Hệ thức độc lập với thời gian
Lý thuyết về Hệ thức độc lập với thời gian
Điện tích tức thời $q={{q}_{0}}cos(\omega t+\varphi )$
Hiệu điện thế (điện áp) tức thời $u=\dfrac{q}{C}=\dfrac{{{q}_{0}}}{C}c\text{os}(\omega t+\varphi )={{U}_{0}}c\text{os}(\omega t+\varphi )$
Dòng điện tức thời $i=q=-\omega {{q}_{0}}sin(\omega t+\varphi )={{I}_{0}}cos(\omega t+\varphi +\dfrac{\pi }{2})$
$\left\{ \begin{align}& \frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{{{q}^{2}}}{q_{0}^{2}}=1 \\ & \frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Trong một mạch dao động LC không có điện trở thuần, có dao động điện từ tự do (dao động riêng). Hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ và cường độ dòng điện cực đại qua mạch lần lượt là U0 và I0. Tại thời điểm cường độ dòng điện trong mạch có giá trị$\dfrac{{{I}_{0}}\sqrt{3}}{2}$ thì độ lớn hiệu điện thế giữa hai bản tụ điển là
- A
- B
- C
- D
${\left( {\dfrac{u}{{{U_o}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_o}}}} \right)^2} = 1{\left( {\dfrac{u}{{{U_o}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{I_0}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{{I_o}}}} \right)^2} = 1 \to u = \dfrac{{{U_0}}}{2}.$
Câu 2: Mạch dao động LC lí tưởng gồm độ tự cảm 4 mH và tụ điện có điện dung 9 nF. Trong mạch có dao động điện từ tự do, hiệu điện thế cực đại giữa hai bản cực của tụ điện bằng 5 V. Khi hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện là 3 V thì cường độ dòng điện trong mạch bằng
- A
- B
- C
- D
${{\left( \dfrac{u}{{{U}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{{{I}_{o}}} \right)}^{2}}=1\xrightarrow{{{I}_{0}}={{U}_{0}}\sqrt{\dfrac{C}{L}}}{{\left( \dfrac{u}{{{U}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i\sqrt{L}}{{{U}_{0}}\sqrt{C}} \right)}^{2}}=1\to {{i}^{2}}=\dfrac{C}{L}(U_{0}^{2}-{{u}^{2}})$
Thay số: ${{i}^{2}}=\dfrac{C}{L}(U_{0}^{2}-{{u}^{2}})=\dfrac{{{9.10}^{-9}}}{{{4.10}^{-3}}}\left( {{5}^{2}}-{{3}^{2}} \right)=3,{{6.10}^{-5}}\Rightarrow i={{6.10}^{-3}}A=6\text{ }mA$.
Câu 3: Một mạch dao động LC lý tưởng đang có dao động điện từ tự do với điện tích trên một tụ $q={{2.10}^{-7}}\cos \left( {{2.10}^{4}}t \right)$ C. Khi điện tích $q = {10^{ - 7}}{\rm{ }}C$ thì dòng điện trong mạch là
- A
- B
- C
- D
\({{\left( \dfrac{q}{{{q}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{{{I}_{0}}} \right)}^{2}}=1\to {{\left( \dfrac{q}{{{q}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{\omega .{{q}_{0}}} \right)}^{2}}=1\)
Thay số \(\xrightarrow{{}}{{\left( \dfrac{{{10}^{-7}}}{{{2.10}^{-7}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{{{2.10}^{-7}}{{.2.10}^{4}}} \right)}^{2}}=1\to i=2\sqrt{3}\text{ }mA\).
Câu 4: Mạch dao động gồm một tụ điện có điện dung 10 µF và một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 0,1 H. Khi hiệu điện thế ở hai đầu tụ là 4 V thì cường độ dòng điện trong mạch là 0,02 A. Hiệu điện thế cực đại trên hai bản tụ điện là:
- A
- B
- C
- D
\({{\left( \dfrac{u}{{{U}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{{{I}_{0}}} \right)}^{2}}=1\xrightarrow{{{I}_{0}}={{U}_{0}}\sqrt{\dfrac{C}{L}}}{{\left( \dfrac{u}{{{U}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{{{U}_{0}}\sqrt{\dfrac{C}{L}}} \right)}^{2}}=1\to {{u}^{2}}+\dfrac{L{{i}^{2}}}{C}=U_{0}^{2}\)
\(\xrightarrow{\text{ }}{{4}^{2}}+\dfrac{0,1.0,{{02}^{2}}}{{{10.10}^{-6}}}=U_{0}^{2}\to {{U}_{0}}=2\sqrt{5}\text{ V}\text{.}\)
Câu 5: Trong một mạch dao động lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Gọi L là độ tự cảm và C là điện dung của mạch. Gọi U0 là điện áp cực đại giữa hai bản tụ điện; u và i là điện áp giữa hai bản tụ điện và cường độ dòng điện trong mạch tại thời điểm t. Hệ thức liên hệ giữa u và i là
- A
- B
- C
- D
${\left( {\dfrac{u}{{{U_o}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_o}}}} \right)^2} = 1{\left( {\dfrac{u}{{{U_o}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{i\sqrt L }}{{{U_0}\sqrt C }}} \right)^2} = 1 \to {i^2} = \dfrac{C}{L}(U_0^2 - {u^2})$
Câu 6: Một mạch dao động LC lý tưởng đang thực hiện dao động điện từ tự do. Biết điện tích cực đại của tụ điện là $q_0$ và cường độ dòng điện cực đại trong mạch là $I_0$. Tại thời điểm cường độ dòng điện trong mạch bằng $0,5I_0$ thì điện tích của tụ điện có độ lớn:
- A
- B
- C
- D
${\left( {\dfrac{q}{{{q_o}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_o}}}} \right)^2} = 1{\left( {\dfrac{q}{{{q_o}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{0,5{I_0}}}{{{I_o}}}} \right)^2} = 1 \to q = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{q_0}$
Câu 7: Một mạch dao động LC lí tưởng đang dao động điện từ với tần số góc là $10^7$ rad/s, điện tích cực đại trên tụ là $4.10^{-12} C$. Khi điện tích trên tụ là $2.10^{-12}$ C thì cường độ dòng điện trong mạch có độ lớn là
- A
- B
- C
- D
${{\left( \dfrac{q}{{{q}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{{{I}_{o}}} \right)}^{2}}=1\to {{\left( \dfrac{q}{{{q}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{\omega {{q}_{0}}} \right)}^{2}}=1$
$\xrightarrow[\text{ }]{{{q}_{0}}=\text{ }{{4.10}^{-12}}C;\text{ }q\text{ }=\text{ }{{2.10}^{-12}}\text{C; }\omega \text{ = 1}{{\text{0}}^{7}}\text{rad/s}}i=2\sqrt{3}{{.10}^{-5}}A$.
