* Định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn:
- Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm
Ví dụ: ΔΔ là tiếp tuyến của đường tròn (O)(O), HH gọi là tiếp điểm
*Tính chất:
-Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
*Dấu hiệu nhận biết:
- Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCMOCM , ta có OM2=OC2+MC2OM2=OC2+MC2
⇒MC2=OM2−OC2=3R2⇒MC=√3R⇒MC2=OM2−OC2=3R2⇒MC=√3R .
Lấy EE là trung điểm của AHAH . Do MM là trung điểm của BHBH (gt) nên EMEM là đường trung bình của ΔAHBΔAHB .
⇒EM//AB⇒EM//AB và EM=12ABEM=12AB .
Hình chữ nhật ABCDABCD có CD//ABCD//AB và CD=ABCD=AB mà NN là trung điểm của DCDC , suy ra
DN//ABDN//AB và DN=12ABDN=12AB .
Từ (1) và (2) ta có EM//DNEM//DN và EM=DNEM=DN .
Suy ra tứ giác EMNDEMND là hình bình hành, do đó DI//MNDI//MN .
Do EM//ABEM//AB mà AB⊥ADAB⊥AD (tính chất hình chữ nhật)
AH⊥DMAH⊥DM (gt) nên EE là trực tâm của ΔADMΔADM
Suy ra DE⊥AMDE⊥AM , mà DE//MNDE//MN (cmt)
⇒MN⊥AM⇒MN⊥AM tại MM .
Vì vậy MNMN là tiếp tuyến của đường tròn (A;AM)(A;AM) .
Gọi FF là trung điểm của AHAH
Xét hai tam giác vuông AEHAEH và ADHADH ta có FA=FH=FE=FD=AH2FA=FH=FE=FD=AH2
Nên bốn đỉnh A,D,H,EA,D,H,E cùng thuộc đường tròn tâm FF bán kính AH2AH2 .
Dễ có AMONAMON là hình bình hành (Vì ON//AM;OM//ANON//AM;OM//AN )
Ta chứng minh OM=ONOM=ON
Xét tam giác OBMOBM và tam giác OCNOCN có:
^OBM=^OCN=90∘ˆOBM=ˆOCN=90∘ ;
OB=OC=ROB=OC=R ,
Và ^OMB=^ONC=ˆAˆOMB=ˆONC=ˆA
⇒ΔOBM=ΔOCN⇒ΔOBM=ΔOCN
⇒OM=ON⇒AMON⇒OM=ON⇒AMON là hình thoi.
Tam giác OBCOBC cân tại OO có ^ABC=30∘ˆABC=30∘ suy ra ^AOC=60∘ˆAOC=60∘ (góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó).
Nên tam giác OCAOCA là tam giác đều suy ra AC=AO=AM=R⇒^OCM=90∘⇒MCAC=AO=AM=R⇒ˆOCM=90∘⇒MC là tiếp tuyến của (O;R)(O;R) .
Gọi I,JI,J lần lượt là trung điểm của BHBH và CHCH .
Để chứng minh DEDE là tiếp tuyến của đường tròn tâm II đường kính BHBH ta chứng minh ID⊥DEID⊥DE hay ^ODI=90∘ˆODI=90∘ .
Vì D,ED,E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BHBH và HCHC nên ta có: ^BDH=^CEH=90∘ˆBDH=ˆCEH=90∘
Suy ra tứ giác ADHEADHE là hình chữ nhật.
Gọi OO là giao điểm của AHAH và DEDE , khi đó ta có OD=OH=OE=OAOD=OH=OE=OA .
Suy ra ΔODHΔODH cân tại O⇒^ODH=^OHDO⇒ˆODH=ˆOHD
Ta cũng có ΔIDHΔIDH cân tại I⇒^IDH=^IHDI⇒ˆIDH=ˆIHD
Từ đó ⇒^IDH+^HDO=^IHD+^DHO⇒^IDO=90∘⇒ID⊥DE⇒ˆIDH+ˆHDO=ˆIHD+ˆDHO⇒ˆIDO=90∘⇒ID⊥DE
Ta có ID⊥DE,D∈(I)ID⊥DE,D∈(I) nên DEDE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BHBH .
