Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

4.8/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết về Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

* Định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn:

Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm

Ví dụ: $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$, $H$ gọi là tiếp điểm

*Tính chất:

-Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

*Dấu hiệu nhận biết:

- Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho đường tròn $ (O;R) $ đường kính $ AB $ . Vẽ dây $ AC $ sao cho $ \widehat{ABC}=30{}^\circ $ . Trên tia đối của tia $ AB $ lấy điểm $ M $ sao cho $ AM=R $ . Tính độ dài $ MC $ theo $ R $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ OCM $ , ta có $ O{{M}^{2}}=O{{C}^{2}}+M{{C}^{2}} $

$ \Rightarrow M{{C}^{2}}=O{{M}^{2}}-O{{C}^{2}}=3{{R}^{2}}\Rightarrow MC=\sqrt{3}R $ .

Câu 2: Hình chữ nhật $ ABCD $ , $ H $ là hình chiếu của $ A $ lên $ BD $ . $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BH,CD $ . Đường nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn tâm $ A $ , bán kính $ AM $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Lấy $ E $ là trung điểm của $ AH $ . Do $ M $ là trung điểm của $ BH $ (gt) nên $ EM $ là đường trung bình của $ \Delta AHB $ .

$ \Rightarrow EM\text{//}AB $ và $ EM=\dfrac{1}{2}AB $ .

Hình chữ nhật $ ABCD $ có $ CD\text{//}AB $ và $ CD=AB $ mà $ N $ là trung điểm của $ DC $ , suy ra

$ DN\text{//}AB $ và $ DN=\dfrac{1}{2}AB $ .

Từ (1) và (2) ta có $ EM\text{//}DN $ và $ EM=DN $ .

Suy ra tứ giác $ EMND $ là hình bình hành, do đó $ DI\text{//}MN $ .

Do $ EM\text{//}AB $ mà $ AB\bot AD $ (tính chất hình chữ nhật)

$ AH\bot DM $ (gt) nên $ E $ là trực tâm của $ \Delta ADM $

Suy ra $ DE\bot AM $ , mà $ DE\text{//}MN $ (cmt)

$ \Rightarrow MN\bot AM $ tại $ M $ .

Vì vậy $ MN $ là tiếp tuyến của đường tròn $ (A;AM) $ .

Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ có hai đường cao $ BD,CE $ cắt nhau tại $ H $ . Xác định tâm $ F $ của đường tròn đi qua bốn điểm $ A,D,H,E $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ F $ là trung điểm của $ AH $

Xét hai tam giác vuông $ AEH $ và $ ADH $ ta có $ FA=FH=FE=FD=\dfrac{AH}{2} $

Nên bốn đỉnh $ A,D,H,E $ cùng thuộc đường tròn tâm $ F $ bán kính $ \dfrac{AH}{2} $ .

Câu 4: Từ một điểm $ A $ ở bên ngoài đường tròn $ (O;R) $ , vẽ hai tiếp tuyến $ AB,AC $ với $ (O) $ . Đường thẳng vuông góc với $ OB $ tại $ O $ cắt tia $ AC $ tại $ N $ . Đường thẳng vuông góc với $ OC $ cắt tia $ AB $ tại $ M $ . Tứ giác $ AMON $ là hình gì?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dễ có $ AMON $ là hình bình hành (Vì $ ON\text{//}AM;OM\text{//}AN $ )

Ta chứng minh $ OM=ON $

Xét tam giác $ OBM $ và tam giác $ OCN $ có:

$ \widehat{OBM}=\widehat{OCN}=90{}^\circ $ ;

$ OB=OC=R $ ,

Và $ \widehat{OMB}=\widehat{ONC}=\widehat{A} $

$ \Rightarrow \Delta OBM=\Delta OCN $

$ \Rightarrow OM=ON\Rightarrow AMON $ là hình thoi.

Câu 5: Cho đường tròn $ (O;R) $ đường kính $ AB $ . Vẽ dây $ AC $ sao cho $ \widehat{ABC}=30{}^\circ $ . Trên tia đối của tia $ AB $ lấy điểm $ M $ sao cho $ AM=R $ . Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tam giác $ OBC $ cân tại $ O $ có $ \widehat{ABC}=30{}^\circ $ suy ra $ \widehat{AOC}=60{}^\circ $ (góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Nên tam giác $ OCA $ là tam giác đều suy ra $ AC=AO=AM=R\Rightarrow \widehat{OCM}=90{}^\circ \Rightarrow MC $ là tiếp tuyến của $ (O;R) $ .

Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ , đường cao $ AH $ . Đường tròn đường kính $ BH $ cắt $ AB $ tại $ D $ , đường tròn đường kính $ CH $ cắt $ AC $ tại $ E $ . Chọn khẳng định sai.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ BH $ và $ CH $ .

