Tính chất của tính vô hướng Định lí Với ba vectơ $\overright

Tính chất của tính vô hướng
Định lí
Với ba vectơ $\overrightarrow{a,}\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$tuỳ ý và mọi  số thưc k ,ta có
1)$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán); 
2)$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$
3)$\left( k\overrightarrow{a} \right).\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\left( k\overrightarrow{b} \right)=k\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)$
4) $\overrightarrow{a}.\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng);
     $\overrightarrow{a}.\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ);
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD
a. Chứng minh rằng: $A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}$
b. Chứng minh: Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường thẳng chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Giải
  
a, Ta có 
 $\begin{align}& A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{C}^{2}}-A{{D}^{2}} \\ & ={{\left( \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA} \right)}^{2}}+C{{D}^{2}}-C{{B}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA} \right)}^{2}} \\ & =-2\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} \\ & =2\overrightarrow{CA}.\left( \overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB} \right)=2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD} \\ \end{align}$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
b. Từ a ta có: $CA\bot BD\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}$
 
Chú ý: 
1) Cho 2 vecto $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ . Gọi $B’$ là hình chiếu của $B$ trên đường thằng $OA.$ Khi đó:
- Vecto $\overrightarrow{OB'}$ gọi là hình chiếu của vecto $\overrightarrow{OB}$ trên đường thằng $OA$
- Công thức  $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}'.\overrightarrow{OB}'$  gọi là công thức hình chiếu
  
2) Cho đường tròn (O;R) và điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M, cắt đường tròn đó tại 2 điểm A và B. 
  
Khi đó, giá trị không đổi $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}={{d}^{2}}-{{R}^{2}}\left( d=MO \right)$ gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là ${{\left( P \right)}_{M/\left( O \right)}}$
${{\left( P \right)}_{M/\left( O \right)}}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}={{d}^{2}}-{{R}^{2}}\left( d=MO \right)$
3) Khi điểm M nằm ngoài đường tròn (O), MT là tiếp tuyến của đường tròn đó ( T là tiếp điểm) thì ${{\left( P \right)}_{M/\left( O \right)}}={{\overrightarrow{MT}}^{2}}=M{{T}^{2}}$