Độ dài đoạn ABAB là
Từ hình vẽ ta có AB;ACAB;AC là tiếp tuyến của (O)(O) tại B,CB,C suy ra OB⊥ABOB⊥AB tại BB và OC⊥ACOC⊥AC tại CC .
Suy ra ΔABO=ΔACOΔABO=ΔACO (c – g – c) nên ^BAO=^CAO=^BAC2=60∘ˆBAO=ˆCAO=ˆBAC2=60∘
Xét ΔABOΔABO có AB=AO.cosA=8.cos60∘=4cmAB=AO.cosA=8.cos60∘=4cm .
Độ dài tiếp tuyến ABAB là
Ta có AB;ACAB;AC là tiếp tuyến của (O)(O) tại B,CB,C suy ra OC⊥ACOC⊥AC tại CC .
Suy ra ΔABO=ΔACOΔABO=ΔACO (c – g – c) nên ^BAO=^CAO=^BAC2=30∘ˆBAO=ˆCAO=ˆBAC2=30∘
Xét ΔABOΔABO có AB=AO.cosA=10.cos30∘=5√3cmAB=AO.cosA=10.cos30∘=5√3cm .
Vì DD thuộc đường tròn đường kính ABAB nên BD⊥AD⇒BDBD⊥AD⇒BD là đường cao của ΔABGΔABG , mà BDBD là đường phân giác của ABGABG (gt) nên BDBD vừa là đường cao vừa là đường phân giác của ΔABGΔABG .
Do đó ΔABGΔABG cân tại BB suy ra BDBD là trung trực của AGAG (1).
Vì HH đối xứng với EE qua DD (gt) nên DD là trung điểm của HEHE (2)
Từ (1) và (2) suy ra DD là trung điểm của HEHE và AGAG
Do đó tứ giác AHGEAHGE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Mà HE⊥AGHE⊥AG nên ΔHGEΔHGE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).
Gọi II là giao điểm của OCOC và AB⇒AI=BI=AB2=12cmAB⇒AI=BI=AB2=12cm .
Xét tam giác vuông OAIOAI có OI=√OA2−AI2=9cmOI=√OA2−AI2=9cm
Xét tam giác vuông AOCAOC có AO2=OI.OC⇒OC=AO2OI=1529=25cmAO2=OI.OC⇒OC=AO2OI=1529=25cm .
Vậy OC=25cmOC=25cm .
Độ dài bán kính OBOB là
Từ hình vẽ ta có AB;ACAB;AC là tiếp tuyến của (O)(O) tại B,CB,C suy ra OC⊥ACOC⊥AC tại CC .
Suy ra ΔABO=ΔACOΔABO=ΔACO (c – g – c) nên ^BAO=^CAO=^BAC2=30∘ˆBAO=ˆCAO=ˆBAC2=30∘
Xét ΔABOΔABO có OB=AO.sinA=10.sin30∘=5cmOB=AO.sinA=10.sin30∘=5cm .
Gọi OO là trung điểm AIAI . Xét tam giác vuông AIKAIK có OK=OI=OA⇒K∈(O;AI2)OK=OI=OA⇒K∈(O;AI2) (*)
Ta đi chứng minh OK⊥KHOK⊥KH tại KK .
Xét tam giác OKAOKA cân tại OO ta có: ^OKA=^OKAˆOKA=ˆOKA (1)
Vì tam giác ABCABC cân tại AA có đường cao AHAH nên HH là trung điểm của BCBC . Xét tam giác vuông BKCBKC có HK=HB=HC=BC2HK=HB=HC=BC2 .
