Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Nhận thấy $ M\in {{d}_{2}} $

Ta thay tọa độ điểm $ M $ vào phương trình $ {{d}_{1}} $ được phương trình 

$ 3=-(2m-2).1+4m\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2} $ .

Vậy $ m=\dfrac{1}{2}. $

Do $A,B \in (d)$ nên ta có

$ \left\{ \begin{array}{l} \left( a-3 \right)+b=2 \\ \left( a-3 \right).-3+b=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\dfrac{5}{2} \\ b=\dfrac{5}{2} \end{array} \right. $

$\Rightarrow a+b=5$

Do đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung nên có hoành độ giao điểm $ x=0 $

Khi đó ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ 2x+m+3=3x+5-m \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1 $

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với $ A\left( 1;\dfrac{22}{5} \right) $ . Thay $ x=1;y=\dfrac{22}{5} $ vào $ y=5x-\dfrac{2}{5} $ ta được $ 5.1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{22}{5}\Leftrightarrow \dfrac{23}{5}=\dfrac{22}{5} $ (vô lý).

+) Với $ B\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right) $ . Thay $ x=\dfrac{1}{5};y=\dfrac{3}{5} $ vào $ y=5x-\dfrac{2}{5} $ ta được $ 5.\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5} $ (luôn đúng).

+) Với $ C\left( -\dfrac{2}{25};-\dfrac{3}{5} \right) $ . Thay $ x=-\dfrac{2}{25};y=-\dfrac{3}{5} $ vào $ y=5x-\dfrac{2}{5} $ , ta được: $ 5.\dfrac{-2}{25}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow -\dfrac{4}{5}=-\dfrac{3}{5} $ (vô lý).

+) Với $ D(2;10) $ . Thay $ x=2;y=10 $ vào $ y=5x-\dfrac{2}{5} $ ta được:

$ 5.2-\dfrac{2}{5}=10\Leftrightarrow \dfrac{48}{5}=10 $ (vô lý).

$ \Rightarrow B\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right) $ thuộc đồ thị hàm số $ y=5x-\dfrac{2}{5} $ .

+) Thay tọa độ điểm $ A(2;1) $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{1}} $ ta được $ 1=-2.2\Leftrightarrow 1=-4 $ ( vô lý) nên $ A\notin {{d}_{1}} $ hay $ A(2;1) $ không là giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{3}} $ .

+) Thay tọa độ điểm $ B(1;4) $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{2}} $ ta được $ 4=-3.1-1\Leftrightarrow 4=-4 $ (vô lý ), nên $ B\notin {{d}_{2}} $ .

+) Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

* Phương trình hoành độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ $ -2x=-3x-1\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=-2.(-1)\Leftrightarrow y=2 $ .

Suy ra tọa độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ là $ (-1;2) $ .

* Thay $ x=-1;y=2 $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{3}} $ ta được $ 2=-1+3\Leftrightarrow 2=2 $ (luôn đúng)

Vậy ba đường thẳng trên đồng quy tại điểm $ M(-1;2) $ .

Thay $ y=4 $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{2}} $ ta được $ x+1=4\Leftrightarrow x=3 $

Suy ra tọa độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ là $ (3;4) $

Thay $ x=3;y=4 $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{1}} $ ta được $ (m+1).3-1=4\Leftrightarrow m+1=\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3} $

Vậy $ m=\dfrac{2}{3} $ .

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ $ y=3 $ nên tọa độ giao điểm là $ (0;3) $

Thay $ x=0;y=3 $ ta được $ (2-m).0-\dfrac{5+m}{2}=3\Leftrightarrow 5+m=-6\Leftrightarrow m=-11. $

Vậy $ m=-11 $ .

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ $ (1;0) $ $ (2;3) $ . Thay tọa độ hai điểm vào mỗi hàm số ta thấy với hàm số $ y=3x-3 $

+) Thay $ x=1;y=0 $ và vào hàm số $ y=3x-3 $ ta được $ 0=3-3\Leftrightarrow 0=0 $ (luôn đúng)

+) Thay $ x=2;y=3 $ và vào hàm số $ y=3x-3 $ ta được $ 3=3.2-3\Leftrightarrow 3=3 $ (luôn đúng)

Vậy đồ thị hàm số $ y=3x-3 $ là đường thẳng như hình vẽ.

