Nhận dạng phương trình đường tròn
Lý thuyết về Nhận dạng phương trình đường tròn
Nhận dạng phương trình đường tròn
Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$ với điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0$ à phương trình của đường tròn tâm I(−a;−b) bán kính ${{R}^{2}}=\sqrt[{}]{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}-c}$
VÍ DỤ
Viết phương trình đường tròn đi qua điểm $M(1;2),N(5:5) $ và $P(1;−3)$
Giải
Gọi $ I(x,y)$ và $R$ là tâm và bán kính của đường tròn đi qua ba điểm M,N,P
từ điều kiện IM = IN = IP ta có hệ phương trình.
$\left\{ \begin{align}& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}} \\ & {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$
Dễ dàng tìm được nghiệm hệ là x = 3 ,y = - 0,5. vậy I = (3;- 0,5) khi đó ${{R}^{2}}=I{{M}^{2}}=10,25$.
Phương trình đường tròn cần tìm là
${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+0,5 \right)}^{2}}=10,25$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hai mệnh đề (I) $ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 $ là phương trình đường tròn tâm $ I(a;b) $ , bán kính $ R $ .
(II) $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0 $ là phương trình đường tròn tâm $ I(a;b) $ .
Hỏi mệnh đề nào đúng?
(I) $ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 $ là phương trình đường tròn tâm $ I(a;b) $ , bán kính $ R $ .
(II) $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0 $ là phương trình đường tròn tâm $ I(a;b) $ .
Hỏi mệnh đề nào đúng?
- A
- B
- C
- D
Mệnh đề $ \left( II \right) $ sai vì thiếu điều kiện $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c > 0 $
Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $ Oxy $ , bán kính $ R $ của đường tròn có phương trình $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y-12=0 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ a=2;b=-3,c=-12 $ nên bán kính đường tròn là $ R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+12}=5 $ .
Câu 3: Trong mặt phẳng $ Oxy $ , đường tròn $ \left( C \right) $ tâm $ I\left( 1;\,3 \right) $ và đi qua $ M\left( 3;\,1 \right) $ có phương trình là
- A
- B
- C
- D
Đường tròn $ \left( C \right) $ có bán kính là $ R=IM=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{8} $ .
Phương trình của đường tròn $ \left( C \right) $ là $ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=8 $ .
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ , cho đường tròn có phương trình $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0 $ . Tọa độ tâm $ I $ và bán kính $ R $ của đường tròn là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ I\left( 1;-2 \right),R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+4}=3 $ .
Câu 5: Cho phương trình $ x^2+y^2-2ax-2by+c=0\;(1) $ . Điều kiện để $ (1) $ là phương trình của đường tròn là
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0 $
$ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{y}^{2}}-2by+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+c=0\Leftrightarrow {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c $
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c > 0 $
Câu 6: Đường tròn $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+10y+1=0 $ đi qua điểm nào sau đây?
- A
- B
- C
- D
Thay hết tất cả các đáp án vào phương trình đường tròn đã cho.
Điểm $ (4;-1)$ thỏa mãn phương trình $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+10y+1=0 $ nên $ (4;-1)\in {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+10y+1=0 $
Câu 7: Đường tròn tâm $ I(3;-1) $ và bán kính $ R=2 $ có phương trình là
- A
- B
- C
- D
Phương trình đường tròn có tâm $ I\left( 3;-1 \right) $ , bán kính $ R=2 $ là: $ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4 $
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $ , tọa độ tâm $ I $ và bán kính $ R $ của đường tròn $ \left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=25 $ là:
- A
- B
- C
- D
Đường tròn $ \left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=25 $ có tâm $ I\left( 2;-3 \right) $ và bán kính $ R=\sqrt{25}=5 $
Câu 9: Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $ , đường tròn $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0 $ có bán kính bằng
- A
- B
- C
- D
Ta thấy đường tròn: $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25 $ .
Nên bán kính của đường tròn là: $ R=5 $
Câu 10: Đường tròn $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{x}{\sqrt{2}}-\sqrt{3}=0 $ có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} & -2a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & -2b=0 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=-\dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ & b=0 \end{array} \right. $ nên tâm $ I\left( \dfrac{-\sqrt{2}}{4};0 \right) $ .
Câu 11: Để $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-ax-by+c=0\ (1) $ là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là
- A
- B
- C
- D
Ta có:
$ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-ax-by+c=0\text{ }\left( 1 \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2.\dfrac{a}{2}.x+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-2.\dfrac{b}{2}.y+{{\left( \dfrac{b}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}+c=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( x-\dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{b}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{b}^{2}}}{4}-c \end{array} $
Vậy điều kiện để $ \left( 1 \right) $ là phương trình đường tròn: $ \dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{b}^{2}}}{4}-c > 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4c > 0 $
Câu 12: Đường tròn $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5y=0 $ có bán kính bằng bao nhiêu ?
- A
- B
- C
- D
Đường tròn $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5y=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{4} $ có tâm: $ I\left( 0;\dfrac{5}{2} \right) $ , bán kính $ R=\dfrac{5}{2} $