Câu 8: Trong mạch dao động lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, đang có dao động điện từ tự do. Biết hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ là U0. Khi hiệu điện thế giữa hai bản tụ là $\dfrac{{{U}_{0}}}{2}$ thì cường độ dòng điện trong mạch có độ lớn bằng
- A
- B
- C
- D
\({\left( {\dfrac{u}{{{U_o}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_o}}}} \right)^2} = 1 \to {\left( {\dfrac{{\dfrac{1}{2}{U_0}}}{{{U_o}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_o}}}} \right)^2} = 1 \to i = {I_o}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \left( {{U_0}\sqrt {\dfrac{C}{L}} } \right)\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Câu 9: Trong một mạch dao động lí tưởng gồm cuộn cảm có độ tự cảm L = 0,5 μH, tụ điện có điện dung C = 6 μF đang có dao động điện từ tự do. Tại thời điểm cường độ dòng điện trong mạch có giá trị 20 mA thì điện tích của một bản tụ điện có độ lớn là ${2.10^{ - 8}}{\rm{ }}C.$. Điện tích cực đại của một bản tụ điện là:
- A
- B
- C
- D
\({{\left( \dfrac{q}{{{q}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{{{I}_{o}}} \right)}^{2}}=1\to {{\left( \dfrac{q}{{{q}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{\omega {{q}_{o}}} \right)}^{2}}=1\to {{\left( \dfrac{q}{{{q}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i\sqrt{LC}}{{{q}_{o}}} \right)}^{2}}=1\to {{q}_{0}}=\sqrt{{{q}^{2}}+LC.{{i}^{2}}}\)
\(\xrightarrow{\text{ }}\text{ }{{q}_{0}}=\sqrt{{{\left( {{2.10}^{-8}} \right)}^{2}}+0,{{5.10}^{-6}}{{.6.10}^{-6}}.{{\left( {{20.10}^{-3}} \right)}^{2}}}={{4.10}^{-8}}C.\)
Câu 10: Trong mạch dao động LC có dao động điện từ tự do dao động riêng với tần số góc $10^4$ rad/s. Điện tích cực đại trên tụ điện là $10^{−9}$ C. Khi cường độ dòng điện trong mạch bằng $6.10^{−6}$ A thì điện tích trên tụ điện là
- A
- B
- C
- D
\({{\left( \dfrac{q}{{{q}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{{{I}_{o}}} \right)}^{2}}=1\to {{\left( \dfrac{q}{{{q}_{o}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{i}{\omega {{q}_{0}}} \right)}^{2}}=1\)
\(\xrightarrow[\text{ }]{{{q}_{0}}=\text{ }{{10}^{-9}}C;\text{ i }=\text{ 6}{{.10}^{-6}}\text{C; }\omega \text{ = 1}{{\text{0}}^{4}}\text{rad/s}}\text{ }q={{8.10}^{-10}}C\).
Câu 11: Hai mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do với cùng cường độ dòng điện cực đại I0. Chu kì dao động riêng của mạch thứ nhất là $T_1$, của mạch thứ hai là $T_2 = 2T_1$. Khi cường độ dòng điện trong hai mạch có cùng độ lớn và nhỏ hơn I0 thì độ lớn điện tích trên một bản tụ điện của mạch dao động thứ nhất là $q_1$ và của mạch dao động thứ hai là $q_2$. Tỉ số $\dfrac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}$ là
- A
- B
- C
- D
Khi dòng điện trong mạch là i thì điện tích trên tụ có độ lớn là: $q=\dfrac{1}{\omega }\sqrt{I_{0}^{2}-{{i}^{2}}}$
Vậy $\dfrac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}=\dfrac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{1}}}=\dfrac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=0,5$.
Câu 12: Mạch dao động gồm cuộn thuần cảm có độ tự cảm 0,1 H và tụ điện có điện dung 10 μF. Trong mạch có dao động điện từ tự do. Khi điện áp giữa hai bản tụ là 8 V thì cường độ dòng điện trong mạch là 60 mA. Cường độ dòng điện cực đại trong mạch dao động là
- A
- B
- C
- D
\({\left( {\dfrac{u}{{{U_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1{\left( {\dfrac{u}{{{I_0}\sqrt {\dfrac{L}{C}} }}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{i}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1 \to \dfrac{{C{u^2}}}{L} + {i^2} = I_0^2\)
Thay số \(\dfrac{{{{10.10}^{ - 6}}{{.8}^2}}}{{0,1}} + 0,{06^2} = I_0^2 \to {I_0} = 0,1{\rm{ A}}{\rm{.}}\)