Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Trang chủPhương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 4.4/5
Tác giả: Thầy Tùng
Đăng ngày: 19 Aug 2022
Lý thuyết về Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x P hương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$
Dạng: $a\sin x+b\cos x=c$
Trong đó $a,b$ và $c$ là những hằng số đã cho, $a≠0$ hoặc $b≠0$
Phương pháp giải:
+) Điều kiện có nghiệm: \[{c^2} \le {a^2} + {b^2}\]
+) Chia 2 vế của phương trình cho \[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \]: Khi đó phương trình tương đương với:
\[\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Đặt : \[\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\
\dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha
\end{array} \right.\]
Khi đó phương trình tương đương với:
\[\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]. Đây là phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình \(2\sin 3x + \sqrt[{}]{5}\cos 3x = - 3\) $(2)$
Giải: Ta có
\[\begin{array}{l}
2\sin 3x + \sqrt 5 \cos 3x = - 3\\
\Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }}\sin 3x + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }}\cos 3x = - \dfrac{3}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }}\\
\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\sin 3x + \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\cos 3x = - 1\\
\Leftrightarrow \cos \left( {3x - \beta } \right) = - 1\\
\Leftrightarrow 3x - \beta = \pi + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \dfrac{{\beta + \pi }}{3} + k\dfrac{{2\pi }}{3}{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\]
Trong đó $\sin \beta = \dfrac{2}{3}$ và $\cos \beta = \dfrac{{\sqrt[{}]{5}}}{3}$
Bài tập tự luyện có đáp án Xem full lời giải Câu 1: Tìm $ m $ để phương trình $ m=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4} $ có nghiệm .
A $ \dfrac{2}{11}\le m\le 2 $ .
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Do $ 2\cos x-\sin x+4 > 0 $ với $ \forall x $ nên
Phương trình $ m=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4} $
$ \Leftrightarrow $
$ m\left( 2\cos x-\sin x+4 \right)=\cos x+2\sin x+3 $ có nghiệm.
$ \Leftrightarrow \left( 2m-1 \right)\cos x-\left( m+2 \right)\sin x=3-4m $ có nghiệm $ \Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m+2 \right)}^{2}}\ge {{\left( 3-4m \right)}^{2}} $
$ \Leftrightarrow 11{{m}^{2}}-24m+4\le 0\Leftrightarrow \dfrac{11}{2}\le m\le 2 $ .
Câu 2: Phương trình $ \tan x+2\cot x-3=0 $ có các nghiệm dạng $ x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi $ và $ x=\arctan m+k\pi ;k\in Z $ thì.
A $ m=\dfrac{1}{2} $
B $ m=1 $
C $ m=2 $
D $ m=-2 $
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Điều kiện $ \left\{ \begin{array}{l} \sin x\ne 0 \\ \cos x\ne 0 \end{array} \right. $ Phương trình $ \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{2}{\tan x}-3=0 $ $ \begin{array}{l} \Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-3\tan x+2=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=1 \\ \tan x=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan 2+k\pi \end{array} \right. ;\left( k\in z \right) \end{array} $ Vậy $ m=2. $
Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình $c{os}3x-\sin 3x=1$ trong khoảng \[\left( 0;\pi \right)\] là
A \(x=\dfrac{5\pi }{12}\) .
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $\begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 1} \\ { \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = \sin \frac{\pi }{4}} \\ { \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{\pi }{4} - 3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \frac{\pi }{4} - 3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.} \end{array}$ $\begin{gathered}
x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow 0 < k < \frac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} \hfill \\
x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} \hfill \\
\end{gathered} $
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \[ \Rightarrow \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{{7\pi }}{6}\]
Câu 4: Trên đường tròn lượng giác số điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình
$ 2\sin 3x-\sqrt{3}\cos x=\sin x $ là
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $ \begin{array}{l} 2\sin 3x-\sqrt{3}\cos x=\sin x \\ \Leftrightarrow 2\sin 3x=\sqrt{3}\cos x+\sin x \\ \Leftrightarrow \sin 3x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x \end{array} $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 3x=\sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right) \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=x+\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ 3x=\pi -\left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \end{array} $
Suy ra có 4 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là $ x=\dfrac{\pi }{6},x=\dfrac{2\pi }{3},x=\dfrac{7\pi }{6},x=\dfrac{5\pi }{3} $
Câu 5: Phương trình \(\cos \left( 2x-{{15}^{0}} \right)-\sin \left( 2x-{{15}^{0}} \right)=-1\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $\begin{array}{*{20}{l}}
{PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = - 1}\\
{ \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)}\\
{ \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2x + {{60}^0} = - {{45}^0} + {{360}^0}k}\\
{ - 2x + {{60}^0} = {{180}^0} + {{45}^0} + {{360}^0}k}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1}\\
{x = - \frac{{{{165}^0}}}{2} + {{180}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < - \frac{{165}}{{{2^0}}} + {{180}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$
Câu 6: Phương trình
$ {{\cos }^{6}}x-{{\sin }^{6}}x=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{3}}2x $ có bao nhiêu điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác?
