Đề tuyển sinh 10 toán chuyên sở gd quảng nam 2017-2018 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi : TOÁN (Toán chuyên)

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 11/7/2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2017-2018

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

(2,0)

a) Cho biểu thức với và .

Rút gọn biểu thức và tìm để

1,0

0,25

.

0,25

Với và : (*)

0,25

Đặt . Phương trình (*) trở thành:

(thỏa điều kiện).

0,25

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức

1,0

(*)

Vì nên hay .

0,25

+ Với : Từ (*) suy ra: (không thỏa).

+ Với : Vì là số chính phương nên là số chính phương.

.

0,25

.+ Do và là các số chính phương khác 0 nên .

0,25

.+ Với (thỏa)

+ Với hoặc (cả 2 giá trị a không thỏa).

Vậy là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu.

0,25

* Cách khác: (*)

Vì nên hay .

(0,25)

+ Xét không thỏa (*).

+ Xét , từ (*) suy ra .

+ Xét không thỏa (*).

(0,25)

+ Xét : Ta có:

Gọi d = ƯCLN. Vì nên .

Hơn nữa không chia hết cho 3 nên . Do đó .

Lại có nên và đều là hai số chính phương.

(0,25)

Mặt khác: (vì ) nên không phải là số chính phương.

Vậy là cặp số duy nhất cần tìm.

(0,25)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 2

(2,0)

a) Giải phương trình (1).

1,0

(2)

0,25

Đặt , phương trình (2) trở thành: hoặc .

0,25

Với thì

0,25

Với thì

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:

0,25

* Cách khác: Điều kiện: .

hoặc

(0,5)

Giải phương trình tìm được

(0,25)

Giải phương trình tìm được và kết luận.

(0,25)

b) Giải hệ phương trình

1,0

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

0,25

Đặt , hệ phương trình trên trở thành:

Thay (3) vào (2) và biến đổi được:

hoặc .

0,25

+ . Giải được hoặc .

0,25

+ . Giải được .

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: ,,.

0,25

* Cách khác:

Ta có:

hoặc .

(0,5)

+ Với ta có hệ:

(vô nghiệm)

(0,25)

+ Với ta có hệ:

hoặc hoặc hoặc .

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: ,,.

(0,25)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 3

(1,0)

Cho parabol và đường thẳng . Tìm và để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho có hoành độ bằng 2 và khoảng cách từ đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ đến trục tung.

1,0

+ A thuộc (P) và có hoành độ bằng 2 nên A(2;4).

d đi qua A(2;4) nên . Suy ra .

0,25

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): hoặc

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi: hay .

0,25

Hoặc:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): (*)

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

(được 0,25).

+ Khi đó hoành độ của A và B lần lượt là: .

hoặc

0,25

Vậy a = 1; b = 2 hoặc a = 3; b = –2.

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 4

(2,0)

a) Chứng minh .

0,75

* Cách 1:

.

0,25

Đặt . Ta có: .

0,25

Vậy: .

0,25

Ghi chú: không có hình không chấm.

* Cách 2:

.

(0,25)

Ta có: .

(0,25)

Vậy:

(0,25)

* Cách 3:

Dựng đường thẳng qua A, vuông góc với AE và cắt đường thẳng CD tại J.

+ Chứng minh được hai tam giác ADJ và ABE bằng nhau. Suy ra AJ=AE.

(0,5)

+ Trong tam giác vuông AJF có:

.

(0,25)

b) Chứng minh trong trường hợp tích nhỏ nhất, tính tỉ số .

1,25

Hình vẽ phục vụ câu b (không có hình không chấm)

0,25

* Khi M trùng I hoặc M trùng D ta có: .

* Trường hợp M khác I và M khác D:

Gọi K là trung điểm của CD. Dựng CC’//MG, DD’//MG (C’, D’ thuộc AG).

Khi đó: . Do đó .

0,25

Hai tam giác KDD’ và KCC’ bằng nhau nên KC’=KD’. Suy ra .

0,25

Ta có: (AD, AC không đổi).

0,25

Đẳng thức xảy ra khi hay . Khi đó: .

Vậy khi AM.AN nhỏ nhất thì .

0,25

* Chứng minh bằng cách khác:

Gọi H là giao điểm của MN và BC, P là trung điểm của MH.

(0,25)

(vì ). Suy ra .

Lưu ý: M trùng D hoặc I, ta vẫn có HC+MD=2PK.

(0,25)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

(2,0)

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp trong đường tròn và vuông góc với

1,25

Hình vẽ phục vụ câu a (không tính điểm hình vẽ câu b, không có hình không chấm)

0,25

(vì tứ giác ANBC nội tiếp)

(vì tứ giác BCEF nội tiếp)

Suy ra . Do đó tứ giác BFNK nội tiếp.

0,25

+ Hai tam giác KNB và KCA đồng dạng nên KN.KA = KB.KC

+ Hai tam giác KBF và KEC đồng dạng nên KF.KE = KB.KC

Suy ra KN.KA = KF.KE hay .

0,25

Hơn nữa . Do đó hai tam giác KNF và KEA đồng dạng.

Suy ra . Do đó tứ giác ANFE nội tiếp.

Suy ra A, N, F, H, E nằm trên đường tròn đường kính AH. Do đó .

0,25

+ Tia NH cắt đường tròn (O) tại S, AS là đường kính của (O).

+ Chứng minh được tứ giác BHCS là hình bình hành. Suy ra HS qua trung điểm M của BC.

Suy ra N, H, M, S thẳng hàng. Khi đó H là trực tâm của tam giác AKM. Vậy .

0,25

b) Chứng minh đường thẳng cách đều hai điểm và .

0,75

+ Hạ PI và QJ vuông góc với đường thẳng DE lần lượt tại I, J. Đặt .

.

0,5

.

Suy ra PI=QJ. Vậy P và Q cách đều đường thẳng DE.

0,25

Ghi chú: Nếu thí sinh xét 2 trường hợp và giải đúng trong trường hợp A, D, L thẳng hàng thì được 0,25. Nếu không chia 2 trường hợp mà vẽ hình đặc biệt A, D, L thẳng hàng để giải thì không cho điểm.

Câu 6

(1,0)

Cho 3 số thực dương thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của

1,0

Ta có: với a, b, c là 3 số thực (dấu bằng xảy ra khi a=b=c).

Áp dụng bất đẳng thức trên với (x, y, z > 0) ta được:

0,25

Ta có:

0,25

.

0,25

. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 khi .

0,25