Tính chất của nguyên hàm

Bài sau

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Tính chất của nguyên hàm

Tính chất

$\left(\displaystyle\int{f(x)dx}\right)' = f(x)$
$\displaystyle\int{f'(x)}dx=f(x)+C$

$\displaystyle\int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}}$ (k là hằng số khác 0)
$\displaystyle\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)}dx\pm \int{g\left( x \right)dx}$

Ví dụ 1. Ta có $\left( \displaystyle\int{\cos xdx} \right)'=\left( \sin x+C \right)'=\cos x$ và $\displaystyle\int{\left( \cos x \right)}'dx=\displaystyle\int{\left(-\sin{x}\right)}dx=\cos x+C$

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=3\sin x+\dfrac{2}{x}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$

Giải. Với $x\in \left( 0;+\infty \right)$ , ta có $\displaystyle\int{\left( 3\sin x+\dfrac{2}{x} \right)dx}=3\displaystyle\int{\sin \text{x}dx}+2\int{\dfrac{1}{x}dx}=-3\cos x+2\ln x+C$

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là hàm số liên tục,có $F\left( x \right),G\left( x \right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left( x \right),g\left( x \right)$ . Xét các mệnh đề sau: $(I): F\left( x \right)+G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)+g\left( x \right)$ . $(II): k.F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $k.f\left( x \right)$ với $k\ne 0$ . $(III): F\left( x \right).G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right).g\left( x \right)$ . Các mệnh đề đúng là

A
(II) và (III).
B
Cả ba mệnh đề.
C
(I) và (II).
D
(I) và (III).

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo tính chất nguyên hàm thì (I) và (II) là đúng, (III) sai.

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số $y=\left( \sin x\right)'$ là

A
$cos x+C.$
B
$-sinx +C$ .
C
$sin x+C$ .
D
$sin x$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng tính chất $\int{f'\left( x \right)d\text{x}=f\left( x \right)+C}$ ta được $\int{\left( \sin x \right)'}d\text{x}=\sin x+C$ .

Câu 3: Nếu $f\left( x \right)=\left( 2\sqrt{x}+1 \right)'$ thì $\int{f\left( x \right)d\text{x}}$ bằng

A
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}+C$
B
$2\text{x}+1$
C
$2x+C$
D
$2\sqrt{x}+C$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo định nghĩa nguyên hàm ta có $f\left( x \right)=F'\left( x \right)\Rightarrow \int{f\left( x \right)d\text{x}}=F\left( x \right)+C$
Vậy $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=2\sqrt{x}+1+{{C}_{1}}=2\sqrt{x}+C$

Câu 4: Cho $\int{{{x}^{2}}d\text{x}}=A$ và $\int{{{\cos }^{2}}xd\text{x}}=B$ , khi đó nguyên hàm $I$ của hàm số $y={{x}^{2}}+2{{\cos }^{2}}x$ theo A, B là

A
Không xác định.
B
$I=A+2B$ .
C
$I=2B-A$ .
D
$I=A+B$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$I=\int{({{x}^{2}}+2{{\cos }^{2}}x)d\text{x}}=\int{{{x}^{2}}d\text{x}}+2\int{{{\cos }^{2}}xd\text{x}}=A+2B$ .

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Tính chất của nguyên hàm

Lý thuyết về Tính chất của nguyên hàm

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số y=(sinx)′y=\left( \sin x\right)' là

Câu 3: Nếu f(x)=(2√x+1)′f\left( x \right)=\left( 2\sqrt{x}+1 \right)' thì ∫f(x)dx\int{f\left( x \right)d\text{x}} bằng

Câu 4: Cho ∫x2dx=A\int{{{x}^{2}}d\text{x}}=A và ∫cos2xdx=B\int{{{\cos }^{2}}xd\text{x}}=B, khi đó nguyên hàm II của hàm số y=x2+2cos2xy={{x}^{2}}+2{{\cos }^{2}}x theo A, B là

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số $y=\left( \sin x\right)'$ là

Câu 3: Nếu $f\left( x \right)=\left( 2\sqrt{x}+1 \right)'$ thì $\int{f\left( x \right)d\text{x}}$ bằng

Câu 4: Cho $\int{{{x}^{2}}d\text{x}}=A$ và $\int{{{\cos }^{2}}xd\text{x}}=B$ , khi đó nguyên hàm $I$ của hàm số $y={{x}^{2}}+2{{\cos }^{2}}x$ theo A, B là