Tính chất ba đường cao của tam giác

Do $\Delta ABC$ cân tại $A$ mà $AH$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow AH$ cũng đồng thời là đường cao

nên $AH\bot BC$ mà $AH\bot d$ nên $d\text{//}BC$ .

Do $\Delta ABC$ đều nên $H$ vừa là trọng tâm, trực tâm $\Delta ABC\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.12=8$ cm.

Do $\Delta ABC$ đều nên $H$ vừa là trọng tâm, trực tâm $\Delta ABC$ $\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM\Rightarrow AM=\dfrac{3}{2}.AH=15cm.$

Ta có $\widehat{B}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{C}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$

Mà $AB\bot BC=\left\{ B \right\}\Rightarrow B$ là trực tâm $\Delta ABC$ .

Ta có: $\Delta ABH=\Delta AHC$ (cạnh huyền-góc nhọn) $\Rightarrow BH=HC=2,5cm.$

Áp dụng đị lý Py-ta-go vào $\Delta AHC$ vuông tại H có: $A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}\Rightarrow A{{H}^{2}}=6,{{5}^{2}}-2,{{5}^{2}}={{6}^{2}}\Rightarrow AH=6\left( cm \right).$

Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}BE.AC=\dfrac{1}{2}CF.AB.$

Vì $AB < AC$ nên $BE > CF.$

Đặt $AB=BC=a,HA=HC=m.$

Ta có: $2a+2m=50\Rightarrow a+m=25$ (1)

Lại có: $a+m+BH=40$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BH=15cm.$

$\widehat{CID}={{70}^{0}};\widehat{CID}=\widehat{A}$ (cùng phụ $\widehat{ACE}$ ) nên $\widehat{A}={{70}^{0}}.$

Ta có: các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C gặp nhau ở K.

$\Rightarrow$ AK là tia phân giác của góc A.

$\Delta ADE$ có đường cao cũng là đường phân giác nên là tam giác cân.

Ta có: $\Delta ABH=\Delta AHC$ (cạnh huyền-góc nhọn) $\Rightarrow BH=HC=10:2=5cm.$

Áp dụng đị lý Py-ta-go vào $\Delta AHC$ vuông tại H có: $A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}\Rightarrow A{{H}^{2}}={{10}^{2}}-{{5}^{2}}=75\Rightarrow AH=\sqrt{75}\left( cm \right).$

$\Delta ABC$ cân tại A, AK là tia phân giác của góc A nên AK cũng là đường cao.

$\Delta ABC$ cân tại A hiển nhiên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB.}$

$\Delta ABC$ có AK, BD là đường cao nên K là trực tâm. Vậy $CK\bot AB.$

Trực tâm của tam giác vuông là đỉnh của góc vuông.

Vì OA=OB nên tam giác OAB cân tại O có OH là đường cao nên đồng thời là trung trực.

OH là đường trung trực của AB $\Rightarrow HB=AB:2=6:2=3\left( cm \right).$

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường cao

Nên $AH$ cũng đồng thời là đường trung tuyến.

Xét $\Delta ABH$ có $\widehat{AHB}={{90}^{0}}$ (do $AH$ là đường cao)

Áp dụng định lí pytago ta có: $A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{A{{B}^{2}}-{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$ cm.

Ta thấy $\widehat{C}={{45}^{0}},\widehat{AED}={{45}^{0}}$ nên $EK\bot BC.$

$\Delta BEC$ có BA, EK là hai đường cao và cắt nhau ở D nên D là trực tâm tam giác ABC do đó $CD\bot BE.$