Để chứng minh $ DE $ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $ I $ đường kính $ BH $ ta chứng minh $ ID\bot DE $ hay $ \widehat{ODI}=90{}^\circ $ .

Vì $ D,E $ lần lượt thuộc đường tròn đường kính $ BH $ và $ HC $ nên ta có: $ \widehat{BDH}=\widehat{CEH}=90{}^\circ $

Suy ra tứ giác $ ADHE $ là hình chữ nhật.

Gọi $ O $ là giao điểm của $ AH $ và $ DE $ , khi đó ta có $ OD=OH=OE=OA $ .

Suy ra $ \Delta ODH $ cân tại $ O\Rightarrow \widehat{ODH}=\widehat{OHD} $

Ta cũng có $ \Delta IDH $ cân tại $ I\Rightarrow \widehat{IDH}=\widehat{IHD} $

Từ đó $ \Rightarrow \widehat{IDH}+\widehat{HDO}=\widehat{IHD}+\widehat{DHO}\Rightarrow \widehat{IDO}=90{}^\circ \Rightarrow ID\bot DE $

Ta có $ ID\bot DE,D\in (I) $ nên $ DE $ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $ BH $ .

Câu 7: Cho hình vẽ dưới đây. Biết $ AB $ và $ AC $ là hai tiếp tuyến của $ (O),\widehat{BAC}=120{}^\circ ,AO=8cm $ .

Độ dài đoạn $ AB $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ hình vẽ ta có $ AB;AC $ là tiếp tuyến của $ (O) $ tại $ B,C $ suy ra $ OB\bot AB $ tại $ B $ và $ OC\bot AC $ tại $ C $ .

Suy ra $ \Delta ABO=\Delta ACO $ (c – g – c) nên $ \widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=60{}^\circ $

Xét $ \Delta ABO $ có $ AB=AO.\cos A=8.\cos 60{}^\circ =4cm $ .

Câu 8: Cho hình vẽ dưới đây: Biết $ \widehat{BAC}=60{}^\circ $ ; $ AO=10cm $ .

Độ dài tiếp tuyến $ AB $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ AB;AC $ là tiếp tuyến của $ (O) $ tại $ B,C $ suy ra $ OC\bot AC $ tại $ C $ .

Suy ra $ \Delta ABO=\Delta ACO $ (c – g – c) nên $ \widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=30{}^\circ $

Xét $ \Delta ABO $ có $ AB=AO.\cos A=10.cos30{}^\circ =5\sqrt{3}cm $ .

Câu 9: Cho nửa đường tròn đường kính $ AB $ . $ C $ là một điểm thuộc nửa đường tròn. Vẽ dây $ BD $ là phân giác của góc $ ABC $ . $ BD $ cắt $ AC $ tại $ E $ . $ AD $ cắt $ BC $ tại $ G $ . $ H $ là điểm đối xứng với $ E $ qua $ D $ . Chọn đáp án đúng nhất. Tứ giác $ AHGE $ là hình gì?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì $ D $ thuộc đường tròn đường kính $ AB $ nên $ BD\bot AD\Rightarrow BD $ là đường cao của $ \Delta ABG $ , mà $ BD $ là đường phân giác của $ ABG $ (gt) nên $ BD $ vừa là đường cao vừa là đường phân giác của $ \Delta ABG $ .

Do đó $ \Delta ABG $ cân tại $ B $ suy ra $ BD $ là trung trực của $ AG $ (1).

Vì $ H $ đối xứng với $ E $ qua $ D $ (gt) nên $ D $ là trung điểm của $ HE $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ D $ là trung điểm của $ HE $ và $ AG $

Do đó tứ giác $ AHGE $ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mà $ HE\bot AG $ nên $ \Delta HGE $ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

Câu 10: Cho đường tròn $ (O) $ , dây $ AB $ khác đường kính. Qua $ O $ kẻ đường vuông góc với $ AB $ , cắt tiếp tuyến tại $ A $ của đường tròn ở điểm $ C $ . Cho bán kính của đường tròn bằng $ 15cm;AB=24cm $ . Tính $ OC $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ I $ là giao điểm của $ OC $ và $ AB\Rightarrow AI=BI=\dfrac{AB}{2}=12cm $ .

Xét tam giác vuông $ OAI $ có $ OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=9cm $

Xét tam giác vuông $ AOC $ có $ A{{O}^{2}}=OI.OC\Rightarrow OC=\dfrac{A{{O}^{2}}}{OI}=\dfrac{{{15}^{2}}}{9}=25cm $ .

Vậy $ OC=25cm $ .

