàm số $f(x)=3x$ ta được

+) Với $M(1;1)$ , thay $x=1;y=1$ ta được $1=3.1\Leftrightarrow 1=3$ (vô lý) nên $M\notin (C)$ .

+) Với $O(0;0)$ , thay $x=0;y=0$ ta được $0=3.0\Leftrightarrow 0=0$ (luôn đúng) nên $O\in (C)$ .

+) Với $P(-1;-3)$ , thay $x=-1;y=-3$ ta được $-3=3.(-1)\Leftrightarrow -3=-3$ (luôn đúng) nên $P\in (C)$ .

+) Với $Q(3;9)$ , thay $x=3;y=9$ ta được $9=3.3\Leftrightarrow 9=9$ (luôn đúng) nên $Q\in (C)$ .

+) Với $A(-2;6)$ , thay $x=-2;y=6$ ta được $6=(-2).3\Leftrightarrow 6=-6$ (vô lý) nên $A\notin (C)$ .

Vậy có ba điểm thuộc đồ thị $(C)$ trong số các điểm đã cho.

Ta có $f\left( 1 \right)=2\sqrt{1-1}=0;f\left( 5 \right)=2.\sqrt{5-1}=4\Rightarrow f\left( 1 \right)+f\left( 5 \right)=4$ vì $5\ge 0$ và ${{\left( 5 \right)}^{2}}=25$

Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,N,P,Q$ vào hàm số $f(x)=3x-2$ ta được

+) Với $M(0;1)$ , thay $x=0;y=1$ ta được $1=3.0-2\Leftrightarrow 1=-2$ (Vô lý) nên $M\notin (C)$

+) Với $N(2;3)$ , thay $x=2;y=3$ ta được $3=3.2-2\Leftrightarrow 3=4$ (Vô lý) nên $N\notin (C)$ .

+) Với $P(-2;-8)$ , thay $x=-2;y=-8$ ta được $-8=3.(-2)-2\Leftrightarrow -8=-8$ (luôn đúng) nên $P\in (C)$ .

+) Với $Q(-2;0)$ , thay $x=-2;y=0$ ta được $0=3.(-2)-2\Leftrightarrow 0=-8$ (Vô lý) nên $Q\notin (C)$ .

Thay $x=3$ vào hàm số ta được $f(3)={{3}^{3}}-3.3-2=16$

$\Rightarrow 2.f(3)=2.16=32$ .

Thay $x=-1$ vào hàm số $f(x)=6{{x}^{4}}$ ta được $f(-1)=6.{{(-1)}^{4}}=6$

Thay $x=\dfrac{2}{3}$ vào hàm số $h(x)=7-\dfrac{3x}{2}$ ta được $h\left( \dfrac{2}{3} \right)=7-\dfrac{3.\dfrac{2}{3}}{2}=6$

Nên $f(-1)=h\left( \dfrac{2}{3} \right)$ .

Thay $x=2;y=-5$ vào $y=\dfrac{5-m}{2}x-2m-1$

ta được $-5=\dfrac{5-m}{2}.2-2m-1\Leftrightarrow -3m+4=-5\Leftrightarrow -3m=-9\Leftrightarrow m=3.$

Thay $x=4{{a}^{2}}$ vào $f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+4}$

ta được $f(4{{a}^{2}})=\dfrac{2\sqrt{4{{a}^{2}}}-2}{\sqrt{4{{a}^{2}}}+4}=\dfrac{2\left| 2a \right|-2}{\left| 2a \right|+4}=\dfrac{4a-2}{2a+4}=\dfrac{2a-1}{a+2}$ (vì $a\ge 0\Rightarrow \left| 2a \right|=2a$ ).

Thay $x={{a}^{2}}$ ta có $f\left( {{a}^{2}} \right)=\dfrac{\left| a \right|+1}{2\left| a \right|+3}$ vì $a < 0$ ta có:

$f\left( {{a}^{2}} \right)=\dfrac{1-a}{3-2a}$

Thay $x=-3;y=6$ vào $y=(2-3m)x-6$ ta được $6=(2-3m).(-3)-6\Leftrightarrow 9m=18\Leftrightarrow m=2$ .