Vận dụng đạo hàm vào một số bài toán khác

Vận dụng đạo hàm vào một số bài toán khác

4.8/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Vận dụng đạo hàm vào một số bài toán khác

Lý thuyết về Vận dụng đạo hàm vào một số bài toán khác

Vận dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm, kết hợp với các kiến đại số như giải phương, điều kiện có nghiệm v..v...

Ví dụ: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+2$ . Giải phương trình $f\left( x \right)'=0$

Giải: $f\left( x \right)'=3{{x}^{2}}-6x-9$.

$f\left( x \right)' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 3
\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 3
\end{array} \right.$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ . Tổng các nghiệm phương trình $y'=0$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện: $x\ne 1$

$y'=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ suy ra $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{align} \right.$ (t/m)
Vậy tổng các nghiệm là 2.

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+2x-2017$. Tập nghiệm của bất phương trình \[f'\left( x \right) \le 0\] là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $f'\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2\Rightarrow f'\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le 2$

Câu 3: Cho hàm số $y=\tan x$. Khi đó giá trị của biểu thức $\ y'-{{y}^{2}}-1$ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}$
\(\begin{align}
& \Rightarrow y'-{{y}^{2}}-1=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-1 \\
& =\dfrac{1-{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \\
& =\dfrac{1-\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{1-1}{{{\cos }^{2}}x}=0 \\
\end{align}\)

Câu 4: Cho hàm số $y=sin2x$. Nghiệm phương trình \({\left( y' \right)}^{2}+4{{y}^{2}}-4y=0\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có \(y'=2cos2x\)
\(\begin{align}
& \Rightarrow {{\left( y' \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}-4y=0 \\
& \Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}2x+4{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x=0 \\
& \Leftrightarrow 4-4\sin 2x=0 \\
& \Leftrightarrow \sin 2x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\
\end{align}\)

Câu 5: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}$ . Tất cả các giá trị m để nghiệm phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx=x\left( x-2m \right)$
Để $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt thì $m\ne 0$

Câu 6: Cho hàm số \(y=cot2x\). Khi đó giá trị của biểu thức $\ y'+2{{y}^{2}}$ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $y'=-\dfrac{2}{{{\sin }^{2}}2x}$
$\Rightarrow y'+2{{y}^{2}}=-\dfrac{2}{{{\sin }^{2}}2x}+\dfrac{2{{\cos }^{2}}2x}{{{\sin }^{2}}2x}=\dfrac{-2\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)}{{{\sin }^{2}}2x}=-2$

Câu 7: Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3\) . Tất cả các giá trị m để nghiệm phương trình $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có \(y'=-4{{x}^{3}}-2mx=-2x\left( 2{{x}^{2}}+m \right)\)
Để $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì $m<0$