math widget
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $\begin{array}{l} {{\cos }^{6}}x-{{\sin }^{6}}x=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)\left( {{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x \right)=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left[ {{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x \right]=\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( 1-\dfrac{1}{4}{{\sin }^{2}}2x \right)-\dfrac{13}{8}{{\cos }^{2}}2x=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0 \\ 2{{\cos }^{2}}2x-13\cos 2x+6=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0 \\ \cos 2x=\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2} \\ x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi \end{array} \right. \left( k\in \mathbb{Z} \right) \end{array}$
+ Ứng với họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}$ cho 4 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
+ Ứng với $x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi $ cũng cho 4 điểm biểu diễn
Vậy có 8 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Câu 7: Phương trình $2\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\cos x=3+\cos 2x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$ ?
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Ta có
$\begin{align}
& PT\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\sqrt{2}\left( 1+\cos 2x \right)=3+\cos 2x \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\left( \sqrt{2}-1 \right)\cos 2x=3-\sqrt{2} \\
& a=\sqrt{2}\,\,;\,b=\sqrt{2}-1;\,c=3-\sqrt{2} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}=5-2\sqrt{2} \\
& {{c}^{2}}={{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{2}}=11-6\sqrt{2} \\
\end{align}$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}}$ , vô nghiệm.
Câu 8: Nghiệm của phương trình $ 2{{\tan }^{2}}x+\dfrac{3}{\cos x}=-3 $ là.
A $ x=k3\pi ;k\in Z $
B $ x=\left( 2k+1 \right)\pi ;k\in Z $
C $ x=k\dfrac{\pi }{3};k\in Z $
D $ x=k\pi ;k\in Z $
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Điều kiện. $ \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right) $ Ta có. $ 1+{{\tan }^{2}}x=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow {{\tan }^{2}}x=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 $ Phương trình $ \Leftrightarrow 2\left( \dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)+\dfrac{3}{\cos x}=-3 $ $ \begin{array}{l} \Leftrightarrow 2. \dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}+3. \dfrac{1}{\cos x}+1=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{\cos x}=-1 \\ \dfrac{1}{\cos x}=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1 \\ \cos x=-2\left( l \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\pi +k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right) \end{array} $
Câu 9: Nghiệm phương trình $2{{\sin }^{2}}x+\sin x.\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0$ là
A . $\left[ \begin{gathered}
x = -\frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\
x = \arctan \left( { \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$
B $\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\
x = \arctan \left( { \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$
C $\left[ \begin{gathered}
x = k\pi \hfill \\
x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$
D $\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\
x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ không là nghiệm của phươn g trình nên chia cả 2 vế cho ${\cos ^2}x$ ta được
$2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\tan x = 1 \hfill \\
\tan x = - \frac{3}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\
x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Câu 10: Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình $ 2{{\sin }^{2}}x+7\sin x-4=0 $ là.