Câu 11: Cho hình vẽ dưới đây: Biết $ \widehat{BAC}=60{}^\circ $ ; $ AO=10cm $ .

Độ dài bán kính $ OB $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ hình vẽ ta có $ AB;AC $ là tiếp tuyến của $ (O) $ tại $ B,C $ suy ra $ OC\bot AC $ tại $ C $ .

Suy ra $ \Delta ABO=\Delta ACO $ (c – g – c) nên $ \widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=30{}^\circ $

Xét $ \Delta ABO $ có $ OB=AO.\sin A=10.\sin 30{}^\circ =5cm $ .

Câu 12: Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ ; đường cao $ AH $ và $ BK $ cắt nhau tại $ I $ . Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $ AI $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ O $ là trung điểm $ AI $ . Xét tam giác vuông $ AIK $ có $ OK=OI=OA\Rightarrow K\in \left( O;\dfrac{AI}{2} \right) $ (*)

Ta đi chứng minh $ OK\bot KH $ tại $ K $ .

Xét tam giác $ OKA $ cân tại $ O $ ta có: $ \widehat{OKA}=\widehat{OKA} $ (1)

Vì tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ có đường cao $ AH $ nên $ H $ là trung điểm của $ BC $ . Xét tam giác vuông $ BKC $ có $ HK=HB=HC=\dfrac{BC}{2} $ .

Suy ra tam giác $ KHB $ cân tại $ H $ nên $ \widehat{HKB}=\widehat{HBK} $ (2)

Mà $ \widehat{HBK}=\widehat{KAH} $ (cùng phụ với $ \widehat{ACB} $ ) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra $ \widehat{HKB}=\widehat{AKO} $ mà $ \widehat{AKO}+\widehat{OKI}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{HKB}+\widehat{OKI}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{OKH}=90{}^\circ $ hay $ OK\bot KH $ tại $ K $ (**)

Từ (*) và (**) thì $ HK $ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $ AI $ .

Câu 13: Cho đường tròn $ (O) $ , dây $ MN $ khác đường kính. Qua $ O $ kẻ đường vuông góc với $ MN $ , cắt tiếp tuyến tại $ M $ của đường tròn ở điểm $ P $ . Cho bán kính của đường tròn bằng $ 10cm;MN=12cm $ . Tính $ OP $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ I $ là giao điểm của $ MN $ và $ OP $

Ta có $ OP\bot MN $ tại $ I\Rightarrow I $ là trung điểm của $ MN $ .

nên $ IM=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{12}{2}=6cm $

xét tam giác vuông $ OMI $ có $ OI=\sqrt{O{{M}^{2}}-M{{I}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8cm $

xét tam giác vuông $ MPO $ theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$ M{{O}^{2}}=OI.OP\Rightarrow OP=\dfrac{M{{O}^{2}}}{OI}=\dfrac{{{10}^{2}}}{8}=12,5cm $

Vậy $ OP=12,5cm $ .

Câu 14: Cho đường tròn $ (O;2cm) $ đường kính $ AB $ . Vẽ dây $ AC $ sao cho $ \widehat{OBC}=60{}^\circ $ . Trên tia $ OB $ lấy điểm $ M $ sao cho $ BM=2cm $ . Tính độ dài $ MC $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo ta có \[ \Delta OCM \] vuông tại \[ C \]

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \[ OCM \] , ta có \[ O{{M}^{2}}=O{{C}^{2}}+M{{C}^{2}} \]

\[ \Rightarrow M{{C}^{2}}=O{{M}^{2}}-O{{C}^{2}}={{4}^{2}}-{{2}^{2}}=12\Rightarrow MC=2\sqrt{3}cm \] .

Câu 15: Cho đường tròn $ (O;2cm) $ đường kính $ AB $ . Vẽ dây $ AC $ sao cho $ \widehat{OBC}=60{}^\circ $ . Trên tia $ OB $ lấy điểm $ M $ sao cho $ BM=2cm $ . Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tam giác \[ OBC \] cân tại \[ O \]\[ \widehat{OBC}=60{}^\circ \]

Nên tam giác \[ OCB \] là tam giác đều suy ra \[ BC=OB=OC=2 \]

Xét tam giác \[ OCM \]\[ BC=OB=BM=2=\dfrac{OM}{2} \] nên \[ \Delta OCM \] vuông tại \[ C \]

\[ \Rightarrow OC\bot CM\Rightarrow MC \] là tiếp tuyến của \[ (O;2cm) \] .

Câu 16: Cho đường tròn $ (O) $ , dây $ AB $ khác đường kính. Qua $ O $ kẻ đường vuông góc với $ AB $ , cắt tiếp tuyến tại $ A $ của đường tròn ở điểm $ C $ . Chọn khẳng định đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ OC\bot AB\Rightarrow OC $ đi qua trung điểm của $ AB $ .