Đường thẳng $ \left( d \right):y=-2x+{{m}^{2}}-4 $ đi qua gốc tọa độ $ \Leftrightarrow 0=-2.0+{{m}^{2}}-4 $
$ \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4\,=\,0\Leftrightarrow m\,=\,\pm 2 $ .

Vì $ A,B $ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $ y=2x+4 $ với hai trục tọa độ Ox, Oy nên $ A(-2;0),\,B(0;4) $
$ \Rightarrow OA=2,\,OB=4 $
Diện tích tam giác AOB bằng: $ S=\dfrac{1}{2}.OA.OB=\dfrac{1}{2}.2.4=4 $

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ ta được

$ x-1=2-3x\Leftrightarrow 4x=3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4} $

Thay $ x=\dfrac{3}{4} $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{1}}:y=x-1 $ ta được $ y=\dfrac{3}{4}-1=-\dfrac{1}{4} $ .

Đồ thị hàm số $ y=3x-2 $ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $ (0;-2) $ và $ (1;1) $ nên hình 2 là đồ thị hàm số $ y=3x-2 $ .

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ $ mx-2=\dfrac{1}{2}x+1 $ (*)

Để hai đường thẳng $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ cắt nhau tại một điểm có hoành độ $ x=-4 $ thì $ x=-4 $ thỏa mãn phương trình (*). Suy ra

$ m.(-4)-2=\dfrac{1}{2}.(-4)+1\Leftrightarrow -4m-2=-2+1\Leftrightarrow -4m=1\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{4} $ .

Ta có \[A \in \left( d \right) \Rightarrow 4 = 3.\left( { - 2} \right) + m - 1 \Rightarrow m = 11\]

Gọi phương trình đường thẳng có dạng: $y=ax+b (d)$

Có $A, B\in (d)$ nên $-1=a+b; -\dfrac{1}{2}=2a+b$

Suy ra: $a=\dfrac{1}{2},b=-\dfrac{3}{2}$

Vậy pt cần tìm là: $y=\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2}$

Để hai đồ thị hàm số $ y=-2x+m+2 $ và $ y=5x+5-2m $ cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì $ \left\{ \begin{array}{l} -2\ne 5 \\ m+2=5-2m \end{array} \right. $

$ \Leftrightarrow 3m=3\Leftrightarrow m=1 $ .

Đồ thị hàm số $ y=2x+1 $ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $ (0;1) $ và $ (1;3) $ nên hình 1 là đồ thị hàm số $ y=2x+1 $ .

Theo bài ra dễ thấy $ A=(\dfrac{-2}{m};0),\text{ B=(0;2)} $
Từ đó ta có: tam giác $ AOB $ cân khi $ AO=OB $ $ \Leftrightarrow \left| \dfrac{2}{m} \right|=2\Leftrightarrow m=1 $ hoặc $ m=1 $ .
Vậy $ S=\left\{ 1;-1 \right\} $ nên tổng các phần tử của $ S $ bằng 0.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ ta được

$ 2x-2=3-4x\Leftrightarrow 6x=5\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{6} $

Thay $ x=\dfrac{5}{6} $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{1}}:y=2x-2 $

Ta được $ y=2.\dfrac{5}{6}-2=-\dfrac{1}{3} $

Giao điểm của đường thẳng $ d $ và trục tung có hoành độ $ x=0 $ . Thay $ x=0 $ vào phương trình $ y=3x-\dfrac{1}{2} $ ta được $ y=3.0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2} $

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $ D\left( 0;-\dfrac{1}{2} \right) $ .

Do $ A\left( 3;2 \right)\in \left( d \right)\Rightarrow 2=2m.3+m-1\Rightarrow 7m=3\Rightarrow m=\dfrac{3}{7} $

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{3}} $ :

$ 6-5x=3x+2\Leftrightarrow 8x=4\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{7}{2} $ .

Suy ra giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{3}} $ là $ M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2} \right) $

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì $ M\in {{d}_{2}} $ nên $ \dfrac{7}{2}=(m+2).\dfrac{1}{2}+m\Leftrightarrow \dfrac{3m}{2}+1=\dfrac{7}{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{3}. $

Vậy $ m=\dfrac{5}{3} $ .

Thay $ y=3 $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{2}} $ ta được $ -x-1=3\Leftrightarrow x=-4 $ . Suy ra tọa độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ là $ (-4;3) $

Thay $ x=-4;y=3 $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{1}} $ ta được $ 2(m-2).(-4)+m=3\Leftrightarrow -7m+16=3\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{7} $

Vậy $ m=\dfrac{13}{7} $ .

