Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giá

Trong một tam giác bộ ba cạnh có độ dài $a,\,b,\,c$ thì phải thỏa mãn $a < b+c$ .

Từ các phương án ta thấy: $4+3=7$ nên bộ ba $4;7;3$ không thể là ba cạnh của một tam giác. Còn các bộ ba cạnh còn lại đều thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Xét tam giác $ABC$ có

$\begin{array}{l} BC+AB > AC > BC-AB\Leftrightarrow 25+12 > AC > 25-12 \\ \Leftrightarrow 37 > AC > 13 \end{array}$

Mà $\Delta ABC$ cân nên $\left[ \begin{array}{l} AC=AB \\ AC=BC \end{array} \right.$

$\Rightarrow AC=25$ . Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$ .

Gọi a là độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC, b và c là độ dài hai cạnh còn lại

$(a\ge b\,;\,a\ge c)$ .

Theo bất đẳng thức tam giác: $a < b+c.$

Cộng a vào hai vế: $a+a < a+b+c\Rightarrow 2a < a+b+c\Rightarrow a < \dfrac{a+b+c}{2}.$

Vậy cạnh lớn nhất của một tam giác nhỏ hơn nửa chu vi tam giác.

Xét tam giác $ABC$

Ta có $AB+BC > AC > BC-AB\Leftrightarrow 14 > AC > 4$

$14+5+9 > AC+AB+BC > 5+9+4\Leftrightarrow 28 > AC+AB+BC > 18$

Vậy chu vi tam giác $ABC$ phải lớn hơn 18cm và nhỏ hơn 28cm.

Mà chu vi tam giác $ABC$ là bội của 6.

Vậy chu vi tam giác $ABC$ là 24 cm.

Xét $\Delta ADC:DC > AD-AC$ (theo bất đẳng thức tam giác).

Mà $AB=AC$ (Vì $\Delta ABC$ cân tại A).

Do đó: $DC > AD-AB=DB.$

Ta có $AB+AC > BC > \left| AB-AC \right|\Leftrightarrow 10+1 > BC > \left| 10-1 \right|\Leftrightarrow 11 > BC > 9$

Mà độ dài cạnh $BC$ là một số nguyên nên $BC=10$ .

Vậy tam giác $ABC$ có $AB=BC > AC\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{A} > \widehat{B}$ ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Xét tam giác $ABC$ ta có: $\left| AB-BC \right| < CA < AB+BC$

$\Rightarrow$ $|27-3| < CA < 27+3\Rightarrow 24 < CA < 30.$

Mà độ dài CA là một số nguyên tố nên $CA=29dm.$

Cạnh thứ ba của tam giác bằng một trong hai cạnh kia.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác: 

Loại trường hợp cạnh thứ ba bằng 3,9cm vì $3,9+3,9 < 7,9.$

Trường hợp cạnh thứ ba bằng 7,9cm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác vì $7,9 < 7,9+3,9.$

Vậy chu vi tam giác là: $7,9+7,9+3,9=19,7\left( cm \right).$

Ta có $RS+SK > KR > \left| RS-SK \right|\Leftrightarrow 8+1 > KR > \left| 8-1 \right|\Leftrightarrow 9 > KR > 7$

độ dài cạnh $KR$ là một số nguyên nên $KR=8$ .

Vậy chu vi tam giác $RSK$ là $8+1+8\text{ }=17$ .

Xét $\Delta ABC$ có: $\left| AB-BC \right| < AC < AB+BC\Leftrightarrow \left| 15-8 \right| < AC < 15+8\Leftrightarrow 7 < AC < 23.$

Mà $AC > {{4}^{2}}=16$ và AC là số nguyên tố (giả thiết) nên $AC=17cm$ hoặc $AC=19cm.$

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: $a\le b\le c.$

Từ giả thiết, ta có: $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}.$

Với $a+b=20$ , thì áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{a+b}{2+3}=\dfrac{20}{5}=4\Rightarrow c=16.$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$

$AB+AC > BC$ hay $x+y > \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Xét tam giác $ABC$ ta có: $\left| AB-AC \right| < BC < AB+AC$

$\Rightarrow$ $|1-3| < BC < 3+1\Rightarrow 2 < BC < 4\Rightarrow BC=3.$

Vậy $BC=3m.$

- Xét trường hợp 1: $a=2b,b=2c.$

Giả sử tồn tại tam giác như vậy thì độ dài ba cạnh là c, 2c, 4c, mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác, vì $c+2c < 4c.$ Vậy không tồn tại tam giác như vậy.

- Xét trường hợp 2: $a=\dfrac{3}{2}b,b=\dfrac{3}{2}c.$

Cho $c=1\Rightarrow b=\dfrac{3}{2}\,\,;\,$ $a=\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4}.$

Vì $\dfrac{9}{4} < \dfrac{3}{2}+1$ nên tồn tại tam giác.

Vậy có tồn tại tam giác trong trường hợp 2.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho $MD=MA.$

$\Delta DMC=\Delta AMB\left( c.g.c \right)\Rightarrow DC=AB=c.$

Xét $\Delta ACD$ có $AD < AC+DC\Rightarrow 2AM < b+c\Rightarrow AM < \dfrac{b+c}{2}.$