$ \Rightarrow OC $ là đường cao đồng thời là trung tuyến của $ \Delta ABC $ .

$ \Rightarrow \Delta ABC $ cân tại $ C $ .

$ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{ACO}=\widehat{BCO} \\ AC=CB \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \Delta AOC=\Delta BOC $ (c – g – c)

$ \Rightarrow OB\bot BC $

$ \Rightarrow BC $ là tiếp tuyến của $ (O) $

Câu 17: Cho tam giác $ ABC $ có hai đường cao $ BD,CE $ cắt nhau tại $ H $ . Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $ . Đường tròn $ (F) $ ở trên nhận các đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ AH $ cắt $ BC $ tại $ K\Rightarrow AK\bot BC $ vì $ H $ là trực tâm tam giác $ ABC $

Ta chứng minh $ ME\bot EF $ tại $ E $ .

$ \Delta FAE $ cân tại $ F $ (vì $ FA=FE $ ) nên $ \widehat{FEA}=\widehat{FAE} $

$ \Delta MEC $ cân tại $ M $ (vì $ ME=MC=MB=\dfrac{BC}{2} $ ) nên $ \widehat{MEC}=\widehat{MCE} $ mà $ \widehat{BAK}=\widehat{ECB} $ (cùng phụ với $ \widehat{ABC} $ )

Nên $ \widehat{MEC}=\widehat{FEA}\Rightarrow \widehat{MEC}+\widehat{FEC}=\widehat{FEA}+\widehat{FEC}\Rightarrow \widehat{MEF}=90{}^\circ \Rightarrow ME\bot EF $ tại $ E $ .

Từ đó $ ME $ là tiếp tuyến của $ \left( F;\dfrac{AH}{2} \right) $ .

Tương tự ta cũng có $ MF $ là tiếp tuyến của $ \left( F;\dfrac{AH}{2} \right) $ .

Câu 18: Từ một điểm $ A $ ở bên ngoài đường tròn $ (O;R) $ , vẽ hai tiếp tuyến $ AB,AC $ với $ (O) $ . Đường thẳng vuông góc với $ OB $ tại $ O $ cắt tia $ AC $ tại $ N $ . Đường thẳng vuông góc với $ OC $ cắt tia $ AB $ tại $ M $ . Điểm $ A $ phải cách $ O $ một khoảng là bao nhiêu để cho $ MN $ là tiếp tuyến của $ (O) $ ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tứ giác $ AMON $ là hình thoi nên $ OA\bot MN $ và

Mà độ dài $ OA $ bằng $ 2 $ lần khoảng cách từ $ O $ đến $ MN $ .

Do đó $ MN $ là tiếp tuyến đường tròn $ (O;R)\Leftrightarrow $ khoảng cách từ $ O $ đến $ MN $ bằng $ R\Leftrightarrow OA=2R $ .

Câu 19: Cho hình vẽ dưới đây. Biết $ AB $ và $ AC $ là hai tiếp tuyến của $ (O),\widehat{BAC}=120{}^\circ ,AO=8cm $ .

Độ dài bán kính $ OB $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dễ dàng ta có $ AB;AC $ là tiếp tuyến của $ (O) $ tại $ B,C $ suy ra $ OC\bot AC $ tại $ C $ .

Suy ra $ \Delta ABO=\Delta ACO $ (c – g – c) nên $ \widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=60{}^\circ $

Xét $ \Delta ABO $ có $ OB=AO.\sin A=10.\sin 60{}^\circ =4\sqrt{3}cm $ .

Câu 20: Cho đường tròn $ (O) $ , dây $ MN $ khác đường kính. Qua $ O $ kẻ đường vuông góc với $ MN $ , cắt tiếp tuyến tại $ M $ của đường tròn ở điểm $ P $ . Chọn khẳng định đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi $ I $ là giao điểm của $ MN $ và $ OP $

Ta có $ OP\bot MN $ tại $ I\Rightarrow I $ là trung điểm của $ MN $ .

$ \Rightarrow PI $ là đường cao đồng thời là trung tuyến của $ \Delta MNP $

$ \Rightarrow \Delta MNP $ cân tại $ P $

$ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{MPO}=\widehat{NPO} \\ PM=PN \\ \end{matrix}\Rightarrow \Delta PMO=\Delta PNO \right. $ (c – g – c)

$ \Rightarrow \widehat{PMO}=\widehat{PNO}=90{}^\circ \Rightarrow ON\bot NP $

$ \Rightarrow PN $ là tiếp tuyến của $ (O) $