A $ \dfrac{\pi }{6} $
B $ \dfrac{4}{3}\pi $
C $ \dfrac{5}{6}\pi $
D $ \pi $
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $ \begin{array}{l} 2{{\sin }^{2}}x+7\sin x-4=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \operatorname{sinx}=\dfrac{1}{2} \\ \sin x=-4\left( VN \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array} \right. ;\left( k\in \mathbb{Z} \right) \end{array} $ Vậy tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất là $ $ \(\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{5\pi }{6}=\pi \)
Câu 11: Phương trình $ \sin x+\sqrt{3}\cos x=1 $ có các nghiệm dạng $ x=\alpha +k2\pi $ và $ x=\beta +k2\pi $ với $ -\pi <\alpha ;\beta <\pi $ thì $ \alpha \beta =? $
A $ -\dfrac{{{\pi }^{2}}}{6} $
B $ -\dfrac{{{\pi }^{2}}}{12} $
C $ -\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2} $
D $ \dfrac{{{\pi }^{2}}}{12} $
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $ \begin{array}{l} \sin x+\sqrt{3}\cos x=1\Leftrightarrow \sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \end{array} \right. ;\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow \alpha . \beta =\dfrac{-\pi }{6}. \dfrac{\pi }{2}=\dfrac{-{{\pi }^{2}}}{12}, \end{array} $
Câu 12: Với giá trị nào của m thì phương trình $ m\sin 2x+m\cos{2x}+2m =2\sin^2{x}-2 $ có nghiệm
C $ \left[ \begin{matrix} m > 3 \\ m < 0. \\ \end{matrix} \right. $
D $ \left[ \begin{matrix} m\ge 3 \\ m\le 0 \\ \end{matrix} \right. $
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Biến đổi PT để được $ m\sin 2x+(m+1)\cos{2x} + 2m+1 = 0 $
Phương trình $a\sin{x} + b\cos{x} =c$ có nghiệm khi và chỉ khi $ { a ^ 2 }+{ b ^ 2 }\ge { c ^ 2 } $
Áp dụng ta có:
$m^2 + \left( m+1 \right)^ 2 \ge \left( 2m+1 \right)^ 2$
$\Leftrightarrow 2m^2 + 2m+1\ge 4m^2+4m+1$
$\Leftrightarrow -2{ m ^ 2 }-2m\ge 0 $
Từ đó ta được $ -1\le m\le 0$
Câu 13: Phương trình $ \sin x-3\cos x=0 $ có nghiệm dạng $ x=arc\cot m+k\pi ;k\in Z $ thì giá trị của $ m $ là
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $\begin{array}{*{20}{l}}
\sin x - 3\cos x = 0 \\
\Leftrightarrow 3\cos x = \sin x \\
\Leftrightarrow \cot x = \frac{1}{3} \\
\Leftrightarrow x = arc\cot \frac{1}{3} + k\pi ;k \in \mathbb{Z} \\
\end{array}$
Vậy $ m=\dfrac{1}{3}. $
Câu 14: Nghiệm phương trình $\cos 7x-\sin 5x=\sqrt{3}(\cos 5x-\sin 7x)$ là
A $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{24}+\dfrac{k\pi }{6} \\ \end{align} \right.$
B $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{4} \\ & x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.$
C $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{12}+\dfrac{k\pi }{2} \\ & x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{3} \\ \end{align} \right.$
D $\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{12}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{24}+\dfrac{k\pi }{6} \\ \end{align} \right.$
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Phương trình $\Leftrightarrow $ $\cos 7x+\sqrt{3}\sin 7x=\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 7x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x+\dfrac{1}{2}\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}\cos 7x+\sin \dfrac{\pi }{3}\sin 7x=\cos \dfrac{\pi }{6}\cos 5x+\sin \dfrac{\pi }{6}\sin 5x\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \cos (7x-\dfrac{\pi }{3})=\cos (5x-\dfrac{\pi }{6})$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 7x-\dfrac{\pi }{3}=5x-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 7x-\dfrac{\pi }{3}= -(5x-\dfrac{\pi }{6})+k2\pi \\ \end{align} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 12x = \dfrac{{\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{24} + \dfrac{{k\pi }}{6} \end{array} \right.k \in Z$
Câu 15: Phương trình $2\sqrt{2}(\sin x+\cos x)\cos x=3+\cos 2x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Ta có
$\begin{align}
& PT\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\sqrt{2}\left( 1+\cos 2x \right)=3+\cos 2x \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+\left( \sqrt{2}-1 \right)\cos 2x=3-\sqrt{2} \\
& a=\sqrt{2}\,\,;\,b=\sqrt{2}-1;\,c=3-\sqrt{2} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2+{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}=5-2\sqrt{2} \\
& {{c}^{2}}={{\left( 3-\sqrt{2} \right)}^{2}}=11-6\sqrt{2} \\
\end{align}$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}}$, vô nghiệm
Câu 16: Số họ nghiệm của phương trình \(\dfrac{3}{\operatorname{s}{inx}}=5+{{\cot }^{2}}x\) là
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết \(\begin{align} & DK:\sin x\ne 0 \\ & \Rightarrow PT\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sin x}=5+\dfrac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sin x}=5+\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \\ & \Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}x-3\sin x+1=0 \\ \end{align}\) Vậy PT vô nghiệm
Câu 17: Nghiệm phương trình \(\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x\) là
A \(\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)
B \(\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)
C \(\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)
D \(\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết \(\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow \sin 2x - \left( {1 - \cos 2x} \right) = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 18: Phương trình:$\sin 2x-3\cos 2x=3$ có bao nhiêu họ nghiệm
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Chia cả hai vế phương trình (1) cho $\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10}$ ta được
