Giả sử ta cần tính b∫ag(x)dxb∫ag(x)dx. Nếu ta viết được g(x)g(x) dưới dạng f[u(x)]u′(x), thì ta có b∫ag(x)dx=u(b)∫u(a)f(u)du.
Vậy bài toán quy về tính u(b)∫u(a)f(u)du. Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân mới này đơn giản hơn
Ví dụ. Tính 2∫1xex2dx
Giải. Ta có xex2dx=12ex2d(x2). Đặt u=x2 ta có u(1)=1,u(2)=4.Do đó
2∫1xex2dx=4∫1eu2du=12(e4−e)
Đặt t=√3x+1⇒{x=t2−13dx=2tdt3
Đổi cận: {x=0x=1⇒{t=1t=2 . Suy ra I=292∫1(t2−1)dt=29(t33−t)|21=827
2√2∫0xx2+1dx=122√2∫0d(x2+1)x2+1=12ln|x2+1||2√20=ln3.
Đặt t=x2⇒dt=2xdx,{x=0→t=0x=2→t=4⇒2∫0x.f(x2)dx=124∫0f(t)dt⇒4∫0f(x)dx=4⇒I=4.