Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Ta có
$\begin{align} & \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{2}{-1};\dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\dfrac{-1}{3};\dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}=\dfrac{5}{1} \\ & \Rightarrow \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}\ne \dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}\ne \dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}} \\ \end{align}$
${{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}=2.(-1)+\left( -1 \right).3+5.1=0$
$\Rightarrow \left( P \right)$và $\left( Q \right)$vuông góc với nhau

Vector pháp tuyến cùng phương và hệ số tự do của mặt phẳng khác nhau

$\left( P \right)\bot \left( Q \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=0\Leftrightarrow -2-m+1=0\Leftrightarrow m=-1$

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nếu tích vô hướng của hai vecto pháp tuyến bằng $0\Rightarrow$ Chọn đáp án $x+z-3=0$

Vị trí tương đối giữa $({{P}_{1}})$ và $({{P}_{2}})$
$({{P}_{1}})$cắt $({{P}_{2}})$ $\Leftrightarrow {{A}_{1}}:{{B}_{1}}:{{C}_{1}} \ne {{A}_{2}}:{{B}_{2}}:{{C}_{2}}$.
$({{P}_{1}})$//$({{P}_{2}})$$\Leftrightarrow \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}\ne \dfrac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}$
$({{P}_{1}})$$\equiv$$({{P}_{2}})$$\Leftrightarrow \dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}=\dfrac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}$
Nếu chỉ cho $\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\dfrac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}$ thì chưa thể kết luận được hai mặt phẳng đó song song hay trùng nhau.
Suy ra loại tất cả các đáp án chứa khẳng định II

Ta thấy: $\dfrac{1}{2}\ne \dfrac{2}{3}\ne \dfrac{-1}{-7}$. Vậy: $\left( P \right)$ cắt $\left( Q \right)$

Ta thấy mặt phẳng $x-y=0$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):\,x-y-1=0$ nên chọn đáp án $x-y=0$

Với $x=2;y=3$ thay vào $x+y+z=0$ ta được $z=-5$
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $\left( 2;3;-5 \right)$