Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến số - Cách 1

Bài sau

4.5/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Phương pháp đổi biến số - Cách 1

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Phương pháp đổi biến số - Cách 1

Giả sử ta cần tính $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {g(x)dx}$ . Nếu ta viết được $g(x)$ dưới dạng $f[u(x)] u'(x)$ , thì ta có $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {g(x)dx} = \displaystyle\int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du}$ .

Vậy bài toán quy về tính $\displaystyle\int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {f\left( u \right)du}$ . Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân mới này đơn giản hơn

Ví dụ. Tính $\displaystyle\int\limits_1^2 {x{e^{{x^2}}}dx}$

Giải. Ta có $x{e^{{x^2}}}dx = \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}}d\left( {{x^2}} \right)$ . Đặt $u = {x^2}$ ta có $u\left( 1 \right) = 1,u\left( 2 \right) = 4$ .Do đó

$\displaystyle\int\limits_1^2 {x e^{x^2}dx} = \displaystyle\int\limits_1^4 {\frac{e^u}{2}du} = \dfrac{1}{2}\left(e^4 - e\right)$

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x}{\sqrt{3x+1}}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3{{b}^{2}}}$ với $a;b\in \mathbb{N}*$ và $\dfrac{{{a}^{3}}}{3{{b}^{2}}}$ là phân số tối giản. Vậy giá trị của $a+b$ là:

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đặt $t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{3} \\ dx=\dfrac{2tdt}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Đổi cận: $\left\{ \begin{matrix} x=0 \\ x=1 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} t=1 \\ t=2 \\ \end{matrix} \right.$ . Suy ra $I=\dfrac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}dt=\dfrac{2}{9}\left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-t \right)\left| \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix}=\dfrac{8}{27} \right.$

Câu 2: Kết quả của tích phân $\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}$ là

A
$\ln 8$ .
B
$\ln 3$ .
C
$\dfrac{1}{2}\ln 3$ .
D
$\dfrac{1}{2}\ln 8$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}=\dfrac{1}{2}\left. \ln \left| {{x}^{2}}+1 \right| \right|_{0}^{2\sqrt{2}}=\ln 3}$ .

Câu 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết $\int\limits_{0}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}} \right)dx=2,}$ hãy tính $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx.}$

A
$I=\dfrac{1}{2}.$
B
$I=4.$
C
$I=1.$
D
$I=2.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đặt $t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx,\left\{ \begin{array}{l} & x=0\to t=0 \\ & x=2\to t=4 \end{array} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}} \right)dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f\left( t \right)dt\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=4\Rightarrow I=4.}}}$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Phương pháp đổi biến số - Cách 1

Lý thuyết về Phương pháp đổi biến số - Cách 1

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho tích phân I=1∫0x√3x+1=a33b2 I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x}{\sqrt{3x+1}}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3{{b}^{2}}} với a;b∈N∗ a;b\in \mathbb{N}* và a33b2 \dfrac{{{a}^{3}}}{3{{b}^{2}}} là phân số tối giản. Vậy giá trị của a+b a+b là:

Câu 2: Kết quả của tích phân 2√2∫0xx2+1dx\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}dx} là

Câu 3: Cho hàm số y=f(x) y=f\left( x \right) liên tục trên R. \mathbb{R}. Biết 2∫0x.f(x2)dx=2, \int\limits_{0}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}} \right)dx=2,} hãy tính I=4∫0f(x)dx. I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx.}

Câu 1: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x}{\sqrt{3x+1}}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3{{b}^{2}}}$ với $a;b\in \mathbb{N}*$ và $\dfrac{{{a}^{3}}}{3{{b}^{2}}}$ là phân số tối giản. Vậy giá trị của $a+b$ là:

Câu 2: Kết quả của tích phân $\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}$ là

Câu 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết $\int\limits_{0}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}} \right)dx=2,}$ hãy tính $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx.}$