Vận dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm, kết hợp với các kiến đại số như giải phương, điều kiện có nghiệm v..v...
Ví dụ: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+2$ . Giải phương trình $f\left( x \right)'=0$
Giải: $f\left( x \right)'=3{{x}^{2}}-6x-9$.
$f\left( x \right)' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right.$
Điều kiện: $x\ne 1$
$y'=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ suy ra $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{align} \right.$ (t/m)
Vậy tổng các nghiệm là 2.
Ta có $f'\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2\Rightarrow f'\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le 2$
Ta có $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}$
\(\begin{align}
& \Rightarrow y'-{{y}^{2}}-1=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-1 \\
& =\dfrac{1-{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \\
& =\dfrac{1-\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{1-1}{{{\cos }^{2}}x}=0 \\
\end{align}\)
Ta có \(y'=2cos2x\)
\(\begin{align}
& \Rightarrow {{\left( y' \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}-4y=0 \\
& \Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}2x+4{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x=0 \\
& \Leftrightarrow 4-4\sin 2x=0 \\
& \Leftrightarrow \sin 2x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\
\end{align}\)
Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx=x\left( x-2m \right)$
Để $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt thì $m\ne 0$
Ta có $y'=-\dfrac{2}{{{\sin }^{2}}2x}$
$\Rightarrow y'+2{{y}^{2}}=-\dfrac{2}{{{\sin }^{2}}2x}+\dfrac{2{{\cos }^{2}}2x}{{{\sin }^{2}}2x}=\dfrac{-2\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)}{{{\sin }^{2}}2x}=-2$
Ta có \(y'=-4{{x}^{3}}-2mx=-2x\left( 2{{x}^{2}}+m \right)\)
Để $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì $m<0$