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin 2x-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos 2x=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$
Đặt $\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\sin \alpha ,\,\,\,\,\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\cos \alpha $. Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
$\begin{array}{l} \cos \alpha \sin 2x - \sin \alpha \cos 2x = \sin \alpha \Leftrightarrow \sin (2x - \alpha ) = \sin x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \alpha = \alpha + k2\pi \\ 2x - \alpha = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in Z \end{array}$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Câu 19: Nghiệm phương trình \(\sin 2x-2{{\sin }^{2}}x=2\cos 2x\) là
A \(\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)
B \(\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)
C \(\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)
D \(\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết \(\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow \sin 2x - \left( {1 - \cos 2x} \right) = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 20: Phương trình \(\cos \left( 2x-{{15}^{0}} \right)-\sin \left( 2x-{{15}^{0}} \right)=-1\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)$
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết $\begin{gathered}
\begin{array}{*{20}{l}}
{PT \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = - 1} \\
{ \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)} \\
{ \Leftrightarrow \sin \left( {{{45}^0} - 2x + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)} \\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2x + {{60}^0} = - {{45}^0} + {{180}^0}k} \\
{ - 2x + {{60}^0} = {{180}^0} - {{45}^0} + {{180}^0}k}
\end{array}} \right.} \\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < \frac{{105}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 1,k = 2} \\
{x = - \frac{{{{75}^0}}}{2} + {{90}^0}k \Rightarrow {{90}^0} < - \frac{{75}}{{{2^0}}} + {{90}^0}k < {{270}^0} \Rightarrow k = 2,k = 3}
\end{array}} \right.}
\end{array} \hfill \\
\Rightarrow x = {\frac{{465}}{2}^0};x = {\frac{{285}}{2}^0} \hfill \\
\end{gathered} $
là 2 nghiệm thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc \[\left( {{90}^{0}};{{270}^{0}} \right)\] .
Câu 21: Phương trình:$\sin 2x-3\cos 2x=3$ có bao nhiêu họ nghiệm
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Chia cả hai vế phương trình (1) cho $\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10}$ ta được
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin 2x-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos 2x=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$
Đặt $\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\sin \alpha ,\,\,\,\,\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\cos \alpha $. Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
$\begin{array}{l} \cos \alpha \sin 2x - \sin \alpha \cos 2x = \sin \alpha \Leftrightarrow \sin (2x - \alpha ) = \sin x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \alpha = \alpha + k2\pi \\ 2x - \alpha = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in Z \end{array}$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Câu 22: Nghiệm phương trình: $2\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x+6\sin x.\cos x=3+\sqrt{3}$
A $\left[ \begin{align}
& x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\
\end{align} \right.\,$
B $\left[ \begin{align}
& x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{8}+k2\pi \\
\end{align} \right.\,$
C $\left[ \begin{align}
& x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{12}+k\pi \\
\end{align} \right.\,$
D $\left[ \begin{align}
& x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\
& x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\
\end{align} \right.\,$
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết Phương trình (1)$\Leftrightarrow \sqrt{3}(1+\cos 2x)+3\sin 2x=3+\sqrt{3}\Leftrightarrow \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \cos (2x-\dfrac{\pi }{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.k \in Z$
Câu 23: Cho các phương trình sau.
(1) $ 2\sin x-\sqrt{5}=0 $
(2) $ {{\sin }^{3}}2x+5\cos 2x-7=0 $
(3) $ {{\sin }^{8}}3x+{{\cos }^{8}}3x=\dfrac{5}{4} $
Trong các phương trình trên, phương trình nào vô nghiệm ?
A Chỉ phương trình $ \left( 3 \right) $ vô nghiệm.
B Chỉ phương trình $ \left( 1 \right) $ vô nghiệm.
C Cả 3 phương trình vô nghiệm.
D Chỉ phương trình $ \left( 2 \right) $ vô nghiệm.
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết (1) $ 2\sin x-\sqrt{5}=0 $ ⇔ $sinx= \frac{\sqrt{5}}{2} > 1 $ ⇒ Phương trình vô nghiệm
(2) $ {{\sin }^{3}}2x+5\cos 2x-7=0 $ ⇒ Phương trình vô nghiệm
(3) $ {{\sin }^{8}}3x+{{\cos }^{8}}3x=\dfrac{5}{4} $ ⇒ Phương trình vô nghiệm
Câu 24: Số nghiệm phương trình $\dfrac{\tan x-\sin x}{{{\sin }^{3}}x}=\dfrac{1}{\cos x}$ trong khoảng \[0;2\pi\] là
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết ĐK: $\sin x \ne 0,\cos x \ne {0}$ .
Ta có $\dfrac{{\tan x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cot x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
$\Leftrightarrow\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \dfrac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{4}+k2\pi $ .
Khi đó phương trình chỉ có 2 nghiệm $\in \left( 0;2\pi \right),x=\dfrac{\pi }{4},x=\dfrac{7\pi }{4} .$
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới