5. Phương pháp đánh giá sử dụng tính liên tục
Kiến thức cần nhớ:
- Nếu f(x)là hàm liên tục, đơn điệu trên D, thì với ∀u,v∈D ta có: f(u)=f(v)⇔u=v.
- Nếu f(x)là hàm liên tục, đơn điệu trên D, thì phương trình f(x)=0 có tối đa một nghiệm trên D.
PHƯƠNG PHÁP
- Biến đổi phương trình đề bài về dạng f(u)=f(v) hoặc f(u)=0(trong đó f(x) là hàm liên tục, đơn điệu trên miền đang khảo sát).
- Khảo sát hàm số y=f(t) để đưa ra tính đơn điệu của hàm y=f(t) trên miền đang xét.
- Từ đó kết luận được mối liên hệ giữa u,v.
- So sánh hai vế phương trình với cùng một hằng số…
Ví dụ: Giải phương trình 7x=9−2x(∗)
Lời giải
Dễ thấy VT(∗) : y=7x là hàm số đồng biến trên R.
VP(∗) : y=9−2x là hàm số nghịch biến trên R.
Do đó phương trình (∗) có tối đa 1 nghiệm.
Mặt khác nhận thấy x=1 là một nghiệm của phương trình (∗).
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (∗).
PT ⇔a=(3x+3−x)(3x−3−x)⇔a=9x−9−xt=9x→a=t−1t⇔t2−at−1=0 (1).
Dễ thấy PT (1) có tích hai nghiệm bằng −1⇒(1) luôn có 1 nghiệm dương, suy ra PT ban đầu luôn có nghiệm duy nhất với mọi a∈R.a∈R.