Suy ra tam giác KHBKHB cân tại HH nên ^HKB=^HBKˆHKB=ˆHBK (2)
Mà ^HBK=^KAHˆHBK=ˆKAH (cùng phụ với ^ACBˆACB ) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra ^HKB=^AKOˆHKB=ˆAKO mà ^AKO+^OKI=90∘⇒^HKB+^OKI=90∘⇒^OKH=90∘ˆAKO+ˆOKI=90∘⇒ˆHKB+ˆOKI=90∘⇒ˆOKH=90∘ hay OK⊥KHOK⊥KH tại KK (**)
Từ (*) và (**) thì HKHK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AIAI .
Gọi II là giao điểm của MNMN và OPOP
Ta có OP⊥MNOP⊥MN tại I⇒II⇒I là trung điểm của MNMN .
nên IM=MN2=122=6cmIM=MN2=122=6cm
xét tam giác vuông OMIOMI có OI=√OM2−MI2=√102−62=8cmOI=√OM2−MI2=√102−62=8cm
xét tam giác vuông MPOMPO theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
MO2=OI.OP⇒OP=MO2OI=1028=12,5cmMO2=OI.OP⇒OP=MO2OI=1028=12,5cm
Vậy OP=12,5cmOP=12,5cm .
Theo ta có ΔOCMΔOCM vuông tại CC
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCMOCM , ta có OM2=OC2+MC2OM2=OC2+MC2
⇒MC2=OM2−OC2=42−22=12⇒MC=2√3cm⇒MC2=OM2−OC2=42−22=12⇒MC=2√3cm .
Tam giác OBCOBC cân tại OO có ^OBC=60∘ˆOBC=60∘
Nên tam giác OCBOCB là tam giác đều suy ra BC=OB=OC=2BC=OB=OC=2
Xét tam giác OCMOCM có BC=OB=BM=2=OM2BC=OB=BM=2=OM2 nên ΔOCMΔOCM vuông tại CC
⇒OC⊥CM⇒MC⇒OC⊥CM⇒MC là tiếp tuyến của (O;2cm)(O;2cm) .
Ta có OC⊥AB⇒OCOC⊥AB⇒OC đi qua trung điểm của ABAB .
⇒OC⇒OC là đường cao đồng thời là trung tuyến của ΔABCΔABC .
⇒ΔABC⇒ΔABC cân tại CC .
⇒{^ACO=^BCOAC=CB⇒ΔAOC=ΔBOC (c – g – c)
⇒OB⊥BC
⇒BC là tiếp tuyến của (O)
AH cắt BC tại K⇒AK⊥BC vì H là trực tâm tam giác ABC
Ta chứng minh ME⊥EF tại E .
ΔFAE cân tại F (vì FA=FE ) nên ^FEA=^FAE
ΔMEC cân tại M (vì ME=MC=MB=BC2 ) nên ^MEC=^MCE mà ^BAK=^ECB (cùng phụ với ^ABC )
Nên ^MEC=^FEA⇒^MEC+^FEC=^FEA+^FEC⇒^MEF=90∘⇒ME⊥EF tại E .
Từ đó ME là tiếp tuyến của (F;AH2) .
Tương tự ta cũng có MF là tiếp tuyến của (F;AH2) .
Tứ giác AMON là hình thoi nên OA⊥MN và
Mà độ dài OA bằng 2 lần khoảng cách từ O đến MN .
Do đó MN là tiếp tuyến đường tròn (O;R)⇔ khoảng cách từ O đến MN bằng R⇔OA=2R .
Độ dài bán kính OB là
Dễ dàng ta có AB;AC là tiếp tuyến của (O) tại B,C suy ra OC⊥AC tại C .
Suy ra ΔABO=ΔACO (c – g – c) nên ^BAO=^CAO=^BAC2=60∘
Xét ΔABO có OB=AO.sinA=10.sin60∘=4√3cm .
Gọi I là giao điểm của MN và OP
Ta có OP⊥MN tại I⇒I là trung điểm của MN .
⇒PI là đường cao đồng thời là trung tuyến của ΔMNP
⇒ΔMNP cân tại P
⇒{^MPO=^NPOPM=PN⇒ΔPMO=ΔPNO (c – g – c)
⇒^PMO=^PNO=90∘⇒ON⊥NP
⇒PN là tiếp tuyến của (O)