Giao điểm của đường thẳng $ d $ và trục tung có hoành độ $ x=0 $ . Thay $ x=0 $ vào phương trình $ y=2x+6 $ ta được $ y=2.0+6=6 $ . Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $ M(0;6) $ .

Để hai đồ thị hàm số $ y=3x-2m $ và $ y=-x+1-m $ cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì $ \left\{ \begin{array}{l} 3\ne -1 \\ -2m=1-m \end{array} \right. $

$ \Leftrightarrow m=-1 $ .

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ $ (0;-1) $ và $ (2;3) $

Thay tọa độ hai điểm vào mỗi hàm số ta thấy với hàm số $ y=2x-1 $

+) Thay $ x=0;y=-1 $ và vào hàm số $ y=2x-1 $ ta được $ -1=2.0-1\Leftrightarrow -1=-1 $ (luôn đúng)

+) Thay $ x=2;y=3 $ và vào hàm số $ y=2x-1 $ ta được $ 3=2.2-1\Leftrightarrow 3=3 $ (luôn đúng)

Vậy đồ thị hàm số $ y=2x-1 $ là đường thẳng như hình vẽ.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ ta được

$ 2x-2=3-4x\Leftrightarrow 6x=5\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{6} $

Thay $ x=\dfrac{5}{6} $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{1}}:y=2x-2 $ ta được $ y=2.\dfrac{5}{6}-2=-\dfrac{1}{3} $ .

Biết $ \left( d \right)\cap Ox $ tại điểm có hoành độ bằng $ -1 $ nên ta có $ 0=\left( 2-4m \right)\left( -1 \right)+{{m}^{2}}-3 $

$ \begin{array}{l} 0=\left( 2-4m \right)\left( -1 \right)+{{m}^{2}}-3 \\ \Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m-5=0 \\ \Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( m+5 \right)=0 \\ \Leftrightarrow m=1;m=-5 \end{array} $

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: $ 1+\left( -5 \right)=-4 $

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $ x=-3 $ nên tọa độ giao điểm là $ \left( -3;0 \right) $

Thay $ x=-3;y-0 $ vào $ y=\left( 1-m \right)x+m $ ta được $ \left( 1-m \right).\left( -3 \right)+m=0 $

$ \Leftrightarrow 4m-3=0\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}. $

+) HS bậc nhất $ y=mx+{{m}^{2}}-3 $ (với m ≠ 0) nghịch biến trên R $ \Leftrightarrow m < 0 $ (1).
+)Đồ thị HS bậc nhất $ y=mx+{{m}^{2}}-3(m\ne 0) $ đi qua gốc tọa độ
$ \Leftrightarrow 0=0.x+{{m}^{2}}-3\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3} $ (2)
Từ (1) ; (2) có $ m=-\sqrt{3} $ .

+) Thay tọa độ điểm $ M(0;5) $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{2}} $ ta được $ 5=5.0-1\Leftrightarrow 5=-1 $ (vô lý ), nên $ B\notin {{d}_{2}} $ .

+) Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

* Phương trình hoành độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}}: $

$ -x+5=5x-1\Leftrightarrow 6x=6\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-1+5\Leftrightarrow y=4\Rightarrow $ tọa độ giao điểm của $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}} $ là $ (1;4) $

* Thay $ x=1;y=4 $ vào phương trình đường thẳng $ {{d}_{3}} $ , ta được $ 4=-2.1+6\Leftrightarrow 4=4 $ (luôn đúng)

Vậy ba đường thẳng trên đồng quy tại điểm $ N(1;4) $ .

+) Nhận thấy $ M\in {{d}_{2}} $

+) Ta thay tọa độ điểm $ M $ vào phương trình $ {{d}_{1}} $ được phương trình

$ -1=2.m+1\Leftrightarrow m=-1 $

Vậy $ m=-1 $ .

Với $ \forall x\in \mathbb{R} $ : $ 3x-2y=6 $ $ \Leftrightarrow 2y=3x-6\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}x-3 $ .

Hai đường thẳng song song

nên ta có  $ \left\{ \begin{array}{l} 2m=m-1 \\ 3\ne -m \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-1 \\ m\ne -3 \end{array} \right. $

Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hệ số hai đường thẳng nhân với nhau bằng $-1$ $ \Leftrightarrow \left( 3-a \right).2=-1\Leftrightarrow 3-a=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=\dfrac{7}{2} $